数学教育之取势、明道、优术，本文主要内容关键词为：明道论文,数学论文,优术论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在“大连市沙河口区数学教育大家行”活动中，人民教育出版社编审章建跃博士的专家报告为我区数学教师解决了许多教学疑难问题.下面以访谈形式呈现这次报告的内容，与广大同行分享. “取势”就是把握好数学课改的大方向 陈向兰（以下简称陈）：您这次讲座的关键词是“取势、明道、优术”，源于什么想法？ 章建跃博士（以下简称章）：我们知道，《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》的颁布标志着我国课程改革进入了新阶段.党的十八大和十八届三中全会提出了教育的立德树人根本任务，要求进一步提升综合育人水平，更好地促进学生全面发展、健康成长.为此，教育部最近发布了《全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，提出“大力弘扬中华优秀传统文化，把培育和践行社会主义核心价值观融入国民教育全过程”的新要求.“取势、明道、优术”是中国的古代哲学思想，它阐明了做任何事情都应遵循的基本道理，是中华优秀传统文化中的瑰宝，可以成为我们在深化教育领域综合改革的新形势下做好数学教育的指导思想. 实际上，取势、明道、优术就是“明确方向，把握规律，办事有方”.做事首先应看清方向，方向不对则越努力就越坏事，“大势所趋”、“顺势而为”，这就是取势；其次，“道”就是事物发展的规律性，把握好规律，按规律办事，才能保证事业成功；最后，“术”是做事的策略和方法，做任何事情都要有好的方法，这样才能提高办事的效率，确保办事质量. 同样的，取势、明道、优术也是实现数学育人目标的关键.我们数学教育工作者首先应把握好当前我国教育事业发展的“势”，这就是：要深化课程改革、落实立德树人根本任务；要贯彻教育规划纲要提出的德育为先、能力为重、全面发展的教育理念，完善符合素质教育和时代要求的课程教材体系，深化人才培养模式改革，为各级各类人才的成长提供平台和良好环境；在教与学的方式上，要进一步推广自主、合作、探究的学习方式与启发、讨论、参与的教学方式，特别是要坚持启发式教学这一优秀传统，增强育人的针对性和实效性；要改变重智轻德、单纯追求分数和升学率的现状，在增强学生的社会责任感、提高学生的创新精神和实践能力上狠下工夫.可以肯定的是，追求教育GDP，以考试分数、升学率为唯一衡量标准的教育发展模式已经走到了尽头.教育发展的这一大势，反映到数学教学中，就是要回归数学教育的本来面目，着眼于学生的长期利益，发挥数学的内在力量，挖掘数学内容所蕴含的价值观资源，以提高数学素养、发展思维能力、培育理性精神为核心，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考，成为善于认识问题、解决问题的人才，这就是数学教育的大势所趋.“取势”即是要在数学教学中抓住数学教改的大方向并乘势而上. 数学课首先要“教好数学” 当前，从整体上看，我们的课堂教学与数学育人的要求还有较大差距.许多学生都在抱怨自己在数学上花费的时间多但学习效果不理想.为什么会出现这种状况？数学课到底给了学生什么？这是我们应该反思的.在上一轮课改中，片面反对“学科本位”，数学课程目标反映数学学科特点不够，导致数学课改中出现许多偏差.我认为，现在已经到了该认真反思的阶段了.我们必须认真思考一个问题：在基础教育课程体系中，数学课程的特殊性到底体现在哪里？我认为，数学课程的主要功能在于让学生会运算、能推理，在培养学生的思维能力，特别是逻辑思维能力上，是其他学科无法替代的.数学育人，主要表现在培养学生的几何直观能力、运算能力、逻辑推理能力、数据处理能力等，使学生在掌握数学知识的过程中形成一定的数学素养，培育理性精神，这是最核心的问题. 上一轮课改中，为了体现课改新理念，许多人都在想方设法搞“创新”，例如建构主义大行其道，“新理念、新思想”层出不穷，“教学创新”五花八门，各种“模式”令人眼花缭乱.课堂教学中，创设各种各样的问题情境，从学生的现实生活出发，让学生动手操作，组织学生合作学习、交流互动……这些措施确实改变了课堂面貌，但出现了比较严重的偏差，有人把它叫做“去数学化”.这一问题早就引起了数学教育工作者的关注，但现实中至今没有多大改观.这说明，课改的顶层设计需要慎之又慎，否则出现偏差则需要很长时间纠正.我认为，当前流行的那些模式大都是形式的、外在的.数学育人的根本之道在于充分发挥数学的内在力量.数学课首先要把数学教好，数学育人寓于教好数学之中. “教好数学”的内涵是“使学生在掌握数学知识的过程中学会思考” 陈：说得太对了！数学课程中，学生的一切发展只能建立在学好数学的基础上，数学学不好，其他就免谈了.同样的，如果数学教不好，那么数学育人就一定会落空.但什么叫“教好数学”？怎样才能教好数学呢？ 章：这是一个需要认真讨论的问题.许多老师认为，让学生学会解题，在各种考试中能得高分就是教好了数学.但我认为这是远远不够的.借用丘成桐先生的观点，“全国为了考试而努力，而不是为了小孩子增加知识而努力，是个灾难性的问题.”大量解题“无助于甚至不利于培养学生的创新能力，影响了学生的全面发展”.做题目“与真正的研究可以说截然相反”，考试得高分“只证明考试能力，不代表就有研究能力”.所以，如果我们以前面提到的数学育人目标为定向的话，那么“教好数学”的内涵应该是“为学生构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考”.为此，教师必须在理解数学、理解学生、理解教学上狠下工夫.我认为，这“三个理解”是教师专业化发展的基石，也是教好数学的根本保证.落实在课堂中，则应在“取势”的基础上做到“明道”与“优术”，唯有这样才能真正把数学教好. 明“数学之道”是“教好数学”的首要前提 陈：前面您已经把“取势”的意义阐述清楚了，那么“明道”的含义是什么？它的重要性体现在哪里？ 章：明，即明白、懂得；道，即规律、原则；明道，即懂得做事的原则，按事物发展的内在规律办事.明数学教育之道，我认为归根到底是“三个理解”，而且“理解数学”是首要的，也就是首先要明“数学之道”，要懂得数学地认识和解决问题的基本方法.我在大量听课中发现，数学教学质量低下的问题，追本溯源，一定可以从教师的数学理解不到位上找到原因.显然，如果教师对内容理解不到位，那么知识的发生发展过程、教学的重点、难点、关键等也就把握不住，从而就不可能恰当地安排教学过程，也很难在教学中提出具有启发性和挑战性的问题，对学生数学学习指导的针对性、有效性也就会大打折扣.我认为，如果教师“理解数学”不到位，那么教好数学是不可能的.所以，明“数学之道”是首要的. 陈：我在教研工作中对此也深有体会，教学效果不好的首要根源就是教师自己对教学内容的理解还不深入.听课中常常感到老师教得不到位，但要给老师讲清楚怎样教才算到位又感到有一定难度.您能结合具体内容阐述一下明“数学之道”的含义吗？ 章：好的，我们以初中平面几何课程为例.对相交线、平行线，三角形、四边形、圆等等的研究，都是按照这样的线索展开的：从具体事例中抽象出基本图形（研究对象），给出定义及其表示，并对研究对象进行划分，然后研究图形的性质（判定），在此基础上再研究“特例”，在整个过程中始终注重与相关知识的联系和应用.例如，对三角形的研究，我们按如下过程展开： （1）定义“三角形”，明确它的构成要素；用符号表示三角形及其构成要素；以要素为标准对三角形分类.这是获得研究对象的过程. （2）研究基本性质，即研究三角形的要素之间的关系，得到“两边之和大于第三边”，“内角和等于180°”，“大角对大边”，“等角对等边”等. （3）研究高、中线、角平分线、外角等相关要素及其关系，如“外角等于不相邻两内角之和”，“三条中线（高、角平分线）交于一点”等. （4）三角形的全等（这是欧氏空间对称性的反映，“相等”是重要的数学关系，也可以看成“确定一个三角形的条件”）. （5）特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）的性质与判定. （6）三角形的相似. （7）直角三角形的边角关系（锐角三角函数），解直角三角形. 概括起来就是： 定义、划分——性质——特例（性质和判定）——联系和应用. 具体地，一般是从定性（相等、不等、对称性等）到定量（面积、勾股定理、相似、解三角形等）展开研究. 明“思维之道”才能落实“教好数学” 陈：您概括出了数学研究的一个整体思路，明确了研究一个数学对象的基本线索，非常清晰，对我们把握教材的整体结构、理解数学教学内容很有帮助.能不能结合课堂教学，更具体地阐述一下各环节的要点？ 章：好的，实际上这就是在明“数学之道”的基础上，结合学生的数学“思维之道”（或者说是在“理解数学”“理解学生”的基础上），设计教学过程、展开课堂教学的问题.数学学习归根到底是学生自己的事情，只有“理解学生”，懂得学生的数学学习规律，并按这一规律办事，才能真正教好数学. 首先看学生“获得研究对象”的过程，主要是数学概念学习的过程.我们知道，概念是反映对象本质属性的思维形式.人类认识事物的过程要经历从感性上升到理性的过程，把所感知的事物的共同本质属性抽象出来，加以概括，就成为概念.这说明概念学习不能从抽象定义出发，而应该从具体事例出发，通过感知、抽象其共同本质属性，并概括到同类事物中，这样才是理解概念的内涵、掌握概念的本质.由此，概念教学应采取归纳式，让学生用概念形成的方式学习概念，其中的核心是感知、归纳同类事物的共同属性，在抽象、概括出本质属性后再给出定义，这是获得数学研究对象的基本过程，教学中必须把握好这个过程. 陈：“概念教学从具体事例出发”，“概念教学应采取归纳式”，这是很重要的.那么“举例子”要注意什么？ 章：主要是典型性和丰富性.典型性就是所举例子中，概念的本质属性要突出，容易被学生感知到；丰富性就是例子中要包含本质特征的不同表现形式.我们在教学中都会举例，例如“函数的概念”，教材中举了5个例子，这5个例子不仅包含不同实际背景，而且还有文字、公式、表格、图形等多种表示形式.这些例子中的数量关系都是学生熟悉的，学生很容易从背景中抽象出来，同时它们包含了解析式、表格、图象等函数的表示方式，这就体现了丰富性.所以课本中的例子较好地体现了典型性和丰富性，大家要仔细琢磨. 总之，要使学生有效地获得数学概念，要抓住两点：第一要举好例子；第二要让学生经历感知、抽象、概括它们的共同本质属性的过程.对于概念的学习和教学，我在《数学教育心理学》一书中有详细论述，大家可以参考. 陈：我从您的《数学教育心理学》中受益匪浅，强力推荐大家读一读这本书.那么“划分”是什么意思？您认为教“划分”主要应该教什么？ 章：这是从明确概念的逻辑方法来讲的，它与“下定义”相对应.下定义是明确概念内涵的逻辑方法，划分则是明确概念外延的逻辑方法.数学概念都是某一类事物的反映，其外延是由许多子类组成的.划分就是将一个概念所指的数学对象按不同属性分成若干子类，这是明确概念外延的方法.通过划分，一方面可使概念系统化、完整化，从而建立概念的结构体系；另一方面能获得对概念外延的更深刻认识.所以，教好“划分”是概念教学的重要一环. 划分必须依据一个确定的、统一的标准来进行.例如，把实数分为有理数和无理数，所依据的标准是“循环”.依据的标准不同，划分的结果也会有所不同.例如，对三角形进行划分，如果依据边长是否相等（三边各不相等、只有两边相等和三边全相等），那么可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形三类；如果以内角的范围为依据（三个角都是锐角、有一个为直角、有一个为钝角），那么可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三类.这说明，教学生学会划分，就是要教会两条，一是学会找划分标准，二是前后一致地按标准分类. 在划分的教学中，出现的主要问题是没有教如何找划分标准.从上所述可见，找划分标准就是找概念所指的数学对象的属性，其中特别是概念要素.例如，三角形的要素是三个角、三条边，于是就有分别按角、边的划分. 明白“什么是性质”才能使发现和提出性质成为自然 陈：通过上述解释，我们就知道该怎么教划分了.实际上，我们教研员在教研活动中最感困惑的问题就是如何使老师们做到“知其然，并知其所以然”.例如，大家都知道各种各样的数学性质，但却不知道这些性质是如何发现的.您能谈谈如何使学生发现性质吗？ 章：这的确是一件非常重要的事情，“发现和提出问题比解决问题更重要”.如何使学生“学会发现”？课堂中如何培养学生的发现问题、提出问题能力？这是时代发展对数学教育提出的迫切要求. 要使学生学会发现性质，首先应明白“什么是性质”.《辞海》中说，“性质是指事物所具有的本质”，而“本质即事物内部稳定的联系”.那么，“事物内部”指什么？“稳定的联系”是怎样表现的？为此我们可以回顾一下三角形的性质： 由“三角形的内角和为180°”、“三角形两边之和大于第三边”、“三角形中，大边对大角，等边对等角”等等可以想到，三角形这个对象的“内部”可以是“三角形的组成要素”，而“稳定的联系”是指“三角形要素之间确定的关系”.推广到一般就有“几何对象组成要素之间确定的关系就是性质”. 从“外角等于不相邻两内角的和”、“三条高交于一点”、“等腰三角形三线合一”等又可想到，如果把外角、高、中线、角平分线等叫做三角形的相关要素，这些“相关要素”也可以看成是“三角形的内部”，推广到一般就有“要素、相关要素之间确定的关系就是性质”. 研究两个几何事物所形成的某种位置关系的性质，例如两条直线平行，从“同位角相等”、“内错角相等”以及“同旁内角互补”可以想到，这时的“性质”是借助“第三条直线”构成一些角，然后看由两条直线平行这一位置关系所决定的这些角之间有什么确定的关系.因此，研究两个几何事物的某种位置关系下具有什么性质，可以从探索这种位置关系下的两个几何事物与其他几何事物之间是否形成确定的关系入手. 陈：从您的这些分析中我悟出一点，就是如果对某个概念、原理不理解，可以借助具体事例帮助理解.实际上，分析一些具体事例，归纳出共同属性，并概括到同类事物中去，这就是研究.我们都知道三角形的这些具体性质，但从来也没有从中概括过“要素、相关要素之间确定的关系就是性质”.这真是“内行看门道，外行看热闹”. 章：是的，我想这是一个“不是做不到，而是想不到”的问题，教师应该多思考“这些性质是怎么发现的”“这个方法是如何想到的”等，这正是“明数学之道”的重要方面.如果教师能意识到它的重要性，努力掌握“看门道”的方法，并把“教会学生思考”作为核心任务，在教学中经常地引导学生把具体结论概括到一般原理上，那么学生对数学对象的认识水平就将大大提高，这样才是充分挖掘了数学知识所蕴含的价值观资源，才能充分发挥数学的内在力量，提升学生的数学素养.我认为这是一个具有本源性的数学教育思想. 另外，由此还可以看出概念的重要性.概念理解了，那么数学对象的要素也就明确了，进而研究性质的基础就具备了. 下面我们以上述一般原理为指导，看看如何研究平行四边形的性质、判定.平行四边形的要素、相关要素是四条边、四个角、两条对角线等，给定的位置关系是“两组对边分别平行”.根据“几何学是研究几何图形的形状、大小和位置关系的科学”，这里的“要素、相关要素之间的关系”应该从这些边、角之间的“大小、位置关系”入手，于是容易得到：两组对边分别平行且相等；两组对角分别相等；对角线相互平分；等等. 有了性质，再利用“性质”和“判定”的互逆关系，就可容易地得到平行四边形的判定定理. 总之，把数学知识的内在逻辑理清楚，再以符合学生认知规律的方式组织教学，就可以把数学教得简单、清楚、明白. 先构建整体框架，再展开具体探究 陈：通过您的讲解，我已经知道平面几何中研究一个几何对象的大框架了.但课堂教学受时间限制，需要循序渐进地安排学习内容.您能以平行四边形的教学为例，谈谈如何在“大框架”下设计课堂教学吗？ 章：这确实是一个需要考虑的实际问题.我想，在面对一个新的数学研究对象时，要有“整体观”，要先为学生构建研究的整体框架，再在“获得研究对象就是要让学生理解相关数学概念的内涵和外延”、“研究数学对象的性质就是探究它的要素、相关要素之间稳定的联系”、“通过类比、推广、特殊化等发现和提出值得研究的问题”、“通过建立相关知识的联系，使学生形成思维功能强大的知识体系，更有效地解决问题”等具有普遍意义的一般观念的指导下，展开学习和研究. 那么，我们应该如何为学生构建平行四边形的研究框架，使学生明确研究的内容、过程和方法呢？事实上，研究四边形的基本思路、内容和方法与三角形的研究是一致的，无非是研究对象由三角形变为四边形.当然，学生从三角形的学习中掌握了许多几何知识，特别是体会了平面几何的研究方法，我们要充分发挥这些知识经验的作用，为平行四边形的学习奠定基础.为此，平行四边形的学习应该从总结三角形的研究内容和方法开始. 具体的，可以按如下问题串引导学生展开探究： 问题1 今天开始我们要研究一个新的几何对象——平行四边形.实际上，平行四边形的研究可以从三角形的研究中得到启发.你能概括一下研究三角形的基本思路、内容和方法吗？ 问题2 类似的，你认为我们应该如何展开平行四边形的研究？ 通过讨论，形成如下研究框架： 平行四边形的定义——平行四边形的性质和判定——特殊的平行四边形（角的特殊——矩形，边的特殊——菱形，边、角都特殊——正方形）的性质和判定——与三角形、平行线等的联系. 由于平行四边形可以分成两个全等三角形，所以在研究方法上要注重与三角形知识的联系，将问题转化为三角形的性质和定理的应用；又因为平行四边形的两组对边分别平行，所以一定要注意用平行线的性质解决问题. 在研究“特殊平行四边形”时，要注意“特殊三角形”知识的应用：矩形——直角三角形；菱形——等腰三角形. 因此，如果我们以三角形为载体，使学生掌握了研究几何对象的整体思路和获得概念、研究性质的基本过程与方法，那么学生就能容易地掌握平行四边形的知识，甚至可以独立自主地研究平行四边形. 陈：确实，在这样的整体框架下，研究线索清楚了，研究的问题明确了，而且又有研究方法的指引，再让学生展开具体研究，就一定能做到“既见树木又见森林”，学习的盲目性也会大大降低，而且能学得更加生动、有趣，培养发现和提出问题的能力也就蕴含其中.具体教学中还有需要注意的问题吗？ 章：具体教学中，还要注意如下问题. 第一，因为有了相交线与平行线、三角形的学习经验，平行四边形的学习要更加注重学生的自主学习，给学生更多独立探究的机会. 第二，平行四边形的教学要更多关注推理能力的培养，不必做太多的实验、操作，应该加强抽象思考. 第三，要发挥“性质”与“判定”的互逆关系，让学生从性质定理直接猜想判定定理. 第四，在研究矩形、菱形时，要注意按几何知识发展的逻辑必然性来组织内容.例如，对于菱形，从定义出发，利用平行四边形的性质直接就推出四边相等；再由四边相等加上对角线互相平分立即得到对角线互相垂直；再利用等腰三角形的性质而得出菱形是轴对称图形. 注重数学的整体性，提升学生的系统思维水平 陈：在听您讲解的时候我在想，如果按照这样的要求展开教学，那么学生所受到的思维训练将是系统化、结构化的.这样，当学生独立面对一个问题时，就不会束手无策，至少他知道解决问题的大方向，也能找到解决问题的切入点，知道从哪些角度入手展开分析. 章：是的，通过这样的教学，学生的系统思维水平将得到有效提升. 陈：什么是系统思维？ 章：系统思维就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法……系统思维能极大地简化人们对事物的认知.系统思维给我们带来整体观、全局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现. 中学数学中，数、式及其运算，方程与不等式，多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数，等差数列、等比数列，向量，平面几何、立体几何、解析几何，概率、统计，导数、积分等等，都是一个个系统.每个数学概念也可以看成一个小系统.例如前面讲到的关于三角形的研究，就是把三角形作为一个系统，按照“背景——定义、表示——划分（以要素为标准）——性质（要素、相关要素的相互关系）——特例（性质和判定）——联系（应用）”展开的研究，这样的研究体现了系统思维方式的结构性.值得指出的是，这个结构具有普适性.数学教学中，只要紧紧抓住这一结构，再通过横向或纵向的类比与联系，引导学生去认识和把握具体数学对象的要素和功能的关系，就能使他们建立起研究数学对象的结构，并形成完整的认识.例如，对“函数”的研究，就是按照“实际背景——函数的定义、表示——图象与性质——应用——基本初等函数（函数的特例）”展开的. 总之，培养系统思维，是为了使学生养成全面思考问题的习惯，避免“见木不见林”，进而使他们在面对数学问题时，能把解题目标、实现目标的过程、解题过程的优化以及对问题的拓展、深化等作为一个整体进行研究.这样，“使学生学会思考，成为善于认识和解决问题的人才”就能落在实处. 陈：看来提升学生的系统思维水平是非常重要的，而且我觉得数学课程在这方面有独特的优势.您能结合具体例子谈谈如何用系统思维进行教学内容的分析吗？ 章：好的.我以“同底数幂的乘法”一课为例.现行教材是按照“生活实例——列出数学式子——提出问题——研究法则——法则应用”的结构安排的.这样设计没有体现知识发生发展的必然性，不自然、不清楚，因此不能让学生感受到学习同底数幂的乘法的必要性. 从“建立一个前后一致、逻辑连贯的代数学习过程，让学生在掌握知识的过程中学会思考”的要求出发，在学习“整式的加减”的基础上，类比数的运算，自然而然地就会提出整式的乘法、除法的研究任务.可以先让学生思考一下多项式乘法的基础是什么？实际上，两个多项式相乘，就是先用分配律转化为单项式的乘积之和式，再用乘法的交换律、结合律和幂的运算性质（指数法则）得到单项式的乘积.所以，多项式乘法的基础是单项式的乘法，而单项式的乘法又以幂的运算性质为基础.通过归纳可以发现，幂的运算最基本的形式是三类：
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