微积分理论基础与辩证逻辑，本文主要内容关键词为：辩证逻辑论文,微积分论文,理论基础论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
内容提要 文章追溯了微积分奠基问题的演变历史，揭示了潜在制约这门学科发展进程的辩证逻辑背景，同时阐明了辩证哲学家马克思和黑格尔关于微分学本质的哲学解释与现代数学分析基本思想的内在吻合一致，指出对数学科学中形式逻辑与辩证逻辑之间的协合关系这一思维新课题进行多角度深入探讨的必要性。
关键词 微积分 实无穷小量 马克思 黑格尔 数学 辩证思维
作者简介 1946年生，南昌大学科研处副处长、副教授。
一门学科的基本方法发明和使用很久以后，其一般理论才逐渐建立和完善起来，这在科学史上是不乏其例的。自17世纪末微积分算法创立以来，关于微分学的本质（无穷小量究竟是不是零？）遂引起了旷日持久的争论。直到19世纪末，“分析算术化”运动的完成才使微积分的逻辑基础臻于完善。约略与此同时，黑格尔和马克思也相继从哲学上对微积分基础问题作出了辩证的阐明。本文拟通过剖析辩证思维在微积分发展过程中的潜在制约背景，揭示现代分析数学家和辩证哲学家所提出的关于微积分基础问题的两种解释方案之间的内在联系，藉以说明形式逻辑和辩证逻辑之间具有贯通、协调、一致的共性。
微积分理论基础演进史及其认识辩证法
微积分是“用极限方法研究变量和函数的一门数学学科”。然而，在达到这一现代的共识以前，历史已走过了整整两个世纪。
17世纪晚期，牛顿和莱布尼茨在总结其先驱者思想的基础上几乎同时独立地制订出具有普遍形式的微积分算法。作为自然科学与工程技术的重要工具，微积分一经产生便获得广泛而有效的应用。与此同时，它的演绎程序不严密的缺陷也立即暴露出来。近代数学史表明，微积分理论基础的演进并不单纯是“某些数学技术的发展，以及某些技术由于不协调而被抛弃”①，而是与对无穷小量概念认识的不断深化同步并行的。微积分理论基础的严密化主要在于理解无穷小量的辩证特性，并为之寻求合乎逻辑的数学表达式。
在探寻微积分计算法的理论依据方面，牛顿早期把实无穷小量（“瞬”）看作是一种很小而非零的不可分量，同时又随便运用省略高阶无穷小原理。为了避免这一逻辑困难，后来在《原理》第二版中，他又提出始末比方法，用潜无穷小量及其和与比的极限来代替实无穷小量，但没有把本质上接近于现代极限论思想的这一观点坚持到底。相比之下，莱布尼茨则较一贯地主张以实无穷小量作为微积分学的基础。他提出“无比小”的数量概念来论证省略高阶无穷小的合理性，认为“无穷小量”就像微尘之对地球一样可以忽略不计。但同时又说“无穷小”是虚构的或理想的概念，这暗示他可能承认潜无穷小的概念。因此，就基本倾向而言，牛顿、莱布尼茨的微积分理论实质上都是以实无穷小量概念为基础的。他们虽然直观地意识到了实无穷小量的零与非零性质，却不能精确地表达这一概念，因而其方法难以摆脱演绎程序上的逻辑矛盾。
18世纪使微积分在逻辑上和哲学上的弱点更加显露。两个量之间的无限小的差异同时等于零又不等于零，这是萦回在许多数学家头脑中的矛盾。为了避免无穷小方法在推理过程中引起的混乱，拉格朗日转而从函数概念出发，提出了一种纯代数的微分方法，把整个理论建立在（连续）函数的泰勒展开式之上，但他在微分学的应用中仍不得不诉诸无穷小量和极限等概念。另一方面，17世纪出现过的模糊的极限概念，这时已逐渐明朗起来。欧勒就明确说到两个变数增量越来越小时其比所越来越接近的极限。达兰贝尔甚至给出了极限概念的一般定义：“一个变量趋近一个固定量，趋近的程度小于任何给定量”，并深信“极限论是微积分的真正抽象”②。但他们都没有进一步利用极限理论去论证无穷小算法的逻辑基础。
现代极限论是由柯西在19世纪初着手建立的。他以趋近于极限的变数概念为枢纽去定义导数、微分、无穷级数的和及函数的连续性等，使微积分成为比较严密的理论。例如，他把无穷小量定义为以O为极限的变量，较好地表述了无穷小量是O与非O的统一：它在变化过程中不为O，但其变化的趋势却是O。这就初步解决了无穷小量是不是O的哲学之争。柯西的奠基工作消除了微积分算法的神秘性，但他的极限概念仅停留在直观描述的水平上，如“无限地接近”、“要怎样小就怎样小”等，既没有包括实数概念的严密基础，也没有建立实数域的连续性。
魏尔斯特拉斯在19世纪50年代首先采用了ε-δ论证方法。他通过诸如“如果对于每个ε＞O，存在着一个δ＞O，…”，“如果对于每个ε＞O，存在着一个自然数N，…”之类的精确语言来定义极限、连续性、导数及其它概念。这种ε-δ语言使微积分完全建立在数的概念上，实现了数学分析的算术化，使微积分最终定型为今天的形式。
19世纪70年代，狄德金提出关于有理数的A/A′分划的思想，基中A为第一类分划（有理数），A′为第二类分划（无理数），并进而根据对实数进行分划并不产生新数，证明实数本质上不同于有理数：有理数只具有稠密性，实数既具有稠密性又具有连续性。这就澄清了以往把稠密性与连续性混同的不正确观念，明确了无穷级数的发散与收敛条件，从而使极限论奠定在实数理论的基础之上。另一方面，分析的严密化又进一步引导人们去理解实数集合的结构。19世纪80年代，康托尔创立的无穷集合论使无限概念发生了一次革命性的变革。康托尔认为，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。他还证明无穷集合是可以比较大小的，如可列集合（凡能和正整数构成一一对应的任何一个集合）是最小的无穷集合。实数集合是不可列的，实数集合的基数大于自然数集合的基数(c＞S[,0])。集合论是人类认识史上第一个关于无穷的数学理论，它通过引进集合、基数、序数、序型等概念揭示出数概念的本质属性，因而到19世纪末已被大多数数学家们确认为分析的严格基础。
20世纪60年代，美国数学家鲁滨逊创立了古典微积分的一种新型态——非标准分析。他把数域从实数域扩大到非标准数域，从数学上严格证明了在数学中存在着实无穷小量。根据非标准分析，实无穷小量是一个大于零而小于任意实数的量，它在实数域中表现为零，在非标准数域中则表现为非零。这就从数系的不同层次上展现了实无穷小量的零与非零性质③。
上述简要的历史回顾表明，17世纪以来微积分理论基础的演进反映了人类对无限性（包括无限小量、无限大量和无限过程）本质认识的深化过程，它以数学思想的形式从一个侧面展示出人类思维遵循螺旋式上升过程的缩影。作为起点的牛顿、莱布尼茨的无穷小方法，由于把片面理解的实无穷小量作为微积分的基础概念而陷入逻辑上的自相矛盾。拉格朗日等人的纯代数方法仅仅简单地否定了其先驱者的神秘的实无穷小量概念，同样也没有摆脱矛盾。柯西等人的极限方法引进潜无限概念较好地解决了早期微积分推导中的逻辑矛盾，却又排斥了实无穷小量。无穷集合论以及后来非标准分析的创立则在更高的阶段上由柯西的潜无限思想重返实无限概念，尽管它们的创始人都不承认无穷小量的实在性。无限是有限和无限的对立统一，是实无限和潜无限的对立统一。一部微积分概念发展史就是对无限的上述辩证本质的探索和把握。这就是贯穿在微积分理论基础演变的整个进程之中的认识辩证法。
马克思和黑格尔关于微分学本质的辩证阐释
微积分的本质既是一个数学问题，又是一个哲学问题。它一方面引起了数学领域的扩展和诸多数学分支的涌现；另一方面也是推动辩证哲学形成和发展的重要科学泉源之一。恰好在分析算术化运动兴起的同时，沿着哲学方向的探讨产生出像黑格尔《逻辑学》中关于数学无限的三个长篇注释、马克思《数学手稿》这样精深的数学哲学专著，的确并非偶然。
诚然，关于微积分理论基础的哲学解释事实上并不是也不必是关于微积分理论基础的数学解释的前提条件。但是，二者主导思想上的相似却无疑说明数学思维方式和哲学思维方式并不存在不可逾越的鸿沟。微积分的辩证逻辑基础（包括制约微积分基础演进的认识辩证法，以及马克思和黑格尔对微积分本质所作的辩证说明）不仅构成微积分的数学逻辑基础的深层背景，而且成为揭示微积分的本质及其历史发展线索的一把钥匙。
概括地说，马克思和黑格尔关于微分学本质的哲学解释（就其相同点而言），与现代极限论思想的吻合大体表现在以下三个方面：
（一）马克思和黑格尔从概念的灵活性出发揭示了导数和微分的本质及其相互联系的辩证特性，他们的结论与现代极限论有关原理实质上是一致的
在数学史上，“微分”一词源于拉丁语differentia，即“差”的意思。早期微分学家如莱布尼茨等人通常以微分作为第一性的概念，而把导数定义为函数的微分除以自变量的微分所得之商，亦称“微商”(f′（x）=
)。自从柯西明确把导数定义为某种极限以后，便转而通过导数去定义微分了(dy=f′(x）dx)。这说明二者确有不可分割的联系。
问题在于：计算中的微分(dx,dy)作为无穷小量究竟是零抑或非零？历史上各种说法不一。卡瓦列里的不可分量理论把它看成是固定的很小的有限量（实无穷小量），欧勒的绝对零理论则认为它们本身是绝对的零，而其比值是有限数。黑格尔用“要么是某物，要么是无”来形容上述“非此即彼”的观点是很贴切的④。他说，就微分作为“无穷小”量而言，它“不再是有限的差分”即定量，而是无限的差分或无限小的差分，即量上为零；而就其作为无穷小“量”而言，它“也不是无，不是无规定的零”，而仍然具有“量的规定性”⑤，即在质上不为零。简言之，微分是定量与非定量的统一，它和零既同一又有差异。对无穷小量所作的这种“亦此亦彼”的解释构成黑格尔微分思想的合理内核。
马克思的微分思想可以概括为“微分是扬弃了的差”。他同样把微分看作零与非零的对立统一。一方面，“为了得出‘导数’，就必须设x[,1]=x，因而是严格意义上的x[,1]-x=0，无需任何只是无限趋近之类的糊涂话”⑥。增量△x（即x[,1]-x为什么必须等于零？因为不论△x怎样小，差商
只能是函数的平均变化率，而不是变化率。只有当△x转化为零，比值才能转化为导数
。另一方面，“一旦x[,1]-x=0得到dx的形式，这个形式始终把它宣告为自变量x的消失了的差，因为dy表示x的函数或因变量y的消失了的差”⑦。就是说，只有当△x不为零，才能得出与之相应的△y，从而才有一个比值，这是由函数f(x)过渡到导函数f′(x)所不可缺少的中介环节。可以看到，马克思的微分思想溯源于黑格尔，又进一步结合微分过程具体地描述了微分既为零又不为零的矛盾统一。这与现代极限论把导数看作平均变化率的变化过程与变化结果的对立统一的思想完全一致。
黑格尔还从微分和导数的内在联系来分析这两个概念的本质。他根据质量统一的辩证法，指出：微分或无穷小量只有在比中才有意义，脱离比的极限必然会得出无穷小量不是零就是非零的逻辑悖论。同样，导数或极限也“应该是两个增量互相具有的比的极限”⑧，而不是脱离两个无穷小量之比，仅仅当作最后的值。马克思更进一步指出，不仅微分dx和dy是从导数这个符号中获得其含义的，而且dx和dy还可以用作运算符号。这就指明微分是导数的另一种形式⑨。这一结论明确匡正了微积分奠基人关于微分是最初的，微商（即导数）是推导出来的传统观念，而同现代极限论关于导数是最初的，微分是推导出来的思想相吻合。
（二）马克思和黑格尔对微分过程的辩证本性的考察，深刻触及到现代数学分析的演变趋势及数学发展的有关重要规律
微分运算同样展示出微积分的丰富辩证关系。在这方面，黑格尔不仅一般地阐明了变量运算不同于常量运算的辩证特征，而且具体探讨了微分学的起点——切线问题。在由原函数求导函数或由变量求变率时，拉格朗日和笛卡尔采取了代数的切线方法，巴罗等人则采用了几何的切线方法。黑格尔肯定前者而否定后者，是很有见识的。从现代观点来看，前一种方法并不完善，后一种方法甚至更接近于现代的方法，但重要的是前者体现了从形过渡到数的分析发展趋势。牛顿在无穷小量问题上的困难也是同他受巴罗等人的影响采用了力学与几何的直观模型分不开的。数学史早已表明：“欧几里得和后代上百个最优秀的数学家所犯的错误，是利用了从图形看来是显然的事实，或者在直观上是那么显然因而无意中用上了的事实。”⑩黑格尔倡导严谨的逻辑思维，反对经验直观的自明性，正是现代科学和数学方法论的严格精神所要求的。
马克思不限于对变量、函数在微分运算中的特殊不确定性作静态的分析，而转向动态地去揭示整个微分过程的矛盾运动，提出了自己的区别于传统运算的新的微分方法。他指出，从数学上看，微分过程是一个首先通过实际取差然后再把它扬弃的过程，即由预备导函数
。从哲学上看，微分过程实际上是一个否定之否定的过程。通过第一次否定，得到函数的平均变化率，通过第二次否定即扬弃△x和△y，则比值就转化为导数（表示函数的瞬时变化率）。这样，微分过程就从代数运算转化为微分运算，由量变转化为质变，由个别转化为一般。
当然，由于客观原因，马克思在阐明微分学实质时所提出的微分方法在数学上已经不适用了，现代极限论用“令△x-→0，从而△y-→0”的精确语言更科学地描述了将差值△x和△y扬弃的过程。但是，马克思对微分过程的哲学理解同现代极限论微分思想本质上并无二致。更重要的是，马克思深刻地揭示了微分运算和代数运算之间的内在联系，得出了“微分运算是从代数运算推导出来的”(11)重要结论。代数方法自行转化为与它对立的微分方法，不仅揭示了微分学来源的真正奥秘，而且揭示了数学发展的一条重要规律，即运算结果与运算起点之间的相互转化。一方面，由代数方法问微分方法的转化，标志着常量运算向变量运算、有限向无限的飞跃；另一方面，通过无穷小量的运算来求出作为有限量的导数又意味着无限向有限的转化。因此，从辩证方法论和数学方法论的不同层面及其相互联结上去深入探讨高等数学中类似转换的内在结构及其机制，对于破解数学基础研究中的无限性之谜可能不无裨益。
（三）马克思和黑格尔对微分学发展历史的辩证考察与数学史所反映的事实也是吻合的，体现了逻辑与历史的一致
在这个问题上，黑格尔主要分析了17世纪初至19世纪初无穷小量概念的演变史，并侧重讨论了牛顿的流数论和拉格朗日的导函数理论。他指出，牛顿在《原理》中不再把微分理解为最终的不可分量（实无穷小量），而看作“正在消失的可分量”（潜无穷小量），认为“流数也不是一定部分的和与比，而是和与比的极限”(12)。这表明黑格尔已敏锐地觉察到牛顿后期思想中孕育的极限论思想的萌芽。同时，黑格尔也指出了牛顿微分理论的弱点，如“和与比”的极限思想的不彻底性，所谓“发生量的瞬”（即不可分增量）的模糊性以及流数概念的力学直观性等。黑格尔对拉格朗日企图舍弃无穷小和极限概念的导函数理论多有溢美之辞，但也指出了这个理论的实质是知性思维：“事实上，知性必须超出比的各项作为定量是零这种单纯否定的方面，而要去把握它们是质的环节这种肯定的方面。”(13)就是说，应当从量和质、否定和肯定的对立统一去理解无穷小量既为零又不为零的辩证本质，而不应当采取简单回避矛盾的做法。上述均与现代数学家的评价不谋而合。
与黑格尔偏重于探究微分学概念形态的沿革有所不同，马克思则通过微分方法本身的发展过程来透视微分学历史的全貌。马克思写道：“所谓微分方法本身的全部发展”，乃“始于牛顿和莱布尼茨的神秘方法，继之以达兰贝尔和欧勒的唯理论的方法，终于拉格朗日的严格的代数方法”(14)。马克思指出，牛顿和莱布尼茨先验地假定了微分dx和dy作为运算的出发点。问题在于：既然dx作为无穷小量被引进，最后怎么能够把它当作零而抹掉呢？这岂不是一种“暴力镇压”？(15)马克思认为，达兰贝尔以有限的可变增量△x或h代替了其先驱者那个似零非零的dx，避免了推导过程中的不合理省略。但是在x+h这种表达式中，h不是由x本身生发出来的，x本身并未真正发生变化，因而它只不过是修正了的牛顿、莱布尼茨方法。由于拉格朗日的方法开始建立了微分演算和代数演算之间的联系，所以马克思曾认为拉格朗日“一般地给微分学奠定了基础”(16)。同时又指出他的方法“始终是从牛顿、莱布尼茨的原始的基本原理出发的”(17)。就是说，拉格朗日把函数的泰勒展开式看作是根本的，并没有用代数方法去阐明微分过程，微分学理论基础中的矛盾和混乱，至此并未真正解决和澄清。
可以看到，马克思关于微分学史的评述具有两个显明的方法论特征：其一，马克思强调从微分运算和代数运算之间的关联，即微分运算的代数来源中去考察微分方法本身，把它们置于整个微分过程中去加以比较。其二，马克思把从微分学到代数学和代数学到微分学“这两种不同的处理方法”看作“是从对立的两极出发的，并标志着两个不同的历史学派”(18)，而把欧勒、达兰贝尔的方法看作是介于二者之间的一种形态。马克思的上述思想对廓清微分学演进史的迷雾提供了重要的导向仪器。
辩证逻辑和形式逻辑之间的协调性问题
如果说，马克思和黑格尔对微分学基础所作哲学分析之间的大体相似表明辩证思维进程的某种规律性，那么，关于微分学基础的哲学分析与数学分析之间在主导思想上的接近则昭示了辩证思维逻辑与形式思维逻辑之间的某种贯通性或协调性。
必须指出，马克思和黑格尔虽然都洞察到了微积分学中丰富而深邃的辩证内容，并在从哲学上予以概括和说明时提出了若干相似的基本论点。但由于他们思考问题的出发点不同，所使用的辩证法工具的性质不一样，因而他们关于哲学和数学、辩证方法和数学方法之间的关系的看法便大相径庭。
黑格尔的微积分基础研究明显隶属于其唯心主义逻辑体系，一方面是为从量到质的辩证法过渡提供数学的依据，另一方面也是企图从哲学上解决微积分算法中的“无穷小悖论”。黑格尔虽然能够提出一些极有价值的思想、论点，却终因带着“科学的科学”的哲学有色眼镜，以致把辩证方法和数学方法、辩证思维和数学思维绝对对立起来，认为哲学是理性思维，数学是知性思维，微积分的性质是辩证的而非数学的，所以数学也就不能“由其自身即以数学的方式来解释”微积分的辩证性质了(19)。
马克思从19世纪50年代起至80年代初研究数学特别是微积分学，乃是为着运用数学方法解决经济学中的一些问题和撰写辩证法的专著，运用唯物辩证法阐明数学中的概念、方法的辩证性质，给微分学“撕下神秘的面纱”(20)，而不是像黑格尔那样要为微积分建立什么哲学基础。马克思强调在数学中运用辩证思维方法的必要性，却并不主张用辩证逻辑取代形式逻辑在数学中的原有位置。不仅如此，他还充分估计到了演绎数学方法作为人类科学思维的普适工具的重要性，认为“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步”(21)。在马克思的这种数学观中实质上蕴含着一个重要的方法论思想，即把唯物辩证法运用于指导数学哲学研究和数学科学研究同数学科学凭借其自身特有的方法和手段独立解决其课题二者是可以统一起来的。
数学是一门研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。一方面，数学在建立概念、公理、定理乃至运算法则等方面均有其自身的特点，主要使用形式逻辑的演绎方法论作为基本思维工具；另一方面，数学尤其是高等数学中又充满活生生的辩证法，反映着客观世界各方面的量的复杂关系。近代数学史业已表明，辩证思维一旦被引入数学领域能够取得惊人的成果，这已由解析几何引入变数和微积分学引入无限数得到了生动的例示。导数和微分概念的创立就是人类理性思维以数学形式把握客观世界的辩证运动过程的产物。几百年来数学家、哲学家关于微积分本质的困惑、思考和争论，主要来自对有限与无限、常量数学与变量数学之间的联系和区别缺乏深刻的认识。辩证哲学家们和有辩证法倾向的数学家们则力求从量与质、定量与非定量、有限与无限、实无限与潜无限、零与非零等矛盾的对立统一关系来探求无限性的本质。正是围绕这五个对立统一关系，微积分理论基础的严密化才通过分析算术化的途径在数学范围内获得解决。马克思和黑格尔的辩证分析又以哲学方式对它作出了说明。
上面对微积分基础的辩证逻辑背景的分析即说明，辩证逻辑对于把握数学概念及概念之间的联系、数学方法的转换和数学理论形态的演变同样不可缺少。微积分学发展史表明，微积分算法发明后的理论完善过程实际上是一环套一环的辩证递进过程。牛顿、莱布尼茨把微分学奠定在含糊不清的无穷小概念上，导致数学所不允许的逻辑悖论。拉格朗日等人转而采用纯代数方法而不用无穷小概念，并没有从根本上解决矛盾。直到柯西把微积分建立在极限论基础上，才使它获得了较科学的表述。循此以进，极限论的无矛盾性的证明依赖于狄德金的实数理论，而实数论的基础又须凭借康托尔的无穷集合论。数学发展中的这种递进式依存关系，反映了思维中的个别和一般的矛盾及其相互转化。而辩证逻辑中的个别一般律正是把握数学理论依存关系的重要的辩证思维规律。
由此衍生出这样一个重要的数学方法论问题：辩证逻辑在数学研究中的作用是什么？辩证逻辑与形式逻辑、数理逻辑在数学研究中能否有协合作用？是否能像数理逻辑建立严密的公理化体系那样也建立辩证逻辑的逻辑推理体系？更进一步说，如何将辩证逻辑运用于数学领域？如何在数学研究中把辩证逻辑和形式逻辑、数理逻辑协调起来？这些问题的研究和解决对于分析和解决数学基础研究中的矛盾、推进数学的未来发展显然都是有益的。
微积分发展史表明，辩证逻辑和形式逻辑在数学研究中的协合作用也是存在的，它表现为：首先是新的科学问题的提出，例如17世纪突出起来的求变速和求不规则图形的面积问题；其次，由于新的数学课题包含着常量数学难以处理的辩证成分，因而必须创立新的数学概念（如微分和积分），并运用形式逻辑制订新的相应算法来加以解决；再次，由于新算法本身在推理程序上出现逻辑矛盾，又必须通过辩证逻辑和形式逻辑的综合活动对它进行全面分析；最后，针对问题关键所在，设计运用新的数学方法和手段合乎演绎程序地扬弃这一矛盾，使理论臻于完善。当然，在微积分理论基础严密化的整个历史进程中，形式逻辑的运用是显明的、自觉的，而辩证逻辑的运用则是潜在的、往往不自觉的。
微积分奠基问题上的困难曾引起当时的数学基础发生“危机”。可是，这次危机所产生的结果硕大然喜人。它一方面导致大量的崭新数学分支学科的问世，极限论、实数论、无穷集合论、非标准分析等无一不是人类理智精神开放的灿烂花朵；另一方面又确实使传统哲学遇到了真正严重的挑战，使传统的形而上学思维方式与思维已取得的重大数学成果之间的矛盾冲突日益尖锐化，而这也同样为建立新的辩证逻辑提供了可能和条件。数学科学本质上就是在矛盾中朝前发展的。20世纪初，集合论中一些悖论特别是罗素悖论的发现，又被认为是动摇了集合论作为数学基础的牢固地位。然而，正如微积分基础危机的解决已经产生深远的科学意义和哲学意义一样，对集合论悖论的研究特别是“连续统假设”和“选择公理”这两个难题的解决，也必将在新的更高层次上推进当代数学、科学和哲学的深入发展。
数学史已表明，唯心主义、形而上学思想只能阻碍着对微积分本质的正确理解，使微积分奠基的道路更加迂回曲折。有鉴于此，为了克服无穷集合论的“危机”，就有必要把数学和哲学两个方向的研究结合起来，使数学逻辑（形式逻辑和数理逻辑）与辩证逻辑协合作用。列宁指出：“要继承黑格尔和马克思的事业，就应当辩证地探讨人类思想、科学和技术的历史。”(22)反过来说，要推进人类思想、科学和技术的发展，同样也需要应用唯物辩证法，特别是辩证地处理辩证逻辑与数学逻辑、各门具体科学逻辑的协合关系。显然，这是一个需要从多方面去加以探讨的思维新课题。
收稿日期：1994-10-14
注释：
①〔美〕A·鲁滨逊《非标准分析》，科学出版社1980年版，第323页。
②转引自〔美〕M·克莱因《古今数学思想》第2册，上海科学技术出版社1979年版，第157页。
③参阅《中国大百科全书》（哲学卷），中国大百科全书出版社1987年版，第822页。
④⑤⑧(12)(13)〔德〕黑格尔《逻辑学》上卷，商务印书馆1966年版，第95、275、290、277、282页。
⑥⑦⑨(11)(14)(15)(16)(17)(18)(20)马克思《数学手稿》，人民出版社1975年版，第5、35、59、130、214、102、146、214、58～59、139页。
⑩〔美〕M·克莱因《古今数学思想》第1册，第99页。
(19)黑格尔《逻辑学》下卷，商务印书馆1976年版，第494页。
(21)〔法〕拉法格《忆马克思》，转引自《哲学研究》1980年第1期第4页。
(22)《列宁全集》第55卷（《哲学笔记》），人民出版社1990年第2版，第122页。
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