司建国[1]2003年在《迭代方程解析理论的研究》文中指出非线性科学已成为当今科学研究的一个热点，其中迭代动力系统扮演着十分重要的角色。对迭代动力系统的研究涉及线段上的自映射、迭代根与迭代函数方程、迭代泛函微分方程、迭代根与嵌入流等问题。 动力系统就是要研究一个决定性系统的状态变量随时间变化的规律。根据系统变化的规律可分为由微分方程描述的连续动力系统和由映射迭代揭示的离散动力系统。许多物理、力学、生物学以及天文学问题的数学模型都是由连续的和离散的迭代过程描述的。动力系统的许多问题都可以化为迭代函数方程或迭代泛函微分方程。例如，在描述倍周期分岔普适性中的费根鲍姆(Feigenbaum)方程g(x)=-g(g(-x/a))是一个迭代函数方程，微分方程中的不变流形或不变曲线可通过解迭代函数方程得到，Hamilton系统中的不变环面也与迭代函数方程有关。再例如，描述经典电动力学的二体问题、一些人口模型、日用品价格波动模型以及血细胞生产模型都涉及到迭代泛函微分方程。本文将研究几种类型的迭代函数方程和迭代泛函微分方程的光滑解和解析解的存在性、唯一性和稳定性。 本文的第一章介绍迭代与动力系统、迭代函数方程和迭代泛函微分方程的有关概念，并综述近年来关于迭代根、线性型迭代函数方程、非线性型迭代函数方程、平面映射的解析不变曲线以及迭代泛函微分方程的研究成果。 多项式型迭代函数方程连续解和可微解的存在性、唯一性和稳定性已有许多结果。但在研究高阶光滑解的存在性、唯一性和稳定性时，由于函数的高次第ii页摘要迭代的高阶导数的表达涉及复杂的计算而遇到了困难.本文的第二章首先利用不动点定理给出了变系数多项式型迭代函数方程高阶光滑解的存在性、唯一性和稳定性条件·所得结果回答了张景中、杨路、张伟年和J.A.Baker在文!32}和【54」中提出的公开问题.同时也研究了变系数多项式型迭代函数方程解析解的存在性，其结果改进和推广了作者本人以前的工作.平面保积映射的不变曲线在离散动力系统的周期稳定性理论中扮演着重要的角色，研究平面映射的不变曲线的存在性具有重要的意义.本章讨论了两类平面映射的解析不变曲线的存在性问题.我们的方法是将平面映射不变曲线的存在性化为等价的迭代函数方程解的存在性，然后利用Schr6der变换把迭代函数方程化为不含未知函数迭代的非线性函数方程，再利用优级数方法得到解析解的存在性.进而还利用Schr6der变换、Abel变换以及幂级数与Dirichlet级数理论研究一类具有相当广泛性的非线性迭代函数方程解析解的存在性和唯一性问题.以前在这方面的工作要求未知函数在其不动点处的线性化特征值a不在单位圆周上或在单位圆周上但满足Diophantine条件.在本章我们突破了Diophantine条件的限制，在a是单位根的情形以及已知函数有正则奇点的情形，给出了解析解结果. 迭代泛函微分方程与常微分方程有很大的不同.由于未知函数迭代的出现，常微分方程中经典的存在性定理不能使用.迭代微分方程是否有类似于常微分方程的存在性、唯一性和连续依赖性定理是一个需要回答的问题.本文的第三章首先利用不动点定理得到了一类迭代泛函微分方程高阶光滑解的存在性、唯一性和关于已知函数的连续依赖性定理，得到了与常微分方程类似的结论.其次研究了几类一阶和二阶迭代微分方程解析解的存在性和解的构造.关于迭代微分方程解析解的已有结果都是利用优级数和Banach不动点定理得到的，基本结果大都是关于存在性，没有给出解的显式结构.作者以前的工作可通过递推序列给出解析的显式解，但由于技术的原因，在方法上要求其解在不动点处的特征值不在单位圆周上或在单位圆周上但满足Diophantine条件.本章要解决的解析解问题也涉及解在不动点处特征值的分布.当特征值处于单位圆周上时收敛性是很复杂的，我们不仅在Di叩hantine条件下(特征值“远离’，单位第111页根)证明了形式解的收敛性，而且在非Di叩hantine条件下(收敛性等同于著名的“小除数间题”)也取得了一些进展. 在第四章我们讨论了一类具比例时滞的泛函微分方程解析解的存在性，并给出了一个渐近性质.
徐冰[2]2003年在《几类迭代函数方程解的连续性、凹凸性、解析性与稳定性》文中提出迭代是自然界乃至人类生活中的一种普遍现象。迭代方程就是以迭代为基本运算形式的方程。漫长的历史沉淀使迭代方程成为与微分方程、差分方程、积分方程及动力系统紧密相关的现代数学分支，在实验科学和工程科学研究中起着重要的作用。在本文的绪言中介绍了几类迭代函数方程，并对与之相关的一些基本结果作了一个简要介绍。 第二章研究了两类迭代方程连续解的存在性。本章首先讨论了与逐段常时滞泛函微分方程不变曲线有关的一类迭代函数方程的连续解的存在唯一性和连续依赖性，不但弱化了已有结果的C~1光滑性的条件，还讨论了连续解的对称性，并根据对称性将一些结果推进到高维。本章还讨论了线性型迭代方程的递减解与非单调解的存在唯一性及连续依赖性，并将相关结果推广到拟线性型迭代方程。 第三章研究了线性型迭代方程的拟凸解、拟凹解、凸解及凹解的存在性。凸性是函数的最重要的性质之一。曾经有人讨论了凸迭代根和凹迭代根的存在性，但对更一般的方程——线性型迭代方程的解的凹凸性尚无结果。本章在连续函数构成的紧凸集上构造一个连续自映射算子，利用均差理论和不动点理论证明了线性型迭代方程的凹凸解的存在唯一性及连续依赖性。 第四章研究了迭代方程的解析解。已有的许多关于迭代方程的解析解结果都是运用优级数法得到的，并要求一个作为未知函数在其不动点处的线性部分的特征值的常数α不在单位圆周上或者α在单位圆周上但满足Diophantine条件。本章同样使用优级数法讨论一类带时滞的迭代微分方程解析解的存在性。突破了已有工作的Diophantine条件限制，讨论了常数α在单位圆周上但又不满足Diophantine条件的情形。此外，、本章还使用Sehauder不动点定理，通过建立辅助方程，研究了变系数的线性型迭代方程解析解的存在性。 第五章研究了单变量的函数方程的Hyers一Ulam稳定性.本章在综述单变量的函数方程Hyers一Ulam稳定性的有关结果的基础上，简化了有关广义r一函数方程在三种意义下的Hyers一Ulam稳定性的条件并给出了一些不同于经典r一函数方程的例子.进而还研究了一类非线性型迭代方程的Hyers一Ulam稳定性，证明了在这类非线性型迭代方程的近似解附近存在唯一的真解.
程传博[3]2012年在《几类特殊函数的迭代问题研究》文中研究指明非线性科学已经成为当今基础科学研究的一个热点,其中非线性动力系统扮演着十分重要的角色.非线性描述了一种非直线关系的变化方式,并且这种方式在生活中比比皆是.比如位移、浓度和价格等随时间的变化情况;人口预测;计算机程序生成,乃至天文学、地质学、心理学和经济决策等方面.这些东西都可以抽象为迭代、迭代根和迭代方程问题.所以对这些问题的研究是非常必要和重要意义的.这几个问题不是彼此孤立,而是联系非常紧密的.迭代刻划了事物运动的重要环节和发展趋势.通过迭代,人们不但可以预测未来,而且也可以追溯过去,这就是人们关注的终极性和长期性状态.另一方面,人们同样关心事物发展的全过程,特别是各个环节之间的事,这就是迭代运算的逆运算—迭代根(或迭代方程)问题.通过这样的方法,人们可以连接和还原事物的过程.不仅于此,人们还希望进一步深入地了解和掌握与之相关的知识:有迭代和迭代根推广的迭代方程.我们将看到,迭代理论在现实生活中产生的重要作用.然而,由于迭代运算具有全局性和非线性的特点,过程就非常复杂,使得问题的解决起来困难重重.本文试图就几类特殊函数展开讨论,安排内容如下:第一章中介绍迭代、迭代根和迭代方程发展的现状以及本文研究的主要问题;第二章中给出了计算迭代的几种方法和几类特殊函数的迭代表达式;第三章和第四章分别给出了迭代根和迭代方程解的存在性;最后一章综述了本文的研究成果,然后分析了其中存在的问题和指出了以后努力的方向.
余瑶[4]2013年在《几类函数的迭代与一类迭代方程解的研究》文中认为对动力系统的研究可以追溯到上个世纪八十年代，动力系统一般是指由映射迭代生成的系统，映射迭代问题是一个古老的课题，但其取得重大突破是在物理工程科学和微分、差分方程及计算机条件的改善之后。通过研究迭代我们可以预测事物的发展形态，而解迭代方程的过程就是了解事物发展的全过程。因此对于映射迭代的研究就显得尤其的重要，本文主要针对几类常见函数的n次迭代式进行了介绍，并本对一类拟线性迭代方程解的性质进行了研究。本人在前人的基础上对几类常见函数的n次迭代式采用共轭相似法给予了新的证明。在对迭代方程的研究中，在2002年，张万雄和徐冰对给出了这类迭代方程连续解的存在唯一性和稳定性的证明，本文在此基础上做了进一步推进，给出了一类拟线性迭代方程可微解上的稳定性证明，本文分为以下四个部分：第一部分，介绍了动力系统的发展和国内外现状,本论文选题的主要依据意义和研究思路等进行了简单介绍。第二部分，运用计算函数n次迭代式中的共轭相似法，给出了几类函数的n次迭代式的证明。第三部分，根据研究一类拟线性迭代方程解的性质的方法，在获得其迭代方程可微解的存在唯一性的基础上，给出了这类拟线性迭代方程的可微解的稳定的证明。第四部分，对本论文的一个简单总结和对存在问题的展望。
张万雄[5]2007年在《迭代根及迭代方程的算法及稳定性》文中认为迭代根问题是一个古老而有意义的课题，对它的研究至少可以上溯到N.H.Abel，甚至更早的B.Babage。对于非空集X上的一个自映射F：X→X来说，它的n次迭代根就是求解如下函数方程f~n(x)=F(x)，(?)x∈X。一般地说，以未知函数的迭代为主要运算形式的函数方程称为迭代方程。近年来随着非线性科学的发展及迭代理论的进一步深入，迭代问题尤其是迭代方程的计算问题在许多学科研究中越来越受到重视，引起了信息科学、电子工程等领域的学者们如L.Kinderman，P.Protzel和N.Iannella等的关注。在单调情形和部分非单调情形M.Kuczma和Gy.Targonski等人已经给出了区间上迭代根构造的一般方法。在此基础上，J.Kobza在n=2和F为递增折线函数的情形下对迭代根给出了算法。对于一般多项式型迭代方程的计算，S.Nabeya和J.Matkowski等提出了特征解方法，在n=2的所有情形及n＞2的部分情形下给出了解的构造，这为进一步研究这些方程解的计算提供了思想和方法。从J.Kobza的工作来看，计算迭代根的一个重要思想是首先解决折线问题，然后利用折线逼近一般的连续解，这势必需要解决解的稳定性问题。徐冰和张伟年给出了迭代根以及多项式型迭代方程的Hyers-Ulam稳定性的结果，这为进一步研究迭代方程的计算打下了基础。在本文的第一章我们介绍了迭代、动力系统、函数方程等基本概念及紧密联系，并综述了近年来迭代方程的若干进展，包括多项式型迭代方程、迭代根、特征解与稳定性等方面的研究成果。在J.Kobza等人工作的基础上，本文的第二章我们进一步研究了各种单调情形下折线函数的n次迭代根的计算方法。与J.Kobza给出的在实直线R上计算递增函数的平方迭代根不同的是，我们在紧区间[a，b]上讨论。由于在紧区间上讨论涉及到端点的迭代，因此比在R上更困难。不仅如此，我们还把J.Kobza给出的计算递增函数的平方迭代根的方法推广到计算非单调函数的n阶迭代根。同时，我们还研究了折线函数复合后的折点的计算公式。由于具有不同的定义区间及折点分布，折线函数复合比迭代以后的折点计算要复杂得多，这也推广了J.Kobza的结果。对于一般形式下的多项式迭代方程而言，计算方法同样是建立在解的存在性和一般解构造的基础之上，本文第三章在杨地莲和张伟年工作的基础上，进一步研究了三次多项式型迭代方程连续解的一些性质。对特征根r_j≠0(j=1，2，3)的一些情形给出了实连续解的性质。在|r_1|=1时，对情形r_2＞0，r_3≠1，r_3＞r_2和r_2≠1，r_3＜0，r_3＞r_2给出了实连续解的性质，这对进一步考虑一些临界情形下的通解构造具有重要意义。最近，K.Nikodem和张伟年研究了二阶集值迭代方程，证明了方程存在严格递增的上半连续解。在他们工作的激励下，在本文的第四章我们针对严格单调增的上半连续函数，进一步研究了方程的Hyers-Ulam稳定性和Hyers-Ulam-Rassias稳定性。由于集值函数与单值函数的迭代存在较大的差异，因此处理单值情形下的迭代方程的一些存在性定理均不能使用。集值迭代方程的近似解附近是否存在唯一的真解涉及方程解的稳定性条件。本章利用构造Cauchy列的方法得到了近似解收敛的判定。
王志华[6]2006年在《三次多项式型迭代方程解的性质与二次螺线根方程的推广》文中研究指明迭代是自然界乃至人类生活中的一种普遍现象，是非线性科学研究的热点领域之一，它揭示了系统以间歇、不连续的方式演化规律。对迭代的研究涉及线段上的自映射，迭代根与迭代函数方程，迭代根与嵌入流等问题。迭代方程就是以迭代为基本运算形式的方程。漫长的历史沉淀使迭代方程成为与微分方程、差分方程、积分方程及动力系统紧密相关的现代数学分支，在实验科学和工程科学研究中起着重要的作用。在本文绪论中介绍了迭代、迭代方程和Hyers-Ulam稳定性的一些基本概念，迭代与动力系统的关系和若干数学领域中的迭代方程。并综述了近年来国内外数学家对迭代根、迭代方程和函数方程的Hyers-Ulam稳定性取得的成果及一些未解决的问题。 第二章研究了三次多项式型迭代方程解的性质。关于n次多项式型迭代方程的问题，前人研究了它的线性差分形式，并利用它描述了n次多项式型迭代方程，同时也利用它降低方程迭代的次数和简化特征根的个数，从而给出了n次多项式型迭代方程在具有重特征根情形下解的一般迭代式。并利用这个一般迭代式，讨论了n次多项式型迭代方程所有相异的实特征根在同号的某些情形下连续解的特征构造。以及在没有实特征根的情形下证明了方程不存在实连续解。本章在综述n次多项式型迭代方程有关结果的基础上，分析三次多项式型迭代方程的特征根，利用其特征解所描述的通解一般迭代式。在前人所研究的结果中未曾涉及的一些特征分布下，针对实特征根的某些非临界情形和在实特征根中至少有一个绝对值等于1的某些临界情形讨论了三次多项式型迭代方程实连续解的性质。 第三章研究了推广的二次螺线根方程。关于二次螺线根方程的问题，前人
李旗挺[7]2013年在《迭代积分包含解的存在性与稳定性》文中提出迭代函数方程无论在理论上还是在实际应用中都具有重要的意义。一直以来，关于迭代问题的研究从未间断。本文结合集值映射的理论和方法，研究一类含有集值映射和泛函的级数型迭代积分包含解的存在性和稳定性问题。本文研究的主要内容包括以下三个部分.1．将Krasnoselskii不动点定理和Fan-Kakutani不动点定理的结果进行了推广。本文讨论了同胚映射、集值映射和压缩映射之间的一些重要的联系，并且在此基础上利用不动点的方法给出了一类含有集值映射的算子包含解存在的条件。2.本文研究了一类含有集值映射和泛函的级数型迭代积分包含解的存在性问题。文中首先讨论了由满足Lipschitz条件的函数确定的级数型迭代函数的相关性质，然后利用一类含有集值映射的算子包含存在解的条件去证明了局部区间上连续解的存在性，最后把局部区间上的解连续地延拓至整个闭区间，给出迭代积分包含在任意闭区间上存在连续解的条件，此条件也保证了解的有界性。3.研究了含有集值映射和泛函的迭代系统的稳定性问题，证明了在适当条件下该迭代系统在Lyapunov意义下是稳定的。最后本文研究了迭代积分包含的解的稳定性问题，给出了迭代积分包含的解具有稳定性所需的条件。
张万雄[8]2003年在《拟线性型迭代方程及迭代保次问题》文中认为迭代是非线性科学研究的热点领域之一，它揭示了系统以间歇、不连续的方式演化的规律。对迭代的研究涉及线段上的自映射，迭代根与迭代函数方程，迭代根与嵌入流等问题。在本文的引言中将对其中一些基本概念和定理作简单介绍。 在本文的第二章中对一类拟线性迭代方程进行了讨论，运用函数空间上的不动点定理给出了方程连续解的存在性，并进一步研究了解的唯一性和稳定性。 在本文的第三章中对平面上的二次多项式在迭代中的保次性作了研究，通过计算机代数系统，对保次多项式进行了分类，并进一步研究了其动力学性质。 在本文的第四章中综述了连分数中的动力系统的一些成果，连分数通过迭代可化为一个动力系统模型，通过对该模型的研究，可以进一步认识迭代的复杂性，尤其是蕴藏在其中的周期行为和混沌。
李文荣, 司建国[9]1995年在《单变量函数方程的理论、应用和发展》文中研究说明综述了单变量函数方程的理论、应用和近期的发展概况．
袁放, 陈玉会[10]2008年在《拟线性迭代函数方程的解析解》文中进行了进一步梳理研究讨论关于拟线性迭代函数方程λ1(f(z))f(z)+λ2(f(z))f2(z)+…+λn(f(z))fn(z)=F(z)解析式的存在唯一性。通过Schroder变换,以上迭代方程能被转化为一个不含有未知函数迭代的辅助函数方程。因此通过有限阶非线性函数方程系的已知结果可以得到关于拟线性迭代函数方程的解析解。
参考文献：
[1]. 迭代方程解析理论的研究[D]. 司建国. 四川大学. 2003
[2]. 几类迭代函数方程解的连续性、凹凸性、解析性与稳定性[D]. 徐冰. 四川大学. 2003
[3]. 几类特殊函数的迭代问题研究[D]. 程传博. 重庆师范大学. 2012
[4]. 几类函数的迭代与一类迭代方程解的研究[D]. 余瑶. 重庆师范大学. 2013
[5]. 迭代根及迭代方程的算法及稳定性[D]. 张万雄. 四川大学. 2007
[6]. 三次多项式型迭代方程解的性质与二次螺线根方程的推广[D]. 王志华. 四川大学. 2006
[7]. 迭代积分包含解的存在性与稳定性[D]. 李旗挺. 哈尔滨工业大学. 2013
[8]. 拟线性型迭代方程及迭代保次问题[D]. 张万雄. 四川大学. 2003
[9]. 单变量函数方程的理论、应用和发展[J]. 李文荣, 司建国. 曲阜师范大学学报(自然科学版). 1995
[10]. 拟线性迭代函数方程的解析解[J]. 袁放, 陈玉会. 淮阴工学院学报. 2008
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