柯西不等式在《普通高中数学课程标准（实验）》选修系列课程中的定义如下：对于任意实数ai、bi（i=1，2，…，n），（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）当且仅当ai=kbi（1，2，…，n）时等号成立。由于柯西不等式在高考中是选修内容，老师和学生对此块内容的重视程度明显不如必修内容。但由于近年来中国名牌学校自主招生考试的兴起，柯西不等式作为均值不等式的延伸、施瓦茨不等式和切比雪夫不等式的基础，在高校自主招生考试中得到了众多出卷人的青睐。柯西不等式一方面可以加深学生对不等式数学本质的理解；另一方面对于培养学生数学探究能力、数学思想有重大意义。
于是笔者将近几年柯西不等式在高校自主招生和数学竞赛中的题型进行归纳总结，以供大家交流。
一、二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式是指上述不等式中n=2，（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22），当且仅当a1b2=a2b1时等号成立。
评语：本题解题的关键在于将4理解为n2进而构造n维柯西不等式，看似难度较大，实际根据 + +…+ 与 x1+x2+…+xn而被求不等式去取大于号而无等于号，很容易构造柯西不等式。
论文作者:张舒怡
论文发表刊物:《中小学教育》2018年第324期
论文发表时间:2018/7/26
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