对2004年高考理综一道物理题的深开发，本文主要内容关键词为：物理题论文,考理综论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、理综高考试题（第15题）的解析
如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上。a点为圆周的最高点，d为最低点。每根杆上都套着小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速度为0），用t[，1]、t[，2]、t[，3]依次表示各滑环到达d所用的时间，则
图1
A.t[，1]＜t[，2]＜t[，3]B.t[，1]＞t[，2]＞t[，3]
C.t[，3]＞t[，1]＞t[，2]D.t[，1]=＜t[，2]=t[，3]
解析 以滑环在Bd上的运动为例来分析。
如图2，设圆周的半径为R，bd与ad夹角为α，连接a、b，显然直径ad=2R，那么bd=adcosα=2Rcosα
图2
滑环在bd上的加速度为a，由牛顿第二定律得mgcosα=ma
所以a=gcosα
由运动学公式可得bd=（1/2）at[2]，即2Rcosα=（gcosα/2）t[2]
所以滑环在bd上的运动时间t：2
可见，运动时间仅与圆周的半径有关，三个滑环到达d点的时间相等。
所以本题正确答案：D
由本题的解题过程可以得出结论：在竖直平面内的圆周上的不同点，沿不同光滑弦到达圆周的最低所需时间都相等，且等于2，（R为圆周的半径），我们把这样的圆周叫做“等时圆”。
二、将高考试题倒过来
将高考试题第15题改编成如下的情况，重新解析。
如图3所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，a为最低点。每根杆上都套着小滑环（图中未画出），三个滑环分别从d点释放（初速度为0），用t[，1]、t[，2]，t[，2]依次表示各滑环到达a、b、c所用的时间，则
图3
A.t[，1]＜t[，2]＜t[，3]B.t[，1]＞t[，2]＞t[，3]
C.t[，3]＞t[，1]＞t[，2]D.t[，1]=＜t[，2]=t[，3]
解析 以滑环在db上的运动为例来分析。
如图4，设圆周的半径为R，db与da夹角为α，连接a、b两点，显然直径da=2R，那么db=dacosα=2Rcosα
图4
滑环在bd上的加速度为a，由牛顿第二定律可得mgcosα=ma
所以a=gcosα
由运动学式可得db=（12）+at[2]，即2Rcosα=（gcosα/2）t[2]
所以滑环在光滑细杆db上的运动时间t=2
可见，在这种情况下，运动时间仍然是仅与圆周的半径有关，三个滑环到达d点的时间相等。所以本题正确答案：D
由本题的解题过程可以得出结论：在竖直平面内的圆周上的最高点，沿不同光滑弦到达圆周上的不同点所需时间都相等，且等于2（及为圆周的半径），我们把这样的圆周也叫做“等时圆”。
三、把两个“等时圆”组合起来
在竖直平面内，将上面的两个“等时圆”外切“对接”起来，两个圆的切点分别是两个圆周的最高点和最低点，形成一个新的组合。
看下面的题目：
如图5所示，竖直平面内有两个外切的圆，切点O分别为两个圆周的最高点和最低点，两根光滑细杆ab、cd都通过O点，a、c和b、d分别在两个圆周上，a点是上面圆周的最高点，b点是下面圆周的最低点；每根细杆上都套一个小滑环，两个滑环分别从a、c处由静止释放，到达下面圆周上b、d处的时间依次为t[，1]、t[，2]，试证明：t[，1]=t[，2]。
图5
解析 先研究小滑环在cd上的运动。
如图6所示，连接a、c，连接b、d，设两圆的半径分别为R、r，cd与ab的夹角为α，则ab=2（r+R），cd=abcosα=2（r+R）cosα
图6
小环在cd上的加速度a=gcoscα，由运动学公式cd=（1/2）at[2][，2]，代入相关的量，t[，2]=2
现在研究小环在ab细杆上的运动：由a处释放小滑环做自由落体运动，则ab=（1/2）gt[2][，1]即2（r+R）=（1/2）gt[2][，1]故t[，1]=2
所以t[，1]=t[，2]，证毕。
四、“等时圆”的应用
下面的几个典型题目就是应用“等时圆”的结论来解决的。
1.如图7所示，一质点自倾角为α的斜面上方的定点O沿光滑斜槽OP从静止开始下滑，为使质点在最短时间内从O点到达斜面，问：斜槽与竖直方向的夹角β应等于多少？
图7
解析 对于本题，有多种解法，我们用两种解法做一比较：
解法一：如图8所示，质点沿OP下滑的加速度a=gcosβ
图8
设O点到斜面的垂直距离为H，则OP=（1/2）at[2]，那么
由数学知识可得，当β=（α/2）时，t有最小值。
解法二：“等时圆”法先构造“等时圆”。
假如已知沿斜槽OP运动所需时间最短，则可以画出如图9所示的圆M，O点在圆周的最高点，OM为竖直方向，且P为圆与斜面的切点（即MP直斜面），△OMP为等腰三角形，根据数学中的几何知识得出β=（1/2）α。
图9
可见，用“等时圆”解决，则解题的思路明确，解法也较简单。
2.如图所示，在长为l的斜面AB的顶端竖立一根长为l的直杆AC，在杆的顶端C与斜面底端B之间连一根光滑的细直杆，一光滑圆环套在细杆上，从C处由静止释放，圆环由C自由地滑至B处所经历的时间为______。
图10
解析 本题有多种解法，我们直接使用“等时圆”法来解决。
构造如图11所示的“等时圆”，A点为圆心，半径为l，直接应用“等时圆”结论可得：圆环由C自由地滑至B处所经历的时间为t=
。
图11
答案：
3.如图12所示，在竖直方向有A、B两点，离地面的高度分别为H、h，若要从A、B两点向地面上的同一点架设两个光滑轨道，使得从A、B两点由静止开始滑到地面的小物体所用的时间相等，试确定地面架设地点C的位置。
图12
解析 运用“等时圆”原理来解决本题。
作线段AB的中垂线OD，如图13所示，很容易得出“等时圆”的半径R=h+（H-h/2）。
图13
设地面上的C点到AB竖直线的距离为L，由几何关系可得：
R[2]=（H-h/2）[2]+L[2]，所以L=
，
所以，地面上的架设点C点到AB竖直线的距离为L=。
4.如图14所示，有一工厂车间需要在安全隔离板AB的下方安装一个光滑斜槽，将AB上面的原料沿斜槽由静止开始送入水平地面上的加工入口C，欲使原料从送料口沿光滑的斜槽以最短的时间滑落到加工入口C，斜槽的安装位置应该：
图14
A.过C点作竖直线CD，沿CD方向安装斜槽
B.过C点向AB作垂线段CE，沿CE方向安装斜槽
C.考虑路程和速度因素，应在CD和CE之间某一适当位置安装斜槽
D.上述三种方法，原料滑落到加工入口C点所用的时间相等
解析 按照“等时圆”的结论来解决本题。
我们先构造一个“等时圆”，如图15，圆心在∠ABC平分线与CD交点O上，“等时圆”与地面和隔板AB的相切点分别为C、F，这样就有三个点：D、F、E，很显然点F在“等时圆”上，D、E在“等时圆”外，那么原料从D、E两点滑落到C点所用的时间大于从F点滑落到C点的时间，所以可以得出结论：沿CF方向安装斜槽，可以使原料以最短的时间落到加工入口C。
图15
答案为：C。