一组“规律探索”课的集体研究叙事——倍数特征的教学，本文主要内容关键词为：倍数论文,规律论文,特征论文,集体论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2012年2月14日，星期二，下午，白鹤小学数学组的既定集体备课时间.
这一天，高数组轮到罗晓亮老师进行“倍数与因数”单元的集体备课.罗老师照例对单元教学的整体价值和设计思路进行了分析，组内老师围绕一些关键问题讨论.达成共识后，他结合组内制定的“‘规律探索’课型模式探究”这一主题，选取了“3的倍数特征”这一典型课例进行研究.
前行为阶段：遇到第一个“节点”
罗老师围绕教学目标，对核心过程进行了如下“三放三收”的设计——
一放：负面迁移，引起冲突.学生根据2、5倍数特征的研究方法猜测3的倍数特征.
一收：学生发现3的倍数特征不能光看个位.
二放：引导探究，发现规律.引导学生把目光关注到各位数字之和，发现规律，并举一些例子看此规律是否具有推广性.
二收：根据学生的发现总结提炼3的倍数特征.
三放：操作研究，理性分析.学生动手摆小棒，从较小的数着手，明白为什么3的倍数特征与“各位数字之和”有关.
三收：结合操作过程，使学生明白“各位数字之和”即“个位+十位数减若干个9+百位数减若干个99+千位数减若干个999+……”，并将这种思路推广到9的倍数的特征.
以上总体设计，以三个“大问题”为前提，层层递进，而且问题间有一定的关联性.看到这个设计思路，大家普遍认为，这较之以往只关注规律本身有了很大的改进，既关注了以旧引新，又关注了规律本身，还注重了探究规律的本质，可谓“知其然并知其所以然”.不过，较真的老师们马上意识到一个问题，即在“二放”中，教师直接提示学生：“算一算各位数字之和，看看有什么发现？”指向性太明确，不具备开放性，仍然是教师在要求学生怎么做，重心没有真正下移.可以想象，照这种设计思路，学生在课堂上的表现一定会很“顺利”，但这种“顺利”势必会掩盖学生思维的起点状态，学生仍然会不明其中的奥妙.
怎样让学生主动想到探究3的倍数的特征要关注“各位数字之和”呢？我和老师们陷入了一个“节点”，产生了几种观点.有的认为，学生通过观察得出2、5的倍数特征很容易，但3的倍数特征很难由观察得出，要学生自己想到从“各位数字之和”考虑是很难的事；有的则说，五年级学生中，有很多已经在校外上过辅导班，知道3的倍数特征的学生或许存在，因此，与其让学生去完成那不可能的“发现”，还不如通过“三放”让学生明白为什么具备这种规律，这也算是一种弥补.但我始终认为，一定有一种让学生发现3的倍数特征的方法.怎么做？大家的焦点聚集到这一“节点”上.
改进阶段1：部分尝试改进
讨论之后，我突然想到一个点子：我们不是要引导学生主动发现3的倍数特征与个位无关而与“各位数字之和”有关吗？那不妨将“二放”做如下改变——
学生先列举一个三位数，使它是3的倍数，如237.然后，老师非常迅速地写了另外5个三位数：273、327、372、723、732，让学生验证这些数都是3的倍数.如此，再写一个多位数，如4125，再将由这四个数字组成的另外一些四位数一一列举出来，学生分组验证，发现它们也都是3的倍数.在这里，几个不同排列的多位数就成为学生发现“3的倍数特征”的一个铺垫.有了这个铺垫，相信学生很容易想到：3的倍数特征与“个位”没多大关系，与“数字的排列位置”也没关系，而是与“各位上的数字之和”有关.
大家觉得这一改进比老师要学生直接计算各位数字之和要好.但我们马上又意识到，虽然这样做的开放度较原始设计有了很大的提高，但这种开放只能说是给学生设了一个“圈套”，仍然没有解决“主动发现规律”这一根本问题.
于是，我们又逆向思考：要让学生主动发现规律，我们要教给他们什么？大家一致认为，最核心的是“探究规律的方法”，也就是：先确定研究小范围，罗列研究材料，用列举法作工具，然后扩大范围验证，最后获得结论.既然是这样，3的倍数特征已经不是“规律探索”的第一节课，要帮助学生形成这种探究规律的方法，必须从前面的课就开始.如果在探究2、5的倍数特征的时候，教师能引导学生按照这种方法进行研究，并且对这种方法进行概括性的提炼，学生在探究3的倍数特征时就有了主动发现的可能.
特别地，想要引导学生关注到“各位数字之和”，也一定要让学生从前面的课中得到启示.那么，对于2、5的倍数特征为什么只要关注个位就可以了，一定要让学生经历一个理性分析的过程.于是有了下面这番关于序列整体改进的讨论和设想.
改进阶段2：序列整体改进
为什么2、5的倍数特征都只要考虑个位就行了，而3的倍数的特征关注的既不是末位，也不是末两位，而完全换了一种角度，变成了“各位数字之和”呢？这个角度果真是完全换了吗？其实不然！仔细一想，在探索一个数的倍数特征时，可遵循一条共同的原则：先排除这个数中已经确定是这个数的倍数的部分.比如，在探索2、5的倍数特征时，可以这样想：任意一个数都可以写成一个整十数加上它的个位的形式，如：365=360+5，48624=48620+4，我们可以确定整十数是2的倍数（也是5的倍数），因此，我们要判断一个数是不是2（或5）的倍数，不要考虑前面的部分，只要考虑个位就可以了.其实，这里还要用到整除的性质：如果a|b，a|c，那么a|（b+c），但现在的教材不是从整除概念基础上引入倍数，而改成从乘法引入了.如果这样的话，也可以从分配律的角度帮助学生认识这条性质了，甚至还可以从除法的起源——“减去相同的数”上去理解，扯远了，此处按下不谈.
同样，任意一个数都可以写成一个整百数加上它的末两位的形式，整百数一定是4或25的倍数，因此，要判断一个数是否是4或25的倍数，就只要考虑其末两位.
而其中的9、99、999等都是3的倍数，我们可以不考虑，只需考虑“各位数字之和”.
如此一来，在教2、5的倍数特征时，我们如果不停留在“观察得出结论”的层次上，转而引导学生思考“为什么只看‘个位’即可”，学生在探索3的倍数特征的时候是否就有可能“排除”其中可以确定的部分（9、99、999、…）呢？我们担心仅凭2、5的倍数特征一课难以让学生形成这种意识，于是决定新增一课——“4、25的倍数特征”，这在教材上是没有的.按照这种思路，我们对这一组“规律探索”课定的目标如下：
“2、5的倍数特征”教学目标
★借助已有经验研究2的倍数特征；
★梳理“小范围发现和猜想—扩大范围举例验证—归纳概括”的方法结构；
★利用这一方法结构研究5的倍数特征；
★解释规律中蕴含的道理.
“4、25的倍数特征”教学目标
★借助已有方法结构，迁移类推研究4、25的倍数特征；
★整体感悟“一个数的倍数特征”的研究方法；
★整体感悟“倍数特征”规律探索的一般思路——排除“可以确定是这个数倍数的那部分”，考虑“余下的部分”.
“3、9的倍数特征”教学目标
★用“倍数特征”规律探索的一般思路探索3的倍数特征；
★从“排除若干个9、99、999、…”这种思路拓展到排除“所有能确定的3的倍数”，引出“弃3法”；
★猜想并验证9的倍数特征.
我们的思考显得很有序列性，会不会“太理想化”？五年级的三位数学老师决定试一试.由罗老师上“2、5的倍数特征”，赵老师上“4、25的倍数特征”，李老师上“3、9的倍数特征”.
新行为阶段：三堂课的设计思路
由于集体备课后的第二周就已经到了这个单元的上课时间，所以在集中研讨时，大家只能达成一些大方向目标的共识，具体的操作和细节都要依靠执教老师自己.每一个上研讨课的老师虽然只“公开”呈现一节课，实际上要对三节课都有整体的思考和实践.三位老师都以一种全新的思考方式认真投入地思考着，并且在自己的班上开始了尝试.
“2、5的倍数特征”设计思路
一放：探究2的倍数特征.
一收：掌握2的倍数特征并应用这个特征判断数的奇偶性，梳理规律探索的方法结构.
二放：思考“为什么只要看末位就能判断出一个数是否是2的倍数”.
二收：解释2的倍数特征中蕴含的道理.
三放：应用方法结构自主探究5的倍数特征.
三收：掌握5的倍数特征，了解10的倍数特征，进一步解释5的倍数特征中蕴含的道理.
“4、25的倍数特征”设计思路
一放：小组合作探究25的倍数特征.
一收：掌握25的倍数特征，并能解释这一特征中蕴含的道理.
二放：独立探究4的倍数特征.
二收：掌握4的倍数特征，训练数学语言表达的严谨性.
三放：整体思考4、25的倍数特征中的共性，灵活应用4、25的倍数特征解决实际问题.
三收：整体感悟规律探索的思路——排除“可以确定是这个数倍数的那部分”，考虑“余下的部分”.
“3、9的倍数特征”设计思路
一放：小组合作探究3的倍数特征.
一收：交互反馈中掌握3的倍数特征，并能用严谨的数学语言表达.
二放：思考“为什么要看各位数字之和才能判断出一个数是否是3的倍数”.
二收：用规律探索的一般思路解释3的倍数特征中蕴含的道理，生成“弃3法”.
三放：独立探索9的倍数特征，灵活应用2、3、4、5、9等的倍数特征解决实际问题.
三收：整体回顾规律探索的思路，应用中训练学生的有序思维.
反思重建：高视野下的审视
高数组的老师在一起参与了三堂课的全程听课后，又集中在一起对三堂课的得与失进行了反思审视.
对“2、5的倍数特征”一课的反思
由“观察得出结论”提升到“规律探索的方法结构”，这是一个很大的提升.主要体现在两个方面.一是解决了课时容量和难度不均衡的问题.原来普遍认为学习2、5的倍数特征，学生有“单、双数”和“口诀”基础，掌握起来非常容易，课堂研究停留在浅层次，而后面的课难度陡增.二是解决了共性方法结构的链接问题.以往的教学只关注“观察—猜想—验证”这个一般性的方法结构，这个方法结构对于3的倍数特征的研究有一定的局限性，教师往往是通过“强势”的“引导”把学生引向结论，而没有从中找到一条共性的探究方法.而这节课正好解决了这一问题.
当然，从上完以后的情况来看，我们发现，我们站的视野还可以更高一点.这也可以从两个方面改进.一是引入时站在全局、整体的角度思考.如，引入时可以问：我们已经认识了倍数和约数，并且知道一个数的最小倍数是它自己，倍数的个数有无数个.今天我们准备进一步研究某一个数的倍数的特征，如果让你选择的话，你会选择从几开始研究？可以怎么研究？二是总结时的系统、概括提炼.如，当学生先后研究出了2、5的倍数特征之后，教师要提一个问题引发学生思考：为什么我们会把“2、5的倍数特征”放在一起研究？由这两个数的倍数特征，你还能马上想到哪个数的倍数特征？（不难想到10的倍数特征）如果让你再选一组数的倍数特征进行研究，你会选择几和几？
对“4、25的倍数特征”一课的反思
在2、5的倍数特征之后增加这一节课完全有必要.它既开拓了学生的视野，弥补了教材上只研究“一位数的倍数特征”的不足，又让学生有了一次应用方法结构的机会.课堂中，学生已经能按照“独立思考—小组交流”的方式对25的倍数特征进行研究，并且能自觉应用倍数特征的研究方法结构——“小范围研究—猜想—扩大范围验证—解释—得出结论”，还能对初步结论进行分析、例证、解释、猜想.如，当有的学生认为“个位是5或0”的数是25的倍数时，组内学生能举出反例“110”进行否定；当学生得出只看末两位是否为25的倍数就能确定这个数是否为25的倍数时，马上有学生指出任意一个数都可以写成“□…□00+末两位”的形式，前一部分可以确定是25的倍数，所以只要考虑后两位；学生也能根据已有的结论得出合理的新猜想：判断2、5的倍数只看个位，判断25的倍数看末两位，是否判断几位数的倍数就看末几位呢？学生从只关注结论到关注过程与方法，这是这样的课与传统的课最大的区别.
不过，当初增加这节课的重要目的之一，是要让学生整体感悟探索“倍数特征”规律的一般思路——排除“可以确定是这个数倍数的那部分”，考虑“余下的部分”.但从课堂实际情况来看，学生可以用“排除”的思路进行规律解释，却仍然不太容易直接应用这种思路探究一个数的倍数特征.如，探究4的倍数特征，学生仍然习惯去“观察”，所以有的组得出的结论是：个位是0，十位是双数；个位是2，十位是单数；个位是4，十位是双数……即使有的学生得出，十位和个位是24的倍数，这个数一定是4的倍数这一“充分性”很强的结论，仍然没有一个学生朝“末两位是4的倍数”上去想.追根究底，学生仍然只是跟着老师在研究，并不知道为什么要把4和25的倍数特征放在一起研究.赵老师在拓展中让学生自己探究“8、125的倍数特征”，如果换成让学生自己再找一组数进行倍数特征的研究就更好了.
对“3、9的倍数特征”一课的反思
课上完了，听课的老师都和李老师一样沉浸在课堂收获的喜悦中，用李老师的话说“没想到学生会如此精彩”.尤其是“一放”中，没有任何提示，学生能灵活地应用规律探索的方法结构独立探索3的倍数特征.虽然结论的得出似乎经过了“九曲十八弯”，但正是这丰富的过程使学生产生了尝试换一个角度思考的想法.如，因为学生列举出的数都没有超过四位数，而四位数仅有3003、3006、3009等少数几个，所以学生得出结论：要判断一个数是否为3的倍数，要看末三位数.老师不紧不慢地往下接着写：3012、3015、3018、3021、…、3114、…似乎进一步验证了学生的结论.此时，教师再出人意料地写了一个“4114”，使得原来的结论土崩瓦解，更激起了学生探究的热情，课堂也在此时达到小高潮.这时，学生顺理成章地想把结论改成“末四位……”，终于，一个学生一语道破：“我们无法根据末几位的数判断一个数是否是3的倍数，因为整十数、整百数、整千数、整万数……都不能被3整除（表达不准确，他想表达的意思应为：我们不能确定这些数能被3整除）.
“二放二收”中呈现的状态也是可圈可点，学生自然地生成了两种观点，一种不明就里的，仍认为要看“末几位”；另一种则认为要判断“各位数字之和”，研究似乎很民主、很开放，也很热烈.但大家认为，提出要看“各位数字之和“的这一类同学并非源自真实的起点，而是在课外接触过这个结论.产生这一现象的原因，似乎又要回到上面两节课了.李老师也坦言，在前面的课中，对“排除可以确定是这个数倍数的那部分，考虑余下的部分”确实缺少整体感悟.
面对同一批学生的课堂不可重来，但设计的反思却让每个老师有了更清晰的认识.
讨论两个问题：研究序列性、教师的智导能力
毫无疑问，教学设计的高度在一定程度上决定着课堂的高度.但一个好的设计一定不是孤立的，所以我们才想到要进行序列化研究.另外，同一份设计，面对不同的学生，面对不同的生成，也一定会衍生出一些不在预料之中的问题，对这些问题的科学处理，也关乎着课堂的最终效果，因此我们才会有“教师智导”一说.真实研究中的序列性和教学过程中的敏感性也是我们本轮集体研讨中衍生出来的两个重要话题.
问题一：关于三位教师真实研究的序列性
基于“单元备课”和“建模建型”而生的“序列课例研究”是一个全新的研究状态，非常有价值，要真正做到真实的序列研究，其实是有一定难度的.如果让一位老师承担连续的三节课，可以保证研究中的真实性，但执教老师的压力似乎太大了点.让同一个组的三位老师承担连续的三节课，可以减轻老师的压力，但对每一位老师上的另两节课的状态，互相之间只能通过交流有所了解，何况学生的情况不同，有些问题是不可移植的.从本轮三位老师上课的情况来看，仍然存在衔接不够、交流不充分的现象.加上管理者和组内教师对三节课的具体设计未能充分介入，只有一些粗线条的目标的思路，也使得执行过程中出现各种各样的新问题.
问题二：关于教师素养——专业与机智
在“4、25的倍数特征”一课中，老师先让学生研究25的倍数特征，学生仍然采用小范围列举、观察的方法得出了两种结论，一种认为“个位是5或0”；另一种认为末两位是25的倍数.学生能非常熟练地应用举反例的研究方法判断出第一种结论不正确，但教师对其“充分性”缺乏适时的指导.同样地，在研究4的倍数特征的时候，学生又提出“末两位是24的倍数，这个数就是4的倍数”，教师没有就其“必要性”进行指导.中学中会接触到条件的必要性和充分性，此时学生既已经提及，顺带拎一拎，岂不强过做几道判断题？！（这类命题的判断题屡见于试卷中.）
又如，一个学生在判断了“一组数中哪些数是25的倍数”后，由衷地发出猜想：判断2、5的倍数只看个位，判断25的倍数就看末两位，是不是可以想，判断几位数的倍数就看末几位？对这一回答，教师由于预设不足而没有作出回应，有点遗憾.
再如，“3、9的倍数特征”一课，学生分段列举了很多3的倍数，当学生们正在一一否定自己的结论——看末两位是否是3的倍数、看末三位、看末四位……时，一个学生指出“整十数、整百数、整千数、整万数……都不能被3整除”.对这一起突破作用的回答，教师既没有“纠”其不准确的地方，又没有顺势而“导”，而让资源白白流走，使得“二放二收”呈现表面热闹的非真实研究现象.这或许是当局者迷，亦或许是看事容易做事难.
总之，为了使我们的课堂更高效、更精彩，我们应该不断提升自己的专业素养，以一种科学的研究态度对待每一次研究和反思，这样总会有所进步的.有此经历，有此收获，有此效果，当“知足”并“思其不足”也！