用几何画板制作一般棱柱的“虚实型”旋转直观图，本文主要内容关键词为：直观图论文,棱柱论文,画板论文,虚实论文,几何论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
文[1]主要谈了如何让立体图形动起来，文[2]继文[1]谈了如何让特殊的几何体—正棱柱（正棱锥）“虚实”变化.本文是通过《几何画板》（The Geometers Sketchpad，本文简称GSP，使用4.06中文版）“做数学”活动进行教学的实例，展示用GSP制作一般棱柱的“虚实型”旋转直观图的方法，也是对文[1][2]作法的补充与发展，以飨读者.
一、基本原理
①高中数学课本中多面体直观图的画法规则.
②将多面体上的点分组转化到圆（也可能是不同圆）上以实现图形旋转，建立圆上的点与椭圆上的点的对应关系以实现“直观图”，利用多面体上的点在圆的不同弧上的位置以实现虚实线转换.
二、制作底面内接于圆的直四棱柱的“虚实型”旋转直观图
①度量：设图1（左）中四边形小A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]是欲作的四棱柱的底面，连接外接圆圆心O[，1]与四边形各顶点，度量出∠A[，1]O[，1]B[，1]=70°，∠B[，1]O[，1]C[，1]=120°，∠C[，1]O[，1]D[，1]=150°，∠D[，1]O[，1]A[，1]=20°.
②作圆：以OX=O[，1]A[，1]为半径作大圆，在OX上任取一点M，以OM为半径作小圆，并在大圆上任取一点Q作动画、隐藏按钮.
③作射线：过OQ作射线，再以度量角20°，150°，120°依次旋转三次作另三条射线（这是因为底面中O[，1]到底面四边形四顶点连线中相邻连线所成角为20°，150°，120°，70°）
④作高：过O作OX的垂线，在垂线上取点S，使OS=h（设h为棱柱高）.
⑤作弧：以O为标记中心，把X分别以10°，35°，60°，75°（取度量角的一半）逆时针旋转得X′，X″，X′″，X″″，以OS为标记镜面作X′，X″，X′″，X″″的对称点X[，1]′，X[，1]″，X[，1]′″，X[，1]″″，再在分出的八段弧上各取一点，隐藏大圆，以不同颜色作弧X′KX″，X″LX′″，X′″NX″″，X″″PX[，1]″″，X[，1]″″RX[，1]′″，X[，1]′″-TX[，1]″，X[，1]″UX[，1]′，X[，1]′XX′.
⑥作顶点：拖动点Q，旋转射线使四条射线中的每一条与八段弧中的每段相交时，分别过射线与各段弧的交点作OX的垂线，过射线与小圆交点作OX的平行线，由垂线与对应平行线的四个交点得四棱柱底面的4个顶点A，B，C，D，再把A，B，C，D以OS为标记向量平移得到棱柱上底面4个顶点A′，B′，C′，D′.
⑦连线：拖动点Q在不同位置时，按几何体直观图的虚实线规则连线形成“虚实型”直四棱柱.
⑧隐藏辅助点线：拖动点Q，隐藏各辅助线和辅助点，可得理想的图形.图1（右）是隐藏了垂线和平行线后的一般直四棱柱的“虚实型”旋转直观图的制作过程图.点击动画按钮或拖动点Q可观察欣赏.仿此作法容易作长方体、正方体等其他几何体的“虚实型”旋转直观图.
附图
三、制作底面内接于圆的斜四棱柱的“虚实型”旋转直观图
①—③步类似于2中的①—③.不同的是还要以侧棱在底面上的射影长ON为半径作中圆.
④作高：过O作OX垂线，在垂线上取点R，使OR=h（设h为棱柱高）.确认棱柱倾斜方向（假设向斜棱柱下底面四边形中度量角为70°角的角平分线方向倾斜），作70°角的角平分线，角平分线与中圆交于H，与小圆交于K，过H，K分别作OX的垂线和平行线交于S，以OR为标记向量把S平移至S′，用虚线连接线段OS′，OS，SS′.
⑤作弧：过每条射线与大圆交点作OX垂线，过射线与小圆交点作OX平行线，得到垂线与对应平行线的4个交点（下底面顶点），再把这4个顶点以OS′为标记向量平移得到上底面4个顶点，连接这8个顶点得到斜四棱柱（并不理想，为作弧用）.拖动点Q，使相邻侧棱在OR右侧重合时，度量出“里面”侧棱柱的对应顶点的对应射线与OX所成的角（6.08°，29.07°，60.41°，79.17°）.以O为标记中心，把X以逆时针方向旋转6.08°得到X′同样，X旋转29.07°得到X″，X旋转60.41°得到X′″，X旋转79.17°得到X″″，OR作为标记镜面.其他作法类似2中⑤的后面作法.
⑥—⑧类似于2中的⑥—⑧，不同的是平移下底面顶点时要以OS′为标记向量.图2（右）是隐藏了垂线和平行线后的底面内接于圆的斜四棱柱的“虚实型”旋转直观图的制作过程图
附图
四、制作底面不内接于圆的直四棱柱的“虚实型”旋转直观图
①度量：设图3（左）中四边形A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]是欲作的四棱柱的底面，O[，1]是过顶点A[，1]B[，1]C[，1]的圆的圆心，C[，1]不在这个圆上，连接O[，1]与四边形各顶点，以O[，1]C[，1]为半径再作圆，度量出∠A[，1]O[，1]B[，1]=50°，∠B[，1]O[，1]C[，1]=160°，∠C[，1]O[，1]D[，1]=30°，∠D[，1]O[，1]A[，1]=120.°
附图
②作圆：以OX=O[，1]A[，1]为半径作大圆，以OR=O[，1]C[，1]为半径作中圆，在OR上任取一点M，以OM为半径作小圆，并在大圆上任取一点Q作动画、隐藏按钮.
③—④类似2中的③—④.
⑤作弧：以O为标记中心，把X以25°（50°的一半），60°（120°的一半）角逆时针方向旋转得到X′，X″，以OS为标记镜面作X′，X″的对称点X[，1]′，X[，1]″.过A[，1]，B[，1]，C[，1]，D[，1]对应射线与大圆的交点和C[，1]对应射线与小圆的交点分别作OX的垂线，过这四条射线与小圆的交点作OX的平行线，得到垂线与对应平行线的4个交点A，B，C，D（下底面顶点），再把这4个顶点以OS为标记向量平移得到上底而4个顶点A′，B′，C′，D′，连接这8个顶点，得到直四棱柱（并不理想，为作弧用）.拖动点Q，使侧棱BB′与CC′，CC′与DD′重合时（棱AA′已考虑过），度量出“里面”侧棱的对应顶点的对应射线与OX所成的角（52.57°，97.7°，78.01°，-156.66°）.以O为标记中心，把X逆时针方向分别旋转52.57°，97.7°角得到N[，1]，N[，2]，把R逆时针方向旋转78.01°角得到N[，3]，把R顺时针方向旋转156.66°角得到N[，4].在大圆、中圆上分出弧中，采用2中⑤的后面的作法作弧.
⑥—⑧步类似于2中的⑥—⑧，不同的是过射线与弧的交点作OX垂线时，要分清O[，1]C[，1]对应射线对应小圆，其他射线对应大圆，图3（右）是隐藏了垂线和平行线后的底而不内接于圆的直四棱柱的“虚实型”旋转直观图的制作过程图.
五、制作底面不内接于圆的斜四棱柱（平行六面体为例）的“虚实型”旋转直观图
①—③步类似于4中的①—③，不同的是大圆半径OY=O[，1]C[，1]，中圆半径OX=O[，1]A[，1]，见图4.
④类似3中④，不同的是为了简单其间把平行六面体的倾斜方向设定为OQ射线方向，在OQ上取一点H，把OH长作为侧棱在底面上的射影长.
⑤作弧：过B[，1]，D[，1]，A[，1]对应射线与中圆的交点和C[，1]对应射线与大圆的交点分别作OY的垂线，过这四条射线与小圆的交点作OY的平行线，得到垂线与对应平行线的4个交点A，B，C，D（下底面顶点）.再把这4个顶点以OS′为标记向量平移至A′，B′，C′，D′，连接这8个顶点，得到平行六面体（为作弧用）.拖动点Q，使相邻两侧棱重合时，度量出“里面”侧棱的对应顶点的对应射线与OY所成的角（28.54°，43.5°，120.7°，59.4°，136.5°，150.67°）.以O为标记中心，把X逆时针方向分别旋转28.54°，43.5°，136.5°，150.67°得到N[，1]，X′，X[，1]′，N[，4]，把Y逆时针方向分别旋转59A°，120.7°得到N[，3]，N[，2].在两圆上分出的弧中，采用2中⑤的后面作法作弧.
⑥—⑧步类似于2中⑥—⑧，不同的是过射线与弧的交点作OY垂线时，要分清O[，1]C[，1]对应射线对应大圆，其他射线对应中圆.图4（右）是隐藏了乖线和平行线后的底面不内接于圆的斜四棱柱的“虚实型”旋转直观图的制作过程图.