数学概念的教学认识（上），本文主要内容关键词为：概念论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
客观事物既有现象又有本质.现象是事物的表层呈现，有易变性；本质是事物的深层结构，有稳定性.人对客观事物的认识也有现象认识和本质认识，概念是人们对事物的本质认识. 任何一门学科都是以基本概念为基础的，数学也不例外，甚至可以说数学尤为突出.因为数学与其他直接研究客观事物的自然科学不同，它需要首先对客观事物从数或形的角度进行本质属性的提炼，使得研究对象的起点就是形式化、符号化的抽象物.比如，数学并不直接研究苹果、梨、篮球等具体事物的物理性质、化学性质，而是先从一个苹果、一个梨、一个篮球等具体事物中提炼出自然数“1”或几何图形“球”来，然后才加以研究，欧拉就是把哥尼斯堡七桥问题提炼为一个图来研究的——转化为“一笔画”.正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提.李邦河院士说：“数学玩的是概念，而不是纯粹的技巧.”[1][2] 那么，什么是数学概念？如何认识数学概念呢？ 一、数学概念 数学概念是人脑对事物本质属性具有数学特征的概括反映，由于数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，“具有数学特征的概括反映”应该表现在“数量关系和空间形式”上. 1.什么是数学概念？ （1）界定：数学概念是反映现实世界的数量关系和空间形式的本质属性的思维形式. （2）理解：对于这个界定，可以先做五个方面的初步说明. ①数学概念是人们对事物本质的认识.比如“圆”的概念，生活中所见到的：太阳的形状，车轮的外形、铁丝或麻绳围成的圆圈等都只是“圆”的现实原型，连图形都不是（需要提炼出图形）；至于封闭曲线、光滑对称、周长（面积）有限等也只是图形的非本质属性（需要提炼出本质属性）；只有“平面上”“到定点的距离为定长”才是“圆”的本质属性（定点称为圆心、定长称为半径），据此，就可以判断：图形是圆或不是圆，点在圆上或不在圆上，并推出圆的相关概念和很多性质.（中国教师创造的“变式教学”是去掉非本质属性的好途径） ②数学概念是数学思维的最小单位，是组成数学判断和数学推理的基本单元，是进一步认识事物的逻辑基础.数学中的推理和证明是由命题构成的，而数学中的命题又是由概念构成的，没有“数”的概念就无法进行数的运算与推理，没有“图形”的概念就无法研究它的空间形式与位置关系.数学概念是建立数学法则、公式、定理的细胞，也是构成运算、推理、判断、证明并形成运算求解能力、逻辑推理能力、空间想象能力、分析问题和解决问题能力等的基本要素和必要准备，还是阐述数学问题、进行数学交流的科学语言.很多解题的方法和技巧，其实就是对概念的理解，就是对概念之间内在联系的沟通. ③数学概念是科学思维的总结，它是在人类历史的进程中逐步形成和不断发展的.数学概念不仅产生于客观世界中的具体事物，而且也产生于数学的“思维结果”.以概念的来源为标准，可以把数学概念分为两类：一类是对现实对象或关系直接抽象而成的概念，这类概念有明显的现实原型，如角、三角形、四边形、棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、平行、垂直、全等、相似等；另一类是纯数学抽象物，这类概念不容易找到直接的生活实体，是抽象逻辑思维的产物，如方程、函数以及负数、无理数、零指数幂等，这类概念对建构数学理论非常重要，是数学继续发展、逐级抽象的一个源泉（比如无理数的发现、非欧几何的诞生、集合的构建等）. ④数学概念的独立性和系统性.就概念的引入及其反映属性与现实内容相脱离来看，数学概念具有相对独立性，数学中的多数概念都是在原始概念的基础上形成的，并且还要加以逻辑定义，用语言形式固定下来.在一个数学分支中，相关概念会形成一个结构严谨的概念体系，并将概念之间的逻辑联系清晰地表达出来.概念学习的最终结果是形成一个概念系统，学生要理解一个数学概念，就必须围绕这个概念逐步构建一个概念网络，网络的结点越多、通道越丰富，概念理解就越深刻.据统计，初中教材约涉及300个数学概念，记住并理解、掌握这些数学概念，形成思维概念图是学好初中数学的一个关键. ⑤数学概念兼有“过程”与“对象”的二重性.概念的形成往往要从过程开始，然后转变为对象的认知，最后共存于认知结构中.在过程阶段，概念表现为一系列固定操作步骤，相对直观，容易模仿，进入对象状态时，概念呈现一种静态结构关系，有利于整体把握，并可转变为被操作的“实体”[3].比如
，一开始是整数2进行开方运算、取算术平方根（包含着运算），这是一个“过程”，其结果与整数和分数都不相同（不是有理数）；后来，
成为一个与整数、分数都平起平坐的实数，转变为一个确定的“对象”（无理数），也可以与整数、分数一起进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，也可以进行实数的研究，得出实数的性质.就是说，由包含开方运算并作选择（非负根）的过程，凝聚为一个确定的数学对象. 同样，
一开始是2除以3的一个过程，在整数集内与2、3都截然不同，但后来
又是一个确定的对象，与2、3同为有理数，又可以进行加、减、乘、除等运算.所以，分数概念具有“过程操作”与“对象结构”的二重性.（但
不是分数，因为它是无理数，不是有理数，所以更不是分数） 又如多项式，一开始它定义为有限个单项式的代数和，这包含着运算“过程”，其结果与单项式是不同的；后来，它又凝聚为一个确定的数学对象，也可以进行加、减、乘、除等运算，也可以进行相关性质的研究.（再后来，多项式的定义还把单项式也包括进去了） 2.数学概念的内涵和外延 一般说来，数学概念都有内涵和外延，明确概念就是从质的方面明确概念的内涵和从量的方面明确概念的外延. （1）概念的内涵：是该概念所反映的全体事物的共同属性的总和. （2）概念的外延：是适合该概念的事物全体. （3）概念的内涵与外延具有反比关系：即一个概念的内涵越大，外延就越小；反之，内涵越小，外延就越大. 比如，在全等三角形的概念中，概念的内涵包括两个内容：两三角形的对应边相等，两三角形的对应角相等，满足这两条的全等三角形的全体构成三角形全等概念的外延；在相似三角形的概念中，概念的内涵也包括两个内容：两三角形的对应边成比例，两三角形的对应角相等，满足这两条的相似三角形的全体构成三角形相似概念的外延.由于“两三角形的对应边相等”时可以推出“两三角形的对应边成比例”（比例系数为1），反之不然，所以三角形全等的要求更多、概念的内涵较大，其外延就比三角形相似概念的外延小——全等的三角形必定是相似的三角形，但相似的三角形不一定是全等的三角形. 这已经涉及概念之间的关系了. 3.数学概念之间的关系 根据概念外延之间的关系可以将数学概念分为相容关系和不相容关系. （1）相容关系：是指两个概念的外延至少有一部分重合的关系.相容关系又可以分为同一关系、从属关系和交叉关系. ①同一关系.如果两个概念的外延完全重合，则这两个概念之间的关系是同一关系.比如，最小的素数与最小的正偶数，文字描述不一样，但外延是相同的，它们是从不同的角度反映同一个对象——自然数2；同样，“邻边相等的矩形”与“有一个角是直角的菱形”是同一关系，它们是从不同的角度反映同一个对象——正方形.同一个数学对象的等价描述都具有同一关系，比如，将a的绝对值规定为｜a｜=max｛a，-a｝（或｜a｜=
），与熟知的绝对值几何定义、代数定义
是同一关系.（相反，同一个符号可以有不同的含义，比如“-”号，既可以是运算符号——2-3表示减法，又可以是性质符号——-3表示负数，还可以是转换符号——-a表示a的相反数等） ②从属关系（属种关系）.如果两个概念之间，一个概念的外延被另一个概念的外延完全包含，而且仅仅成为另一个概念外延的一部分，则这两个概念之间的关系是从属关系.其中外延大的叫属概念，外延小的叫种概念.比如，等边三角形与等腰三角形的关系、整数与有理数的关系、有理数与实数的关系都是从属关系.教学中，由属概念到种概念的过程，是概念的限定，体现从一般到特殊，比如函数的学习，是先学函数及其性质，然后才学具体的函数（反比例函数、一次函数、二次函数）及其性质；而由种概念到属概念的过程，是概念的概括，体现从特殊到一般，比如数系的认识，先是正整数、正分数，然后是有理数、无理数，最后是实数、虚数并组成复数，从小学到高中才完成数系的认识. ③交叉关系.如果两个概念的外延有且只有一部分重合，则这两个概念之间的关系是交叉关系.比如，对于平行四边形来说，矩形与菱形是交叉关系，它们的重合部分是正方形；同样，对于正整数来说，素数与正奇数是交叉关系，它们的重合部分是奇素数. （2）不相容关系（全异关系）：是指两个概念的外延没有任何重合部分的关系.不相容关系又可以分为矛盾关系和反对关系. ①矛盾关系.对于同一个属概念之下的两个种概念，如果它们的外延完全不同，并且它们的外延之和等于其属概念的外延，则这两个概念之间的关系是矛盾关系.比如，对于实数来说，有理数与无理数是矛盾关系，它们的外延完全不同，它们的外延之和等于实数的外延；对于平面上的两条直线来说，相交与平行是矛盾关系，它们的外延完全不同，它们的外延之和组成平面上两条不同直线位置关系的外延. ②反对关系.对于同一个属概念之下的两个种概念，如果它们的外延完全不同，并且它们的外延之和小于其属概念的外延，则这两个概念之间的关系是反对关系.比如，对于实数来说，正数与负数是反对关系，它们的外延完全不同，但它们的外延之和小于实数的外延，因为还有0，它既不是正数也不是负数；对于正整数来说，素数与合数是反对关系，它们的外延完全不同，但它们的外延之和小于正整数的外延，因为还有1，它既不是素数也不是合数；对于四边形来说，梯形与平行四边形是反对关系，但不是矛盾关系，因为在四边形的外延中还有一类“任何一组对边都不平行的四边形”；同样，对于平面上的两条直线来说，垂直与平行是反对关系，但不是矛盾关系，因为在平面上的两条不同直线的位置关系中还有一类“相交但不垂直的关系”. 二、数学概念的定义 一般说来，数学概念是运用定义来揭示问题的数学本质的，数学定义是一种准确表达数学概念的逻辑方法. 1.什么是数学概念的定义？ （1）界定：数学概念的定义是对一个数学概念的内涵或外延所作的确切表述. （2）理解：对于这个界定，可以做两点说明. ①概念定义的基本结构.在数学概念的内涵或外延的确切表述中，被定义的概念叫做被定义项，用来明确被定义项的已知概念叫做定义项，两者之间的联结词叫做定义联项（联结词常用“是”“叫做”“称……为……”等）.概念的定义是由定义项（已知概念）、被定义项（未知概念）和定义联项三部分组成的. 比如，圆的直径定义为：直径是通过圆心的弦.在这里，“直径”为需要明确的概念（直径是种概念），叫做被定义项；“通过圆心的弦”为用来明确被定义项的概念（弦是属概念），叫做定义项（它先前已有定义）；联结词“是”把两者联结起来，叫做定义联项；“通过圆心”是“直径”区别于其他“弦”的特有属性，称为种差.这是一个很有代表性的定义方法，叫做属加种差定义法.其公式是：被定义项=种差+邻近的属，即把某一概念包含在它的属概念中，并揭示它在同一个属概念下与其他种概念之间的差别. 可见，给概念下定义，就是用已知的数学概念来认识未知的数学概念，从而使未知的数学概念成为已知的数学概念. ②数形结合地表述数学概念.在数学概念定义的表述上，有的是用文字来表达的，有的是用符号来表达的，有的是用图形来表达的.用“抽象符号”和“图形直观”来描述数学概念是数学表达的两种独特方式，抽象符号把学生掌握数学概念的思维过程形式化、简约化、明确化了；图形直观又把数学概念形象化、具体化、数量化了，数形结合地表达数学概念对学生理解和形成数学概念起着关键性的作用，同时也极大地增强了数学的科学性. 数学家庞卡莱说过这样一个故事：教室里，先生对学生说“圆周是一定点到同一平面上等距离点的轨迹.”学生抄在笔记上，可是谁也不明白圆周是什么.于是他拿起粉笔在黑板上画了一个圆圈，学生立即欢呼起来：“啊，圆周就是圆圈啊，明白了.”[4] 在教师一开始的教学中，只呈现抽象的命题信息，学生可以一字不差地记住，但不理解.画了一个圆圈之后，就把新知识与学生原有的生活经验（或数学现实）联系起来了，就把命题信息与知觉信息结合在一起，有利于学生形成新的认知结构.值得注意的是，庞卡莱所幽默批评的概念教学至今尚未绝迹. 2.数学概念定义的方法 这个问题还没有形成共识，在此仅谈五点个别的情况（或观点），期待大家将现行初中数学教材约300个名词概念进行系统总结、准确分类、科学命名，得出具有数学特征的数学概念定义的方法. （1）相对流行的观点.现有的一些书刊，不少都是参照“形式逻辑”里概念定义的方法，再加上数学的例子来说明数学概念定义的方法，不同的人其分类标准是不同的（有的还不是始终如一的），方法的个数和名称存在差异，例子的归属也有区别.常见的提法有：属加种差定义法、发生定义法、构造定义法、外延定义法、关系定义法、语词定义法、性质定义法、充分必要条件定义法、递推定义法、公理化定义法、否定式定义法、形式定义法等[5]-[8]. （2）“构造定义方式”的观点.文献[9]认为，数学概念都具有被构造性特征，其定义方式都是构造定义方式.传统数学概念理论中，所谓关系定义方式、外延定义方式、性质定义方式、充分必要条件定义方式都是错误的定义方式或错误的命名；而属加种差定义方式、公理定义方式、递归定义方式等都是在构造定义的基础上再具体细分的定义方式，即都属于构造定义方式. （3）抓关键的观点.认为最关键的问题是理解概念本身的实质，并应用概念去学习相关知识和解决有关问题.例如，二次函数的定义给出概念的本质结构：函数y=a
+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）叫做二次函数.可能有的人叫“形式定义法”，有的人叫“构造定义方式”，还有的人又叫别的什么法……这不要紧，最关键的恐怕是把握二次函数的实质：最高次数为二次的多项式.代数式看外形，函数看对应关系的本质，据此，就可以判断：一个函数是二次函数或不是二次函数，并进一步研究二次函数的图象与性质.只要一个函数能表示为“最高次数为二次的多项式”，那它就是二次函数.比如y=
，根据
的外形可以称为分式，但它等于整式
+1，因而对自变量的每一个取值
，
与
+1都有唯一一个确定的值
与之对应，所以函数y=
与y=
+1的对应关系完全一样（都是“自变量的平方加1”），y=
就是二次函数y=
+1.其实，同一个对应关系可以有不同的表达方式（列表、图象、多个解析式），只要定义域也相同就是一个函数，而不是“两个函数”. 类似地，在定义域｛0，1｝上，函数y=x与y=
只有外形的不同，其对应关系都是x=0时，y=0；x=1时，y=1，它们就是一个函数[10]. （4）“有些情况需要我们心中有数”的观点.理论上，数学概念的定义是要确切表述一个数学概念的内涵或外延的，也确实有很多数学概念表述得非常确切，所以，数学以准确、严密而称著.但现实中，数学也不是万能的，它也会有解决不了的问题（比如，原始概念就无法给出严格的定义），在教学中还会有科学性妥协的时候.这些，都需要我们“心中有数、区别对待”.应该看到： ①有的概念只是一种描述.比如，方程是一个基本概念，被数学大师陈省身先生当作“好数学”的典型.但是，方程的定义“含有未知数的等式叫做方程”只不过是一种描述，绝对没有学生因为背不出这句话而学不会“方程”的.张奠宙教授认为，方程的本质是为了求未知数，在已知数和未知数之间建立一种等式关系[11].陈重穆教授说过，作为方程定义中的两个关键名词“未知数”和“等式”都经不起推敲[12]；他认为：“方程是实际问题（应用问题）的数学模型，它是从属于等式的一个问题，不是什么真正意义上的数学概念……”[13].所以，他主张修改（甚至废除）方程的正式定义，并力挺“淡化形式，注重实质”.正因为方程的定义只是一种描述，所以，在一些实际问题面前常常令我们纠结： 例1 x=1中的x是未知数吗？[11]-[13] 例2
+x=（x+1）（x-1）是不是一元二次方程？ 例3 若
+x=a（x+1）（x-1）是一元二次方程，求a的值？（是不是须先将其化成一般形式，若二次项系数不为零，才能称它为一元二次方程？） ②有的概念只能逐步深化，因而，同一个问题不同的时期就会有不同的回答.比如： 例4 多项式包不包含单项式？xy+2xy是不是多项式？ 其实，多项式的定义有一个逐步深化的过程，初中时，是作为几个单项式的和，当然，多项式就不包括单项式.但是代数式看外形，两个单项式xy，2xy的和xy+2xy还得承认是多项式，尽管它可以合并为单项式.后来，称
为一元n次多项式，当
时，
也是多项式了. ③有的概念只是名称的借用.比如，初中直角三角形中的“三角函数”sinα，cosα等（其中α为锐角）.这时的正弦函数sinα是一个比，这个比是角α终边上任意一点的纵坐标y与这一点到原点的距离r的比值，这个比值随角α的确定而确定，与点在角α的终边上的位置无关（这可用相似三角形来说明），由于y的绝对值不大于r，所以这个比值的绝对值不超过1. 显然，这样的“正弦函数sinα”不适合函数的定义，因为这里的α是锐角而不是实数，到了高中引进弧度制，把角对应为数之后，才有“三角函数”的正式定义，此前的sinα，cosα等只是“三角函数”名称的借用，同时，也是“三角函数”的一个几何原型. （5）对于原始概念的处理办法.如集合、对应、点、线、面等原始概念，数学上无法给出严格的定义，教材中常常是通过直观描述或公理来领悟原始概念的属性.比如直线的本质特征有：无穷个点组成的一个连续图形，两端可以无穷延伸，很直很直等等，但什么叫“很直”呢？不能严格定义，描述它们的一个办法是用公理来刻画，“直线公理”：经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线），正是直线本质特征的一个刻画.试想，如果“直线”不是很直很直的，那么经过两点就可以连出很多很多曲线；同样，如果“直线”不是两端可以无穷延伸的，那么经过两点的线段就可以延伸出长短不一的很多很多直线.所以，“经过两点有且只有一条直线”表明：直线是由无穷个点组成的一个连续图形，两端可以无穷延伸，很直很直.
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