分形理论对科学思维的影响，本文主要内容关键词为：思维论文,理论论文,科学论文,分形论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
摘要 分形态是自然界普遍存在的状态。维数连续和否定微分具有划时代的意义。宇宙时空结构可能不是4维而是分维。分形理论是探索复杂性的新学科，它所揭示的标度不变性等系统特性和伴随的许多新概念，对科学思维有重要影响。
关键词 分形 分维 科学思维 复杂性
近十多年来，分形成为非线性科学研究的热点之一。不仅其理论研究日益深入，而且其应用范围日趋广泛，几乎遍及自然科学和社会科学的各个领域。
20世纪的物理学沿着三个方向发展。一是揭示微观世界中的物质结构和相互作用；二是认识宇宙范围的物质演化形式；三是理解物质怎样组织成愈复杂的高级运动形态。极小、极大和极复杂，这就是当代物理学乃至自然科学的三个主要前沿。在朝着“复杂性”这一前沿挺进的过程中，分形理论是一个重要分支，它所揭示的维数连续、标度不变性等系统特性和伴随的许多新概念对科学思维产生重要影响。
一、否定微分具有划时代的意义
分形几何学是最近十多年来才发展起来的新学科，它是数学家族中的一个年轻成员。它所研究的虽是自然界中常见的现象，但却是变幻莫测、不稳定的、非常不规整的现象。自然界中许多体系、现象和过程具有分形的构造或性质。比如，晴空之夜满天繁星的分布，变幻无穷的云彩，闪电的树状径迹，美丽多姿的雪花，气候的剧烈变化，弯弯曲曲的海岸线，蜿蜒的水系河流重峦叠嶂的山脉，给人类造成巨大灾害的地震，种类繁多的多孔材料，植物的根系和叶脉，人体的血管系统，肺膜的结构，城市喧嚣的噪音，股票的变动，等等。即大至宇宙的星云分布，小至准晶态的晶体结构，从自然科学到社会科学，都普遍存在着分形现象。这些现象可称为分形态。大量事实说明，分形态（即分形构造）是介于无序—有序之间的状态，是自然界分布最广泛的状态。这种状态是不稳定或者准稳定的，这正是自然界运动、发展、演化的根本原因。
自然界中的所有形状和人类迄今所考虑的一切图形大致可分为如下两种：一种是具有特征长度的图形；另一种则是不具有特征长度的图形。这里所说的特征长度，如果考虑的是地球，就是它的半径；如果是人，就是身长。对于特征长度，并无严格定义，无非是指那件物体长度中的代有者。对于具有特征长度的物体，对它稍加简化，但只要特征长度不变，其几何性质也不会有太大的变化。假若竖起一个与人相同高度的圆柱代替人，那么从远处看，也不会有太大的差错。如果再精细一点，以小矩形代替身躯，小圆柱代替臂和腿，球代替头，于是就很像人了。自然还可以添上手指、鼻子、嘴和眼睛等细节，那就更像一个人了。换句话说，对于具有特征长度的物体，若用几何学上熟知的三角形、矩形、矩形体或圆柱体等简单形状加以组合，就能很好地与其构造相近似。正如沃斯（R·F·Voss）总结说：“伽利略关于科学基本信条的著名论断可以概括为三点：①要理解和模拟大自然，必须通晓它的语言；②大自然的语言是数学的，而几何学是描述、仿制、模拟形状的特殊语言；③大自然的几何语言是由三角形、圆以及其他规整图形构成的。”[①]
具有特征长度的基本形状虽然各不相同，但却具有共同的重要性质，这就是构成其形状的线和面的平滑程度。球的表面到处都是平滑的，矩形虽有棱角，但其面却是平滑的，即几乎任何位置都是可以微分的。自然界中凡属于这一类的物体，一般如果不是真正平滑的，也是近似平滑的。举例说，考虑地球形状时，通常视为球形，或者进一步视为旋转椭球。但真正的地球表面有高山也有谷地，是凹凸不平的。但这些差别与地球的特征长度半径相比是可以忽略的。
特征长度对于具有特征长度的物体则极为重要。比如说，动物的结构总是与其特征长度相关联。设想在现有结构的情况下，把人的尺寸放大两倍，就有可能把人的骨骼压垮。不同尺度的动物具有显然不同的特征和结构，不同层次的生命运动有质的差别。微观尺度的原子、粒子具有宏观的物体所没有的特征。事物的性质因特征尺度的改变而改变，不同尺度的领域有不同的规律。比如，宏观物体遵从经典力学，而微观粒子遵从量子力学。
下面我们来看另一类不具有特征长度的物体的特点。现在设想一下云的形状。因为云的形状各式各样，此处仅以积雨云为例。翻滚的积雨云各部分粗看起来也像球的形状，但若仔细观察可以发现，在认为是球的部分又存在着不可忽视的凹凸，必须采用一些较小的球体来进行近似。随着观察范围的逐步缩小，一再要求越来越小的球来进行近似，以至无穷。若要把积雨云表现得更逼真，就必须准备无数个大小不同的球。自然，若用矩形或者椭圆柱体去逼近积雨云，情况也一样。这说明，如果用具有特征长度的图形去近似积雨云，则与真正的积雨云的形状相比，任何时候都会产生不可忽视的很大的误差，必须准备无数个不同大小的几何体。所以认为这类物体不具有特征长度。
没有特征长度的图形的重要性质是“自相似性”。用数学语言说，这种图形在标度变换群下具有不变性。若把考虑的图形的一部分放大，其形状与全体（或大部分）相同，这就是自相似性。自相似性是自然界和社会界普遍存在的现象。如一棵大树，树上任取一枝可以看出与树的整体有明显的自相似性；冬季窗户上的冰花，任取的一小部分与其整体结构有明显的自相似性；一个水系，任取其一支流，其分支结构与任一河网结构有明显的自相似性。在不同的体系中，物质和物体形态结构及其发展过程也具有许多相似之处，如对称分布，树枝状的结构，循环周期性发展等。
前面说过，具有特征长度的形状的重要性质是平滑程度。这是因为与特征长度相比较，即使把小部分近似平滑，也不会失去整体的特征。对于不具有特征长度的形状，称之为“分形”。分形完全否定了平滑程度，例如数学上著名的科克（Koch）曲线，不管把它如何放大，它都是像原来那样复杂，不能从中引出切线，处处连续，却处处不可微，用微分是不能定义的。实际上，早在上个世纪就发现有处处连续、处处不可微的函数。
现代数学是在欧几里德几何和300年前牛顿创立的微积分的基础上发展起来的。即便是19世纪创立的黎曼几何，否定了空间的平直性，建立了非欧几何。但非欧几何研究的仍然是几乎处处光滑的规整几何对象。长期以来，数学家把几乎处处不光滑的连续函数排斥在数学的合法研究之外，并贬之为“病态”图形。因为从规整几何的角度来看，它们都是一些“不成形的”（formless）或“支离破碎的”（fragmentry）图形。分形否定微分，即把数学分析的最大武器放弃了，这对数学和物理的思维和方法论的冲击之大难以想象。日本学者高安秀树说：“否定微分，这在历史上恐怕也是划时代的。”[②]
牛顿力学的宏伟大厦是牛顿在他自己的创立的微积分基石上建立起来的。牛顿力学又是大部分自然科学的基础。微分的基本思想是，一条曲线，若取极限，那么无限小的线段可以看成直线。于是，若一质点沿一曲线运动，可以写出矢径对时间的二次微商，从而写出牛顿运动力学方程md[2]r／dt[2]＝F.现在我们假定质点是在一条分形曲线（例如科克曲线）上运动，那么对它取极限仍然是条曲线，小曲线的长度还是无限长。它和原来的“母”曲线具有同样的复杂性。对分形曲线做不出切线，不能微分，自然也就无从写出牛顿运动微分方程了。即牛顿方法在分析分形曲线上质点运动时失效了。如何描述分形曲线上质点的运动，是物理学面临的一个尚未解决的新课题。
刚才谈到分形曲线令人惊异的行为，它违反了按微分思维所得的合乎逻辑的结果。再举一个例子。通常人们总是认为当体积趋于无限小时，它就退化为一个点。但对于分形体，比如谢尔宾斯基（Sierpinski）海绵，当取极限时，也就是取任意小的一小块，体积趋于零，但面积还是无限大，永远不能退化为一个点。它和“母”体具有同样的复杂性。与此牵连的物理概念自然又失效了。
前面曾提及，伽利略关于科学基本信条的论断归结为三条。沃斯认为，前两条仍然正确，但第三条则不正确了。大自然偏爱的语支（dialect）不是欧氏几何，而是分形几何。分形几何提供了描述自然界不规整形状的基本结构，其概念正在成为大多数自然科学的主要工具。笔者认为此处应该补充的是，分形概念也日渐成为人文社会科学中许多学科的有力工具。[③]
二、分维为时空理论带来新的启迪
相对论的创立是20世纪物理学划时代的革命。然而这次物理学革命却是建立在几何革命的基础上。黎曼几何否定了欧几里德几何的平直性，并为相对论提供了数学工具。
爱因斯坦将时间与空间等同处理，把时空看作4维连续区。根据广义相对论，空间是弯曲的[④]。一道光线经过天体（例如太阳）的近旁时将发生趋向该天体的偏转。此种情况与抛射一物体通过引力场时路径发生弯曲有相似之处。对于经过距离太阳中心△个太阳半径处的一道光线而言，经计算偏转角α＝1.7″／△[⑤]。天文观察完全证实了爱因斯坦当初的预言。
爱因斯坦根据广义相对论的基本原理，提出了一个有限而又无界宇宙的观点[⑥]。为了想象一个无界而又闭合空间的概念，我们在此援引爱因斯坦的说明[⑦]。首先，让我们设想在2维空间中的一种存在。持有扁平工具（特别是扁平的刚性量杆）的扁平生物自由地在一个平面上走动。对于这些扁平生物来说，在这个平面之外没有任何东西存在。它们所观察到它们自己和它们的扁平的“东西”的一切经历，就是它们的平面所包含着的全部实在。具体来说，欧几里德平面几何学中的一切作图都可以借助于杆子来实现。与我们的宇宙相比，这些生物的宇宙是2维的。但同我们的宇宙一样，它们的宇宙也延伸到无限远处。在它们的宇宙中有足够的地方可以容纳无限多个杆子构成的相互等同的正方形，亦即它们宇宙的容积（面积）是无限的。
其次，让我们设想另一种2维的存在。不过这次是在一个球面而不是在一个平面上。这种扁平生物连同它们的量杆以及其他的物体，与这个球面完全贴合，而且它们不可能离开这个球面，因而它们所能观察的整个宇宙仅仅扩展到整个球面。试问这些生物能否认它们的宇宙的几何是平面几何，它们的量杆同样又是其“距离”的实在体现呢？它们不能这样做。因为如果它们想实现一条直线，它们实际将会得到一条曲线，我们“3维生物”把这条曲线称做一个大圆，亦即具有确定的有限长度、本身就是完整独立的线，其长度可以用量杆测定。同样，这个宇宙的面积是有限的，可以与用杆子构成的正方形的面积相比较。从这种考虑得出的极大妙处在于承认了这样一个事实，即这些生物的宇宙是有限的，但又是无界的。
依据广义相对论，空间的几何性质并不是独立的，而是由物质决定的。量杆和钟的行为受到引力场的影响，亦即受到物质分布的影响。仅就这一点都足以说明欧几里德几何学在宇宙中不是严格有效的。由于像太阳那样大的质量对于周围空间的度规的影响也是极其微小的，从而可以想象，广义相对论下的宇宙与欧几里德宇宙也仅有微小差别。这种虽然微小但却是本质的差别，否定了空间的平直性。爱因斯坦假定宇宙中有一个不等于零的物质平均密度，依此进行计算，结果表明，宇宙必然是球形（或椭球形）的。由于实际上宇宙中的物质分布是不均匀的，从而实在的宇宙在其各部分上会与球形有出入，亦即在球面上的各部分是不规则弯曲的。从分形的观点来看，这也许恰好说明宇宙本身就是分形的。在爱因斯坦时代，只知道整形几何，尚无分形的概念。而在整形几何中，面积有限的区域必定由长度有限的周边曲线围成；体积有限的空间必定由面积有限的边界面围成。但对于分形而言，与上述性质迥异。比如，由科克曲线围成的科克岛，周边的长度为无限大，面积却有限；谢尔宾斯基海绵周边界面为无限大，体积却有限。从分形的观点来看，爱因斯坦提出的宇宙概念似乎变得不再那么令人费解了。当然爱因斯坦是很谨慎的，他并没有做出肯定的结论，只提出了一个“有限”而又“无界”宇宙的可能性。
爱因斯坦从宇宙空间的静态假设导出了宇宙空间的闭合性（有限性）。早在本世纪20年代，原苏联数学家夫里德曼（Friendman）提出了宇宙膨胀理论。哈勃（Hubble）红移的发现曾是宇宙膨胀理论一个有力的证明。哈勃红移是指星系愈远，光谱线的红移愈大，即看起来其中原子振动变得愈慢。1965年在7.35厘米上发现宇宙间存在几乎各向同性的背景辐射。后来在0.5毫米到70厘米波段内许多波长上的观察表明，该背景具有黑色谱，是温度相当于2.74K的黑体辐射，一般称之为3K微波背景辐射。这种辐射正好解释为宇宙早期赤热火球的暗淡余光。因为按照大爆炸理论，随着宇宙膨胀，原始火球的赤热黑体辐射势必要拉长波长，降低温度，进而导致今天在微波段观测到3K的微波背景辐射。于是，宇宙膨胀理论为更多的人所接受。爱因斯坦说：“我们还不能从宇宙膨胀理论以及天文学的经验数据得出关于宇宙空间的有限性或无限性的结论；而原来的宇宙‘静态’假设则导致了宇宙空间的闭合性（有限性）。”足见关于宇宙空间究竟是有限还是无限，迄今还是一个科学上尚未解决的问题。
从测度理论的观点看[⑧]，当我们观测所使用的尺度的维数与被观测客体的维数相同时，看到此客体是有限的；而当我们观测所使用的尺度的维数小于被观测客体的维数时，看到的客体便是无限的。从前面的分析看，宇宙本身很可能就是分形的，也就说它的维数不是整数维而是“分维”。由于像太阳那样大的天体的质量对于周围空间的度规的影响也甚为微小，所以可以想象，假若宇宙空间的维数大于3，也是与3维仅有微小的差别。但是，即便比3维大很小的一点点，那么我们观测的宇宙就是无限的，其原因在于人类目前尚不能超过3维对宇宙进行实际观测。看来脱离测度学、分维的概念，单纯谈论宇宙有限与无限已失去意义。
三、维数连续提醒对中介现象不容忽视
维数在数学和物理学中有着基本的重要性。传统的维数只能取0、1、2、3、4、……等离散值。维数取连续值是不可想象的。分数维的发现，改变了人们的这一认识。在传统的整形几何中，点与线、线与面、面与体是全然不同的几何对象。分形几何否定了整形几何这种绝对分明的界限。指明了点与线之间存在着像康托尔（Cantor）集之类非点非线、亦点亦线的中介现象；在线与面之间存在着谢尔宾斯基地毯、埃农（Henon）吸引子之类非线非面的中介现象；在面与体之间存在着谢尔宾斯基海绵、洛伦兹（Lorenz）吸引子之类非面非体的中介现象。科学终于发现，同整形对象相比，分形对象更为普遍。正像著名物理学家戴逊（Dyson）所说：“十九世纪数学家未曾想到的自然界并非不存在。数学家们为砸烂十九世纪自然主义的桎梏而费尽心机创造出来的那些病态结构，原来正是他们周围熟视无睹的东西。”[⑨]
忽视中介现象，对中介现象熟视无睹，甚至于发展到断然否定中介现象，有其深刻的认识论根源。
牛顿理论在描述天体和地面上物体运动方面获得巨大成功，特别是对一给定了初始状态的物体，牛顿力学的数学方程可以完全确定该系统的运动。它加深了人们关于世界本身是严格确定性的信念：我们生活在一个受精确数学法则支配的宇宙中，过去的事物决定着未来的事物。著名数学家拉普拉斯（Laplace）就是这一思想的代表。他有一段被人们反复引用的名言，“我们认为，宇宙的现在状态是前续状态的结果，是后续状态的原因”。所以人们将这种观念称之为“拉普拉斯决定论”，它可以用“如果……那么……”这样的陈述来表达。伽利略的“自然这本大书是用数学语言写成的”这段名言，爱因斯坦经常强调的所谓“因果关系”，都表达了这一种认识。这种认识在逻辑思维上升华为一个规律，称为“排中律”——“非此即彼”。然而前面所述及的康托尔集合、埃农吸引子和谢尔宾斯基地毯、海绵等却是“非此非彼，亦此亦彼”的现象，它们使排中律破缺。之所以这些现象不受排中律的约束，原因是客观上“此”与“彼”之间存在着中间状态，而这些现象本身就是“居中”的。客观事物是复杂多样的，并不是所有的客观事物都按照二值规律存在着。
“亦此亦彼”地思考研究对象，对于科学思维是不可缺少的。例如，在微观物理的研究中，同时肯定物质既具有粒子性又具有波动性（简称波粒二象性）就是一个典型的事例。“场”和“粒子”的关系也是这样。按照现代的观念，场和粒子不过是同一客体的两个不同名称，只是在认识客观事物的不同阶段，人们给之以不同的名称而已。当然这个认识来之不易，是科学家经过数十年的探索和争论才得到的共识。
忽视中介现象的具体表现是以简单二极化代替对事物进行统系的、整体的分析。这种思维方式障碍科学的发展，分维和分形走过的艰难历程就足以说明这一点。分形图形、分维函数早在19世纪已经给出，却被视为“妖怪回廊”、“病态结构”而被拒于数学研究的范畴之外。直到本世纪80年代才被人们逐渐认识。若从1875年雷蒙德（Reymond）首次报道韦尔斯特拉斯（Weierstrans）构造出了一种连续不可微函数算起，到1975年曼德尔布罗特（Mandelbrot）创造出分形（fractal）这个词，历时整整一个世纪。经过了几代人的努力，才使分形理论迈入科学之林。
下面再举一个例子。大家知道，量子力学中最美妙、最惊人的成就之一就是给经典力学中毫无意义的全同粒子赋予了全新的含义。真正不可区分的全同粒子之间具有强烈的相互作用，这种相互作用通常是通过量子统计规则实现的。多年以来形成了这样一种概念：全同粒子只有两类，即费米子和玻色子。甚至在多数量子力学教科书中找到所谓的“证明”。粒子的统计性质是由粒子的内禀性质之一的自旋角动量决定。自旋量子数是半整数的粒子，如电子、质子、中子等。它们遵从泡里不相容原理，即一个量子态不能同时被两个或两个以上的粒子占据。整个体系的波函数对于粒子空间位置的互换是反对称的。另一类是自旋量子数是整数的粒子，如光子、介子等。它们不遵从泡利不相容原理。同一个量子态可以被任意多的粒子所占据。整个体系的波函数对于粒子空间位置的互换是对称的。本世纪80年代以前，人们一直把量子力学的这个结论当成金科玉律。当有人提出质疑时，还被嗤之以鼻。因为书上有证明，一般人自然不敢问津，即便有不同的想法，还会认为是自己思维错误。这种观念统治物理达半个世纪之久。直到1976年（几乎与分形诞生同时！），杰克（R·Jackiw）和拉比（C·Rabbi）才一反传统，提出有波函数既不是对称的、也不是反对称的粒子，它的自旋可以取既不是整数，也不是半整数的分数值，这种粒子取名为“任意子”（anyon）。我们把这种粒子服从的统计规律称为“分数统计”。实验上也证实在量子霍尔态中任意子的存在。任意子理论为用量子场论方法探讨激聚态展示了新的前景[⑩]。这是量子统计对中介现象研究的重要成果。
20世纪60年代以来，是科学向复杂性全面进军的时代。在这个进程中，以分形理论、混沌理论和自组织理论（包括耗散结构和协同理论等）为代表的非线性科学是主力军。分形是复杂性的几何表现，它已成为定量描述混沌吸引子和自组织行为这样一些复杂现象的重要手段，使得分形几何学又有“混沌几何学”这个美名。它使人们追求确定性的梦幻破灭，从而要求人们修正因牛顿力学的成就而形成的根深蒂固的确定性思维模式。它使排中律破缺，要求人们重视中介现象的探索与研究。它否定了人们几乎不加思索地在取极限时以直（线）代（替）曲（线）的思维方法，并为时空理论带来新的启迪，酝酿着新的物理革命。它正在使几乎整个现代知识体系成为新科学。
注释：
①Voss R F·Fractals in nature:from characterization to simulation.in The science of Fractal Images,Edited by Barnsley M F at al.SpringerVerley·1988·22～23
②高安秀树：《分数维》，沈步明，常子文译，地震出版社，1994年。
③张建树：《分形理论与人文科学》，《西北大学学报（哲学社会科学版）》1995年第1期。
④爱因斯坦：《相对论的意义》，李灏译，科学出版社，1961年。
⑤ ⑥ ⑦爱因斯坦：《狭义与广义相对论》，杨润殷译，科学技术出版社，1964年。
⑧张建树：《道论“有生于无”的分形论诠释》，《西北大学学报（哲学社会科学版），1996年第1期。
⑨李后强，黄立基：《分形漫谈》，《科学》1992年42（2）
⑩朱沛臣，任意子：《物理学进展》，1991年第4期。
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