数学推理的本质和功能及其能力培养，本文主要内容关键词为：本质论文,能力论文,数学论文,功能论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
培养学生的数学推理能力应当作为数学教育的中心任务.这是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会上，数学教育圆桌会议所达成的基本共识.来自多个国家的数学教育专家就各国的数学推理教学现状进行了广泛的交流.共同担心的问题是：“推理、证明在基础教育中的地位有下降的危险.”主要原因在于：各国早期数学教育的课程设置基本上是将焦点集中在算术概念、计算和算法上，进入7年级或8年级后，突然要求学生理解并写出严密的推理过程，缺少一定的“缓冲余地”，学生普遍感到吃力，产生畏难情绪.解决这一问题的手段又过于简单粗暴，认为以推理见长的几何证明是造成这一困境的“罪魁祸首”，因而削减几何内容几乎成为一种时尚.让人匪夷所思的是，当一些国家正在为这种消极的“回避”政策所付出的代价进行反省时，另一些国家却似乎正在重蹈这一“覆辙”.种种迹象表明，数学教育改革中，对推理的关注和处理策略存在着一定偏差.基于此，重新审视数学推理的地位和功能具有一定的现实意义.
1 数学推理的本质
数学推理本质上是一种纯粹的逻辑推理，因此它常被作为思维严格训练的良好素材.如果今天听到这种论辩，定会有很多人站出来反驳：数学推理不能等同于纯演绎的逻辑推理，它有着远为丰富的内涵.自从19世纪的伟大数学家彭加勒在其“数学推理的本性”中对沿袭了两千多年之久的数学“三段论”推理说，率先提出质疑后，人们对推理的理解逐渐趋于深刻.基本上赞同这种观点：数学推理不能理解为纯粹分析的，…它在一定程度上存在着归纳的性质，具有创造的特性，从而不同于“三段论”，但它始终保持着某种绝对严格的特征[1].
之后，著名数学家、数学教育家波利亚明确将数学推理概括为证明推理与合情推理[2].其中，证明推理表现为严格的逻辑形式，是可靠的、无可争论的；而合情推理则带有猜测的特征，与推理者本人具有更大的亲和性，镶嵌着明显的个性化特色.他首先充分肯定了证明推理在确定数学命题的真理性和其科学体系建构中的重要作用，但同时指出，这只是数学推理的一个方面.在论证数学命题以前，你必须先猜测论证的方向及主纲，合情推理即是启发猜想的产生和促进其进化的机制.由此不难看出，合情推理是演绎推理的有效延拓，2者非但不矛盾，反而相辅相成，共同在数学论证活动中发挥着各自的作用.
近年，数学推理的理论与实践研究有增无减.心理学家、数学教育家斯滕伯格根据多年的教学经验、实践调查和对学生认知过程的分析，认为数学推理的3个方面——分析性推理、创造性推理和实践性推理同时起着重要作用[3].其中，分析性推理倾向于演绎式逻辑分析，创造性推理倾向于猜想与发现的活动过程，而实践性推理则意指在具体、真实的问题情境中，推断、策划解决问题的办法.并强调指出，分析性推理仍是数学推理的基本要素，因为它在一定程度上对后2者具有明显的促进和制约作用.但有效的教学应同时注意培养和评估3个方面的推理能力.
对数学推理的上述几种认识基本上反映了各个阶段的数学推理观.除了推理的成分有逐渐扩充的趋势之外，本质上仍然是一致的.3种观点的共同之处在于：都承认数学推理不仅在于逻辑推理，又都把逻辑推理视为数学推理的根本特性.因此，如果一定要涉及到数学推理的本质，那么，毫无疑问应该归结为演绎推理.其它诸方面，无非是对演绎推理的丰富与发展.
至此，如果要涉及到数学教学中推理能力的培养问题，自然要立足于演绎推理，同时发展合情推理、实践性推理等能力，切不可本末倒置.当前我国研制的课程标准已明确提出“发展学生的合情推理能力和初步的演绎推理能力”，但似乎有合情推理冲淡演绎推理的倾向.笔者此处不愿，也无力涉及课程研制中怎样才不致将演绎推理削弱到不应当的地步，仅想重新考察数学推理，尤其是演绎推理的功能，以从中得到一些有益的启示.
2 数学推理的功能
数学推理的功能是多方面的，主要体现为思维训练、理解命题、解释说明、证实猜想、扩充知识等.本文仅涉及思维训练、理解命题2个主要方面.
2.1 数学推理的思维功能
谈到数学推理的思维功能，不由使人联想到柏拉图在他的哲学学校门口张榜声明：“不懂几何者请勿入内.”其实，他的课并非讨论那些点、线、面问题，而都是些关于社会的、政治的和道德的深刻问题.只不过，他认为只有以推理见长的几何课对人们的逻辑思维的严格训练才能具备讨论和探索各方面问题的能力.且不论柏拉图本人或是他所处的那个理性时代对几何推理的推崇是如何偏激，有一点却是毋庸置疑的：数学中的推理证明对人的逻辑思维的训练有着其它学科所无法替代的作用，这是数学立足于科学之林的根本.
数学推理能使人的思维方式严格化；能训练心智使之能正确而活泼地思考；能增进人们认识与理解事物的敏锐性和渗透性；能启发人们对新问题进行有效地分解与组合，发展分析问题与解决问题的基本功.所有这些方面几乎都是不必言说的.
生命科学领域是获诺贝尔奖最多的群体之一，也是一门典型的实验学科.逻辑推理的作用是否有所降低呢？有一段佳话也许能回答这一问题.意大利组织学家莱维培养的3个学生都先后获得诺贝尔奖.其中，“生长因子”的发现者，1986年度诺贝尔生理学医学奖获得者，为数不多的女发育生物学家莱维—蒙塔尔奇尼获奖后的自述具有一定的代表性：在踏入生物学门槛之前，我专门补习3门课.除了拉丁语、希腊语之外，就是数学.我想，今天的成功除了得益于老师的严格训练之外，再就是数学了，因为数学的奇妙推理能使人深入到现象后细微末节的机理部分，造就人精细分析、严密思考的品格[4].难怪爱因斯坦也如此评价：数学推理的这种可赞叹的胜利，使人类的理智获得了为取得以后成就所必需的信心.
数学教育圈子里流行着一个深得人心的口号——“教会学生思考”，很大程度上就是指教会学生独立进行数学推理的方法.“授之以鱼，不如授之以渔”，教给学生独立进行逻辑推理的方法，让他们自己把握推理链条中的种种关系，他们所学到的就不仅仅是一个数学问题的解决方法，一种数学方法的掌握，而是今后发展所需要的思维品质.
有一个问题不容回避，数学固然以其独到的推理启迪、培养、发展着人的思维，但其它学科抑或具有同样甚至超过数学推理的这一功能.对此，数学家的体会可能更为深刻：“虽然也有其它学科或其它方式可以培养人的思维，但在深度、广度、系统性等方面，是无法与数学相比的.”“数学推理能够集中、加速和强化人们的注意力和思考力；从深度和广度2方面解释隐藏在表面现象后面的客观规律和思想要素.几乎没有其它环境能像数学那样使学生如此直觉地感到思想的重要性.”数学的这种最为显著的优越性，其实正是数学的精神所在.
一直以来，几何证明是中学阶段培养学生数学推理的主要内容，其系统、严密的演绎特点也确实给数学学习带来了一定的困难，但在培养学生的思维等主流方面是经得起考验的.也许一些内容需要调整，个别呈现方式有待提高.但所谓的“证明消亡论”是根本站不住脚的.数学是思维的科学，思维功能是数学最广泛的“实用性”，“花拳绣腿”式的数学内容无疑会削弱数学的这一本色.著名数学史家、数学教育家M.克莱因经由历史与现实的考察后提出过忠告：在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性精神.正是这种精神，使得人类的思维得以运用到最完善的程度，也正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完美的内涵[5].在以素质教育为宗旨的数学课程改革中，无论选择怎样的数学内容，都应立足于数学的这一广泛的社会价值.
2.2 数学推理的理解功能
表面上看，数学推理的终极目的在于核实命题、扩充知识.但经验告诉我们：对数学问题的表面认识和肤浅理解根本难以使推理成行.数学推理过程中的每一个环节都需要将新命题与认知结构中已有的相关命题和概念重新组合，以特殊方式连接起来，并通过相互作用使学习者对新命题从逻辑意义上的认同过渡到心理意义上的认同.其间，伴随着增进理解的有几个主要环节.
（1）数学推理的过程积累了有助于理解命题的“过程知识”.理解一个数学命题不是靠传授和迁移，而是需要学习者亲自花一番功夫，在个人真实的智力参与和自主活动中积累相关的“过程知识”——体验性知识、策略性知识及元认知知识[6].由于过程知识是在主体的尝试、探索过程中形成的，融入了个体特定数学活动场景中的特定心理体验，渗透着一些不可言喻的、潜意识的个性感受，因而是理解相关数学命题所必需的基本要素.数学推理活动的最大特点在于推理活动者本人的“自主参与性”，在这个过程中学习者能够积累许多具有个性特点的过程知识.因为，要完成一次数学推理，必须是推理者本人根据待研究的命题特点，从相关知识储备中，提取推理链条中所需的信息，经筛选、组织、转换，使之与正在编码的新信息协调、整合起来，加工成符合逻辑的信息体.在此过程中，既有新旧知识的同化与顺应，又有对象及性质的甄别与重组；既有关系及图式的匹配与构建，又有过程及结构的反省与修正.这些活动充分调动了推理者本人的思维机制，形成了一条系统、有序的推理活动链.使得从事推理活动者本人在自己的智力参与活动中，实实在在地体验到辨别、组织过程的真实情景.无论是顺利的成功推理，还是经过多次挫折、迂回获得的胜利，都使推理者本人获得了相关的过程知识，增强了对数学问题的感悟和理解.
（2）推理活动易于唤起基于相似性的探索，构建理解命题所需的网络知识.数学命题的推理证明中，常常通过把新问题识别为与已经理解的老问题属于同一种类型，从而基于相似性的探索进行类比推理.在这一过程中，易于唤起数学知识间的结合与联系，使前后知识结系成网，无形中促成了对新问题的理解，同时也深化了对原问题的理解程度.基于相似性的探索是数学推理活动的常见形式.著名数学家莱布尼兹曾意味深长地说：只要你想到了相似性，你就想到了某种不止于此的东西，而普遍性无非就在于此.虽然推理结果的正确性还必须经过严格的演绎论证之后才能最终确定，但推理过程中的比较、联结、提炼、反思等活动激活了在头脑中的认知结构中的信息横向联系，构成了理解命题所需的网络知识.
（3）对错误推理的反省有助于深化数学理解.
数学推理并不总能导出正确结果，即使详尽分析、周密思考做出的审慎推理，也难免会出现纰漏，这一点，数理哲学家拉卡托斯在《证明与反驳》中进行了非常客观的评述.他提出了“数学既非纯理性、也非纯经验”的观点，创下了拟经验这个字眼，认为数学推理的错误能促进深入理解数学命题，是数学生长的触发剂.由此看来，数学教室里出现推理中的错误，实属正常现象.学生在推理过程中寻求关系、做出猜测、解释并证实猜测，有着明显的经验性倾向，不可能总是正确的.其实，错误推理正暴露了学习者对数学知识及其关系掌握的真实情况，往往能唤起学习者的自觉反省意识，这是增进理解的重要一环.因为，以批判的眼光看问题，最能增强对问题的辨别把握能力.反省即是以批判的眼光对命题及相关知识的重新审视，以及对自己推理方法及环节的检验与修正.
3 对培养学生数学推理能力的思考
客观地讲，我国的数学教育在推理能力的培养问题上，无论是教学内容还是教学方式一度出现过分追求严谨性、形式化演绎推理的倾向，有必要对之进行反思和整改，以使数学“冰冷”的外表带点“人情味”.但也应谨防从一个极端滑向另一个极端，使以理性见长的数学成为不伦不类、没有个性的“生活资料”，那就适得其反了.因此，以下问题还是值得思考的：
（1）课程内容的删减与添加应确保演绎推理占有足够的份额，这是培养学生数学推理能力的根本保证.虽然数学推理能力不仅在于演绎推理，还应包括合情推理、实践性推理等成分，但主要的仍是演绎推理能力，其它不过是演绎推理能力的前提和必要补充.我国研制的《数学课程标准》关于推理能力的培养则是基于这样的指导思想：数学教学中培养学生推理能力的载体不仅在于几何，而且广泛地存在于“数与代数”、“概率统计”、“实践与综合应用”之中.从而认为，削减了几何证明，学生同样可以通过其它途径获得推理能力[7].而根据对《标准解读》的分析，所谓“其它途径”主要则是针对培养合情推理能力而言的.这似乎存在着这样一种隐喻：削弱演绎推理的份额，可通过增加合情推理的内容来弥补.如果《标准》真是这种思想，那么对数学推理能力的几种成分的主次地位的认识则有值得商榷的地方；如果《标准》并非此意，那么作为纲领性的指导文件，将2种性质不同的推理能力混为一谈，多少有点不够严谨.不可否认，合情推理对于培养学生的创新精神和实践能力有其独到之处，明确提出培养学生的合情推理能力是很有必要的，但它根本不能替代演绎推理能力的培养，无论是从思维功能还是理解功能上分析，演绎推理始终应是数学推理能力的核心.
当然，适当降低演绎推理的形式化、严谨性，是有必要的，削减偏难的几何证明也已达成一种共识，但这并不等于说要降低演绎推理在基础教育阶段的地位和作用.北京国际数学家大会上，各国专家已达成一致意见：基础教育中培养学生的数学推理尤其是演绎推理能力应当作为数学教育的中心任务.因此，选择课程内容时，即便削减了几何证明，仍应以相应的演绎推理素材加以弥补.
（2）数学教学过程要力求为学生创设推理的机会和环境，暴露推理的真实思维过程，引导学生自主参与到推理活动中去.推理能力的获得不是靠“传授”得来的，而是在学生自主参与的推理活动中“领悟”出来的.这是一个体验、探索的“再创造”过程，需要留给学生自主活动的空白时间带.教学活动应当注重创设推理活动的环境，提供探索、交流的机会，形成良好的推理活动风气.一方面，教师要注重教学中的现推现想，暴露推理活动中的真实思维过程，力求避免直接呈现结论的“结果性教学”；另一方面，注意选择、设置能激起有效推理活动的、富有挑战性的问题，引导学生自主参与活动，获得基于个人体验的、“领悟”问题所需的过程知识；再者，重视“错误推理”的教学价值，注意启发学生从中发现问题的症结所在，养成认真反思的良好习惯，有时，甚至是适当地引导学生“犯错误”，以促成对问题的深刻理解.
当然，数学推理能力的培养并不仅局限于课堂，一些有效的课外活动及游戏方式同样是培养推理能力的良好途径.注意拓宽发展学生推理能力的空间，有利于增强学生的推理意识，形成自觉推理论证的良好习惯.