关于“存在性问题”的探究，本文主要内容关键词为：性问题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
近年中考题中，关于存在性的问题不时出现。存在性问题对考生分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求，有较高的区分度，能较好地反映数学试卷的选择功能，这类题常以中考压轴题形式出现。存在性问题的求解思路是：先对结论作出肯定的假设，然后由这个假设出发，结合已有条件或挖掘隐含条件，辅以方程思想、数形结合思想和分类讨论思想等进行正确地计算、推理，再对得出的结果进行分析、验证，判断是否与题设、公理、定理等相吻合。若无矛盾，说明结论正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在。
我把常见关于存在性问题的题型归纳为以下六种：
第一种，是否存在某点，使线段甲与线段乙互相平分（垂直）。若存在，求出某点的坐标，若不存在，说明理由。
例如：如图，在平面直角坐标系中，以点C(1,1)为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，开口向下的抛物线经过点A、B，且其顶点P在⊙C上。
(1)求∠ACB的大小；
(2)写出A、B两点的坐标；
(3)试确定此抛物线的解析式；
(4)在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
解：略
解后反思：作出点D存在的假设→根据条件挖掘隐含条件（找出点D的坐标）→判断与题意是否吻合（判断点0在抛物线上）→若无矛盾，则存在，反之则不存在。
第二种，是否存在某点，使某个图形的面积是另一个图形的几倍。若存在，求出某点的坐标，若不存在，说明理由。
(1)判断点E是否在y轴上，并说明理由；
(2)求抛物线的函数表达式；
(3)在x轴的上方是否存在点P、点Q，使以点O、B、P、Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
解：(1)(2)略
(3)设存在符合条件的点P、Q。
解后反思：本题同样渗透了数形结合和分类讨论思想，△ODF为等腰三角形时，谁是它的腰，要分类讨论。
第五种，是否存在某点，使得某个三角形的周长或面积最小（大）。若存在，求出某点的坐标，若不存在，说明理由。
例如，如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2,0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB。
(1)求点B的坐标；
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使ABOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由。
解：(1)(2)略
(3)如图，抛物线的对称轴是直线x=-1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小。
解后反思：能够找出关键点的坐标，建立一个合适的函数关系式，根据自变量的取值范围来确定相应的最大值或最小值。
第六种，是否存在某点，使得某个图形为直角三角形、平行四边形、正方形、菱形。若存在，求出某点的坐标，若不存在，说明理由。
例如，如图，对称轴为直线
的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4)。
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)设点E(x,y)是抛物线上的一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形。求
OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？
(4)是否存在点E，使OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。
解：(1)(2)(3)略
(4)当OA⊥EF，且OA=EF时，OEAF不是正方形，此时点E的坐标只能是(3,-3)。
而坐标为(3,-3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使平行四边形为正方形。
解后反思：首先假设存在点E，使OEAF为正方形，则会有OA⊥EF，且OA=EF，此时点E的坐标只能是(3,-3)，而(3,-3)不满足条件（不在抛物线上），结果与题意不符，故不存在这样的点。第②问是以前几问为前提，环环相扣，要熟练掌握二次函数的相关知识。
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