小学数学教学研究前瞻，本文主要内容关键词为：小学数学教学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
怎样继续深化小学数学教学研究，是很多从事小学数学的老师和研究者关心的问题。作为一个小学数学教学的外行，我主要从数学的角度谈一些想法，希望老师们考虑一下，能不能以此作为教学研究的切入点？
一、形数结合
数形结合是大家经常说的。基本上说，数学是研究数量关系和空间形式的科学。现在的课程标准把数学划分为“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”4大领域，怎样把这4大领域相互渗透？这是一个值得研究的问题。
几何在数学中具有非常重要的地位，几乎所有重要的数学概念都是从几何中得出来的，所以有人说几何是数学思想的摇篮。几何不仅有直观的图像，而且还有推理，推理就要使用语言。在教孩子们认识数的时候，要举很多例子。我们往往举一只小白兔、一个胡萝卜、一个苹果等。大家举例子的时候能不能照顾到几何呢？比如，幼儿园就学数了，学“1”的时候，可不可以让孩子用“1”来造句：一个圆有一个圆心，一条线段有一个中点，一个正方形有一个中心？有人可能会说，学生对这些句子没有理解，不知道什么意思。不知道意思，我们可以在旁边画个图形，让学生初步感知其中的意思。他虽然不知道概念的准确含义，比如圆的定义，但看了一些图之后，有了直觉的印象，就从形象上熟悉了圆，以后看见一个东西，就知道这是圆的，那不是圆的。我个人觉得，学语言一开始不是理解，而是模仿。小孩子学的第一句话是“妈妈”，不管从伦理学上还是生物学上，他不理解“妈妈”是什么意思，只知道一叫“妈妈”，那个人会抱他，给他喂奶。如果学生在刚开始学数学的时候，能了解一些几何上的例子，这对他将来学习几何语言乃至学习几何推理都是很有帮助的。有的教材，代数部分只讲代数，几何部分只讲几何，没有把代数和几何结合起来。杭州现代小学数学教育研究中心编写的《新数学读本》有一个很突出的优点，一开始就让学生认识图形，其实认识图形比认识数更基本。
在中国古代的时候，老师一般先不讲要学的内容，而是先让学生背，背会后才讲。当然，这个教学方法不能作为模式，但并非没有可取之处。如果学生已经会背了，再讲的时候，他就不需要翻书了。现在经常讲建构主义，信息要先存入头脑里才能建构。一个人如果闭目塞听，不和外界接触，他的脑海里是建构不出东西来的。当学生学数的时候，反正老师都要举例子，与其举那些几个苹果、几个桃子的例子，还不如多举几个几何的例子。例如，在学习“2”的时候，我们可以教学生说“一条线段有两个端点”，不需要让学生知道什么是线段，只要画一条线段让学生来认识就行了。在学“3”的时候，可以画一个三角形，让学生说“三角形有三条边三个顶点”；学“4”的时候，可以画一个正方形，让学生说“正方形有四条边四个顶点”；学“5”的时候，可以画个五角星……讲到“100以内的数”的时候，可以画个60°的角，告诉学生这个角是60°。每次讲到数要举例子的时候，都画个几何图形，将来学几何的时候，学生的语言关就比较容易过。学几何，语言是一关，语言要从小学抓起，长大了就不好学了。会一些几何语言，到学几何推理时，学生回头一想会非常亲切，因为他早已经会说了。
小学生刚开始学加法时，计算对他们来说还是比较困难的。如果借助一些图形，特别是计算机屏幕上的动态图形帮助学生学习计算的话，他们会非常有兴趣。我在《数学杂谈》（中国少年儿童出版社）这本书里，一开始就讲了方格纸上的加减乘除，用方格纸上画线的方法解一些应用题，就是为老师们提供这方面的材料。
几何推理能不能早期让学生来认识？大家可以研究讨论。数学活动里的画图和推理，归根到底都是计算。推理是抽象的计算，计算是具体的推理，图形是推理和计算的直观模型。我们可以举些例子，让学生慢慢体会：所谓推理，本来是计算，到了熟能生巧的程度，计算过程可以省略了，还可以得到同样的结果，就成了推理了。比如，一个三角形ABC（如图1），如果D是底边AB的中点的话，三角形ACD和CDB两边的面积就会相等。这可以计算出来：假设AD=DB=3，三角形的高是4，那么它们的面积都是6。最后可以得出结论：如果一个三角形的一条中线将它分成两个三角形，那么它们的面积相等。首先，计算得出相等；最后，不算也知道它们相等，这就由计算转向推理了。再比如，上面一个四边形ABOC，下面一个三角形BOC（如图2），
设AO=20D，四边形面积是三角形面积的多少倍？这对于小学生来说是个很难的问题。但是如果知道AO是OD的2倍的话，也就知道了三角形AOB的面积是三角形BOD的2倍。当然，如果给出具体的数据，也是能够计算出来的。这样算过之后，就会进一步推出一般的规律：四边形ABOC和三角形 BOC的面积比等于线段AO和OD的长度的比，计算就转化成推理了。一份中招考试卷上有这样一道题：已知正方形的面积等于5（如图3），求这个正方形的内切圆的面积。表面上看这个问题小学生解决不了，因为求出圆的半径才能算圆的面积。但是要知道圆的半径就要知道正方形的边长，而正方形的边长是
，小学生不会求。实际上，正方形的面积是边长的平方，圆的面积是利用半径的平方来求的，不需要知道半径，只要知道半径的平方就行了。很多小学生做不出来这个题目，但一告诉他们答案，他们也会觉得很简单，为什么呢？这说明他们不能把计算转化为推理。我们可以推出正方形的面积和它的内切圆的面积的比是多少，知道了这个比值，这道题就容易多了。
图3
二、动静结合
小学数学教材里学的内容是初等数学。但是作为教材编写人员应该想着高等数学。这样，编出来的教材是不一样的。我们可以想一想，教给小学生加减乘除，那么加减乘除有什么用呢？现在，就连出去买菜的老太太都拿着计算器算账。我们教应用题鸡兔同笼，有没有人把鸡和兔子关在笼子里数了它们有几只脚，还不知道鸡和兔的数目的？我们说数学是思维的体操，思维的体操应向什么方向引导？怎样教学才能使学生将来上了大学后回想起他小学里学的东西时觉得对他大学的学习还有帮助？能不能引导学生逐步从常量渗透到变量？比如，《新数学读本》里，让学生考虑问题中量与量之间的函数关系，这样做就非常好。小学里讲了很多应用题，这些应用题有什么共同点？很多教材都没有指出。其实是有共同点的：大量的题目，都涉及到一次函数关系。举个鸡兔同笼的例子，鸡和兔共有12个头，34只脚，有多少只鸡？学生只会想到这些字面的意思，但是数学家、老师和教材编写人员可以想到这样一个表：
鸡（只）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
兔（只） 11
10 9
8
7
6
5
4
3
2
1
总脚数46
44 42 40 38 36 34 32 30 28 26
这个表说明，你的答案和你要做的题目中的某个数，有函数关系。如果这样问小学生：“1只鸡对不对呀？”“不对。1只鸡11只兔子有46只脚，不是 34只脚呀！”但是，数学家不这样想，数学家就会考虑多少只鸡和多少条腿之间的关系，随着鸡的增加腿的数目在减少，这是函数关系。假设一个答案代进去不对，必然可以由某一个数检验出来，不对的答案和题目中某个数之间有个关系，知道了这个关系，就知道答案往上调整还是往下调整，很快就会得到正确答案。这是个笨办法，学生不理解，以为这个办法不好。但这个办法有个特点：几乎所有的应用题都能用它来求解。因为小学应用题基本上都是一次函数。这个方法从解决具体问题的角度来看是个笨办法，但从数学观点来说，是个高等观点。学生掌握了这个方法，有了这个观点，就可以解决各种各样的应用题了。即使很简单的题目，也可以把它由静态变成动态。比如，有几个盘子和若干核桃，加一个盘子，每个盘子恰好可以放6个核桃，减一个盘子，每个盘子恰好可以放9个核桃。问有多少盘子和多少核桃。从假定最初有2个盘子算起，就可以列个表：
盘子数（个）2
3
4
5
6
7
加一个盘子的核桃数（个）
18 24
30 36 42 48
减一个盘子的核桃数（个）
9
18
27 36 45 54
这个列表的过程好像是为了解决这一个问题，所以学生只想到解答这一个题目，然而它是一种通用的方法——试探法。如果每道应用题都这样列表，它就渗透了变量的概念、函数的概念和对应的概念。我觉得小学学这些东西是为了将来的发展，学常量是为了讲变量，学应用题是为了将来讲方程、讲函数。初中老师在讲函数的时候，能不能回顾小学的例子来说明，把前后连在一起？现在的教材，常常是各自编各自的，没有相互渗透、相互联系，从而导致学生感觉数学是支离破碎的，而不是一条线贯穿起来的。特别是在中小学的时候，它是有一条线的，我们应该在小学的时候就考虑这条线，到了中学再加强这条线，到了大学再真正了解这条线。
三、有为和不为
在小学数学教学研究中，哪些可以不做而我们现在还在做？哪些应该做、可以做，我们还没有做？哪些是应该将来学的现在已经学了？哪些是应该小学就学的，而现在没有学？这些问题我觉得全世界都没有作彻底的研究。举个例子，现在小学教材里编排了一些概率统计知识，我不否定概率统计很重要，但概率统计放在哪个年龄段学效率更高呢？是学生把加减乘除学得很透的时候再学比较好，还是一开始就学比较好？这是值得研究的。再比如三角函数，是放在高中学得快，还是放在初中学得快？我觉得三角函数放在初中学是最好的，学了三角函数之后，后面什么都容易了，它是工具嘛！（相关论述请参阅本刊2006年第6期《学习数学的几点体会》一文）
我听过一节示范课“观察物体”，老师让学生在课堂上从各个方向观察实物。没错，这是实践，但是这个实践有没有必要在课堂上来做？小孩子在不会说话的时候就知道一个物体从不同方向看是不一样的，老师只要一提醒，孩子就可以在脑海中回忆起很多生活中的例子。很多教材上都有“认识人民币”这样的内容，这是生活中很重要的知识，就算课堂上不教给学生，也不必担心他不认识货币。生活中必然能学会的东西为什么要教？我们留一点时间教那些学生在生活中不可能学到的，或者他一辈子都不可能学到的一些宝贵的东西，不是更好吗？现在的课程标准里面没有珠算，我个人认为应该加上珠算。因为珠算是一个模型，它是最简单的计算器，它里面有算法思想。“三下五除二”就是加 3的算法。我们不需要学生把算盘打得非常熟练，但是他要知道这种方法。大家都知道“授之以鱼，不如授之以渔”。究竟哪些是“鱼”，哪些是“渔”，值得我们研究。
其实，有很多很多的问题需要我们进行研究，进行教学实践。在此，我只是抛砖引玉，为大家提供一些可能研究的切入点。