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中点，特别是线段的中点是几何图形中的一个特殊点，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、中心对称图形、三角形中位线和梯形中位线等都有其身影。那么，如何恰当地利用中点和处理与中点有关的问题呢？关键在于：充分挖掘中点所包含的信息，合理联想构造含中点的图形来解决问题。
一、利用中点构造三角形中线
例1 如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AE⊥BD交BC于点E。求证：
BE=2EC。
（2004，河北省初中数学创新与知识应用竞赛）
图1
图2
【注】如果是等腰三角形的问题，则腰上的中点即为构造全等三角形创造了条件。三角形中线的性质是分三角形为两个面积相等的小三角形。在涉及求面积时，往往是常用的结论之一。
二、利用中点构造中心对称三角形
例3 如图3，在梯形ABCD中，∠D=90°，M是AB的中点。若CM=6.5，BC+CD+DA=17，则梯形ABCD的面积为()。
A．20B．30
C．40D．50
（2007，山东省初中数学竞赛）
图3
解 如图3，延长CM交DA的延长线于点E。则
△BCM≌△AEM。
故CE=2CM=13，AE=BC。
设梯形ABCD的面积为S。则
由CE=13得
例4 如图4，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，F是DC的中点，AF的延长线交BC的延长线于点E。则直线BF与DE所夹的锐角的度数为()。
图4
(A)30°(B)40°(C)50°(D)60°
（2008，全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛）
解 如图4，设BF交DE于点M，连接BD。则△BCD为等边三角形。
由F为CD的中点知∠MBC=30°。
又AD∥CE，则△ADF与△ECF关于点F成中心对称。所以，CE=AD=CD。
故∠CEM=30°,∠DMF=60°。
【注】在四边形问题中，若已知条件中有一边的中点，往往可利用中点构造中心对称的全等三角形，从而把分散的条件相对集中，为解题创造有利条件。
三、利用中点构造三角形中位线
图5
（第12届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（初二））
解 如图5，作BF∥DE交AC于点F，作∠ACB的平分线交AB于点G，交BF于点H。则
。
∠CHF=90°=∠CHB。
又∠FCH=∠BCH，则CF=CB-4，即
AF=AC-CF=7-4=3。
易知AE=EF=1.5。
所以，CE=5.5。
【注】在三角形问题中，若已知条件中出现一边的中点，往往可利用中点构造三角形的中位线，再利用三角形的中位线定理来解决问题。三角形的中位线在证明线段的倍分、两直线的位置关系及线段的长度计算等方面有着广泛的应用。
例6 如图6，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF与AD、PE与BC分别交于点M、N，EF与MN交于点K。求证：K是线段MN的中点。
图6
（2008，全国初中数学联赛（江西卷））
证明 如图6，在PF上取点G，使得GF=FM，连接GC、GN。则CG∥DM。
设CA的中点为L，连接LE、LF。则LE、LF分别为△ABC、△ACD的中位线，有
从而，FK是△MNG的中位线，即K是MN的中点。
【注】在四边形问题中，当已知条件中出现四边形对边的两个中点时，常见的方法是：另外作对角线的中点，再利用三角形的中位线来解题。
四、利用中点构造直角三角形斜边中线和三角形中位线
例7 如图7，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E、G分别是AD、AC的中点，DF⊥BE，垂足为F。求证：FG=DG。
图7
（2006，全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛）
证明 注意到DG是Rt△ADC斜边上的中线，于是，要证FG=DG，只需FG是直角三角形斜边上的中线，故从证明AAFC是直角三角形入手。
连接AF、CF。
【注】在直角三角形的问题中，常常是取直角三角形斜边的中点构造直角三角形斜边的中线，再利用其性质解题。
例8 如图8，在△ABC内取一点P，使∠PBA=∠PCA。作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E。求证：DE的垂直平分线必经过BC的中点M。
图8
（2006，全国高中数学联赛四川省初赛）
证明 如图8，设L、N分别是PB、PC的中点。连接MD、ME、ML、MN、DL、EN。则
故BC的中点M在DE的垂直平分线上。
【注】当题目的条件中涉及三角形一边的中点和直角三角形时，常用的方法是：另取一边（一般取斜边）的中点，为沟通直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理架起一座桥梁。
五、利用中点构造梯形中位线
例9 已知AB为半圆⊙O的直径，P为直径AB上的任意一点。以点A为圆心、AP为半径作⊙A，⊙A与半圆⊙O交于点C；以点B为圆心、BP为半径作⊙B，⊙B与半圆⊙O交于点D，且线段CD的中点为M。求证：MP分别与⊙A、⊙B相切。
（2007，数学周报杯全国初中数学竞赛）
证明 如图9，连接AC、AD、BC、BD，分别过点C、D作AB的垂线，垂足分别为E、F。
图9
图10
例10 如图10，M、N分别是四边形ABCD边AB、CD的中点，BN与MC交于点P，AN与MD交于点Q。求证：
【注】例9利用M是中点构造梯形中位线，再利用中位线的性质解题；例10是利用梯形中位线定理中的数量关系来解题。
六、利用多个中点构造三角形和四边形
例11 如图11，在任意五边形ABCDE中，M、N、P、Q分别为AB、CD、BC、DE的中点，K、L分别为MN、PQ的中点。求证：
证明 如图11，连接BE，取其中点R，连接MR。则
。联结RN。则P、N、Q、R分别为四边形BCDE各边的中点。故四边形PNQR为平行四边形，RN、PQ互相平分。
图11
因为L为PQ的中点，所以，L为RN的中点。
在△MNR中，因为K、L分别为MN、RN的中点，
图12
【注】通过连线，将多边形分割成三角形、四边形，为多个中点的利用创造了条件。
练习题
1.如下页图13，在△ABC中，D、E分别为边BC、AC的中点，AD与BE交于点P。若∠BPD=∠C，求证：以△ABC三条中线为边构成的三角形与△ABC相似。
（2004，全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛）
图13
提示：延长PD至点F，使PD=DF。连接BF、FC、PC、DE。则四边形BFCP为平行四边形。
由∠BPD=∠C，知P、D、C、E四点共圆。
故∠PCF=∠CPE=∠CDE=∠ABC。
又∠PFC=∠ACB，则△PCF∽△ABC。
注意到△PCF各边均为△ABC中线长的
，即得证。
2.如图14，已知AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上截取CE=AB，M、N分别为边BC、AE的中点。求证：
MN∥AD。
图14
（2007，太原市初中数学竞赛）
提示：连接BE，取BE的中点F，连接FN、FM。易知
3.如图15，BD、CE是△ABC的两条高，F、G分别是边DE、BC的中点，O是△ABC的外心。求证：
AO∥FG。
图15
（2005，全国高中数学联赛四川省初赛）
提示：如图15，延长OA交DE于点H，连接OB、GD、GE。易知B、C、E、D四点共圆。
又易得∠EAH+∠DEB=90°。
则AH⊥DE，即OA⊥DE。故AO∥FG。
4.如图16，在菱形ABCD中，∠A=100°，M、N分别是边AB、BC的中点，MP⊥CD于点P，则∠NPC的度数为＿＿。
图16
（2007，山东省初中数学竞赛）
提示：易知∠B=80°。
注意到BM=BN。则
∠BMN=∠BNM=50°。
设MP的中点为E，连接NE。易知NM=NP。则∠NMP=∠NPM。故
∠NPC=∠NMB=50°。
5.如图17，在△ABC中，D为边BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，且∠ABE=∠ACF，BE与CF交于点O。过O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q为垂足。求证：
DP=DQ。
图17
（2008，江苏省初中数学竞赛）
提示：仿例8。