山东省昌邑市文山中学 261300
本文就目前函数与导数高考压轴题主要类型及解法进行举例阐述：
一、待定常数法
（2017年课标卷文21题）f（x）=（1-x2）ex。1.略。2.x≥0时，f（x）≤ax+1求a的范围。题目不难，可以选择洛必达法则，解法如下：①当x=0时，f（0）=（1-02）e0=a·0+1，此时a∈R。②当x＞0时，f（x）=（1-x2）ex＜ax+1a＞ ，构造函数h（x）= ，则h`（x）= ，记p（x）=（-x3-x2+x-1）ex+1则p`（x）=-x（x2+4x+1）ex，故p（x）在（0，+∞）上单调递减，且p（0）=0∴p（x）＜0即h`（x）=＜0，limh(x)=lim =lim=1,故a的取值范围是[1，+∞）。
若不会使用洛必达法则，可选用常见的待定常数法，也是本文重点介绍的方法，解法如下：当x＞0时，对f（x）=（1-x2）ex＜ax+1构造含有待定常数的函数式。比如：设g（x）=（1-x2）ex-1＜x-1（x＞0）其中k是待定的常数。则g`（x）=（-x2-2x+1）ex-k[待定的常数是这样确定的，使构造的函数的导数值在定义域内不小于（不大于）0]。
如k=1则g`（x）=（-x2-2x+1）ex-k＜g`（0）= 0，在（0，+∞）上g`（x）＜0，∴g（x）单调递减。g（x）＜g（0）=0，（1-x2）ex-x-1＜0，得到 ＜1（x＞0）。①
要f（x）=（1-x2）ex＜ax+1（x＞0）只需 <a（x>0） ②
结合①与②得a≥1。综上所述，a的取值范围是[1，+∞）。
该方法备选练习：2016年四川高考理科第21题；2015年山东理科第21题；2014年新课标理科第21题。
二、参变量分离法（完全分离或部分分离）
（2016年新课标全国卷）已知函数f（x）=（x-2）ex+（x-1）2有两个零点。
（1）求a的取值范围。
（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明x1+x2＜2。第（1）问，若选择参变量完全分离：令f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2=0显然x≠1。则a= 记g（x）=则g`（x）= ，
I.当x＜1时，g`（x）＞0，g（x）在（-∞，1）上单调递增，而当x→-∞时，g（x）→0。当x→1-时g（x）→+∞，即g（x）在（-∞，1）上的值域是（0，+∞）。
II.当x＞1时，g`（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减，而当x→1+时g（x）→+∞。当x→+∞时，g（x）→-∞。即g（x）在（1，+∞）上的值域是（-∞，+∞），结合g（x）的图像易知f（x）存在两个零点，即方程a=g（x）有两个实根，则a的取值范围是（0，+∞）。
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第（1）问，若选择参变量部分分离：令f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2=0，显然x≠1。则a（x-1）= 记：h（x）= 则h`（x）=＜0∴h（x）在（-∞，1）和（1，+∞）上均单调递减。当x→-∞时，h（x）→0。当x→1-时h（x）→-∞。当x→1+时h（x）→+∞。当x→+∞时h（x）→-∞。
结合h（x）的图像易知f（x）有两个零点，即y=a（x-1）这条动直线与图像有两个不同的交点。结合图像可知a＞0。
说明：部分分离是参数分离的变通处理，它可以灵活地分配左右两端的式子结构，做到以简驭繁。
三、极值点偏移问题
借助本文已经提及的2016年全国卷压轴题中的第（2）问加以介绍。
解析：根据第一问的结果，不妨设x1＜1＜x2＜2，使f（x1）=f（x2）=0，即｛（x1-2）ex +a（x1-1）2=0，（x2-2）ex +a（x2-1）2=0，两式相减得（x1-2）ex -（x2-2)ex =a（x2-1）2-a（x1-1）=a（x2-x1）（x1+x2-2），假设x1+x2≥2，则a（x2-x1）（x1+x2-2）≥0，则（x1-2）ex ≥（x2-2）ex ，即（2-x1）ex ≤（2-x2）ex 两边同时取对数ln（2-x1）+x1≤ln（2-x2）+x2，即 ≥1 ①
而又由对数平均不等式知
= < ≤1 ②
由①②两式的矛盾知假设不成立。∴x1+x2＜2。
我们针对此类问题还可以进行变式探究，由x1+x2＜2引申到求出x1+x2具体的取值范围。进一步引出求x1，x2的取值范围之类的题目。
“极值点偏移问题”备选训练题：已知函数f（x）=xe-x（x∈R），（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）已知函数y=g（x）的图像与函数y=f（x）的图像关于直线x=1对称，证明：当x＞1时，f（x）＞g（x）。
四、常用函数型不等式
有三种函数型不等式在高考中出现频率较高，先让我们看一下这些不等式。记住后较容易产生解题思路。
①ex≥x+1;ln（x+1）≤x，（x＞-1）;=1- ≤lnx≤x-1，（x＞0）。
②- ≤lnx≤ x，（x＞0）。
③lnx≥ ，（x≥1）;lnx≥ ，（0＜x≤1）。
例题：已知函数f（x）=ex-ln（x+m）。（1）设x=0是f（x）的极值点，求m并讨论f（x）的单调性；（2）当m≤2时，证明： f（x）＞0。
解析：第（1）问略。（2）可利用常见函数型不等式ex≥x+1或lnx≤x-1，（x＞0）进行放缩，再构造函数证明。
说明：先利用函数型不等式进行适当放缩，然后构造函数加以证明。
论文作者:王维华 尹丽娥
论文发表刊物:《教育学文摘》2018年9月总第277期
论文发表时间:2018/8/22
标签：函数论文; 不等式论文; 常数论文; 极值论文; 参变量论文; 单调论文; 图像论文; 《教育学文摘》2018年9月总第277期论文;