杨军[1]2008年在《连续和离散几何造型方法精度问题的研究》文中研究指明几何造型方法按是否依赖于函数表达式可分为两类:即连续和离散几何造型方法。其中连续型造型方法通常是从曲线曲面的函数表达式出发来构建几何形体;而离散造型方法则直接从一些给定点出发,按一定规则,从已知点得到更多的点,将这些点按一定拓扑结构连接就形成一条曲线或一张曲面,称为控制多边形或控制网格(统称为控制结构)。不断重复上述生成新点以及得到新控制结构的过程,只要规则选取适当,极限情况下,控制结构将收敛到光滑曲线或曲面。对于连续型造型方式,考虑到曲线曲面的几何特性及计算的复杂程度等多方面的因素,在实际应用中一般选取多项式或分段(片)多项式函数作为逼近元,利用其图形来近似代替给定的已知函数图形。在连续型造型方法中如何选取合适的逼近元以及如何分析逼近的误差是本文讨论的曲线曲面造型的第一类精度问题。离散型造型方法由于操作直观、简便、易于交互控制,特别适合于利用计算机进行处理。这种方法最后得到曲线曲面形状总体上可以从控制结构的外形进行较好的判断。但是在一些实际应用中如果要进行精确处理或分析的话往往仍然需要知道极限曲线(曲面)在某些参数点的值;另外离散造型方法通常是用加细后的控制结构来代替曲线(曲面),因此也是一种近似,实际应用中需要知道这种近似和真实情况之间的误差是多少。由此产生了离散造型中的两个重要问题:一是如何求出曲线(曲面)上在某个参数点处对应的值。二是如何估计控制结构和极限曲线(曲面)之间的误差,这种误差问题我们称为曲线曲面造型中的第二类精度问题。对于第一类精度问题,本文应用泛函分析、算子逼近论等数学工具进行了讨论。对于第二类精度问题,则利用“开花”理论,生成函数、特征分析等技术进行了仔细的研究。在一元的情形下给出了Bézier曲线、B样条曲线以及一般细分曲线的离散造型方法的误差估计公式,特别提出了一种B样条插值细分算法,并分析了其逼近误差,结果表明该方法的精度优于普通的B样条细分方法。为了能够在更一般的离散造型中提高逼近精度,文中介绍了拟插值技术并给出了实例。细分曲面(Subdivision surfaces)造型技术是离散造型中最重要的技术之一。同传统的连续形式的曲面造型技术相比,它最主要的优点是可以处理任意拓扑结构的控制网格,因而在CAGD、计算机图形学、医学成像等领域得到了越来越广泛的应用。但是多年来,一些未解决的理论问题却限制了其在工业中的应用,直到20世纪90年代中期这一情况才得到改观。细分曲面的精确求值和误差估计就是其中两个具有代表性的问题。精确求值问题已经被Jos Stam解决,但是误差估计问题却仍然是困难的。我们介绍了关于Catmull-Clark细分曲面(双三次B样条曲面的推广)误差估计问题的一些初步结论。此外提出了Loop细分曲面(三向四次箱样条曲面的推广)精确求值的新公式,该公式是解析的,而Stam的求值公式是数值的。更进一步,本文利用特征分析技术得到了细分矩阵的精确高次幂,引入一种所谓的适用于空间四边形的新型差分—G—差分,然后求出其递推公式,并得到收敛速率,最后给出了对Loop细分曲面进行误差估计的方法。例子和数值实验表明我们的估计在正规情况下是最优的,在奇异情况下是近似最优的。
陈军[2]2010年在《曲线曲面的几何约束造型与近似合并》文中研究指明曲线曲面是计算机辅助几何设计(CAGD)系统中的基本工具,CAGD的大多数操作都是以曲线曲面为对象的.而无论是根据给定的几何信息构造满足几何约束条件的曲线曲面,还是为压缩几何信息的数据量而近似合并曲线曲面,它们都是在实际生产中被广泛应用的操作,因而一直成为人们关注的热点之一.本文围绕这两类问题展开了深入的研究,取得了以下丰富的创新性成果：1.四阶均匀α-三角/双曲多项式B样条曲线的保形插值：基于几何约束中位矢约束的曲线造型,其实质上就是构造插值所有给定点的曲线.而保形插值,就是使得插值曲线能够保持住型值点的外形特点.构造四阶均匀α-三角/双曲多项式B样条曲线的核心思想是,把一个参数化的奇异多边形与三角/双曲多项式B样条按某一个形状因子调配,自动生成带形状参数且插值给定平面点列的C2或G1连续的三角/双曲多项式B样条曲线.它既继承了均匀三角/双曲多项式B样条曲线的特点,也继承了奇异混合样条插值曲线在不要求解方程组或进行繁复的迭代的前提下进行插值的优点.为使每条与形状参数相应的插值曲线都能保单调或保凸,只需把曲线一阶导矢的两个分量或者曲率符号函数分别转化为类Bernstein多项式,从而利用二次Bernstein多项式的非负性条件,简单快捷地得到形状参数α保证曲线保单调或保凸的取值范围.2.规避障碍物的G2连续低阶样条曲线的构造：以基于几何约束中位矢约束的曲线造型对应的形状因子为临界值,得到能够规避障碍物的形状因子的范围.首先,对由线段构成的,能够规避障碍物的引导多边形进行光顺,得到G2连续的样条曲线.既给出了这种样条曲线的有理二次参数形式,又给出了隐函数形式.其主要思想是首先对引导多边形进行改进,插入部分中点以作为新的控制顶点.然后根据位矢约束求解每一段曲线的形状因子,并对所有的形状因子进行比较,取最大的一个来构造整条曲线,使之能够规避所有障碍物的凸包,并保持G2连续.与以往方法相比,本文构造的曲线具有以下优点：1.次数较低,却仍能够保证曲线整体G2连续；2.保形性良好,曲线与引导多边形具有相同的拐点；3.无需解高次方程,直接计算就可得到结果；4.控制多边形直观可见,便于对曲线进行控制.特别地,三次泛函样条曲线还可进行局部调整,但仍能保持G2连续.最后列举了多个数值实例,用来验证算法的简单与有效.3.三角Bezier曲面修改与调整方法：提出了一种基于几何约束中位矢约束和法向约束的三角Bezier曲面修改与调整方法.调整后的曲面满足多个参数点处位矢和相应法矢向量的几何约束.在角点无约束或者角点处边界曲线高阶连续的约束条件下,通过Lagrange乘子法,分别得到不同的调整曲面,使得距离函数在L2范数下达到最小.该算法简单有效,适用于各类CAD系统的交互设计.4.曲线的近似合并：讨论了两类曲线,B样条曲线的近似合并以及有理Bezier曲线的区间近似合并.对于B样条曲线,利用极值条件,通过求解一个线性方程组,使得距离函数在L2范数下达到极小,合并曲线的控制顶点可用矩阵显式表达,同时原曲线与合并曲线间距离函数的L2范数也可以精确得到.然后这个方法被成功地推广到两相邻非均匀B样条曲面的近似合并以及多段非均匀B样条曲线的一次性近似合并上.最后,利用齐次空间和二次规划问题,还探讨了非均匀有理B样条曲线的近似合并,同样得到了很好的结果.对于有理Bezier曲线,首先利用顶点摄动法,使得摄动误差在某个范数下达到最小,得到两条有理Bezier曲线的多项式近似合并曲线,以此作为区间曲线的中心表达形式.然后利用已有的计算结果直接得到区间长度固定的误差曲线,或者利用二次规划得到逼近效果更佳的区间长度不固定的误差曲线,两种方法都可以通过中点离散技术进行优化.如果对误差进行限制,还可以得到端点插值的合并区间曲线.5.三角Bezier曲面的近似合并：基于三角Jacobi基的正交性,以及其与三角Bezier基之间的基转换矩阵,得到两张或四张相邻m阶三角Bezier曲面与所求n(n≥m)阶近似合并三角Bezier曲面的距离函数的L：范数.然后分别在角点无约束或者角点处边界曲线高阶连续的约束条件下,通过最小二乘法分别得到不同的合并三角Bezier曲面,使得距离函数在L2范数下达到最小.合并曲面的控制顶点可用矩阵显式表达,同时原曲面与合并曲面间距离的L2范数也可以精确得到.特别地,通过提高合并三角Bezier曲面的次数可减小合并误差,改善合并效果.该方法计算简单直接,适用性强,逼近效果佳.
胡倩倩[3]2008年在《曲线曲面的两类几何逼近与两类代数表示》文中研究表明曲线曲面的逼近和表示是计算机辅助几何设计的两大基本理论问题.其中,曲线曲面的降阶逼近与导矢逼近、圆锥曲线的有理表示与球域曲面的边界表示由于直接关系到几何设计系统的功能、质量、精度及效率而成为当前的研究热点之一,然而它们迄今未在理论上有所突破.面对这种挑战,作者以应用数学为工具、以现代工业为背景开展深入研究,从根本上攻克了上述难题,建立起一系列方便高效的几何算法,取得了以下丰富的创新性理论成果:1.在曲面降阶逼近方面:发现了三角Jacobi基是统一地实现三角曲面显式、最佳、约束降多阶的一个锐利工具,并成功地把其应用到算法设计.借助于三角Bernstein基与三角Jocobi基的转换关系,将三角Jacobi基的正交代数性质引入到几何逼近之中,自然地诱导出三角Bézier曲面带角点约束和无角点约束的一次性降多阶的简单直观算法,使之具有以往各类曲面降多阶方法所不能同时拥有的四个特点——误差预测、显式表达、机时最少、精度最佳,即:第一,降阶前可迅速判断是否存在满足给定误差的降多阶曲面从而避免了无效降阶;第二,全部降多阶运算可被归结为对曲面的控制顶点按词典顺序排序所写成的列向量执行一个简单的矩阵乘法;第三,此矩阵无需临时计算而是从数据库中直接调用;第四,这张降多阶曲面在L_2范数意义下达到了最佳逼近效果.特别,对于带角点约束的曲面降阶,此算法可保持降阶曲面的边界曲线在角点处达到高阶连续;并且可以利用Foley-Opitz平均方案使降阶曲面片达到全局C~1的连续阶,与曲面细分技术结合应用,更能够适合计算机辅助几何设计(CAGD)系统的造型要求.2.在曲线降阶逼近方面:发明了广义逆与分块矩阵相结合的代数方法以及正交基运算与二次规划相结合的优化方法,实现了参数曲线或圆域曲线在高精度与高效率下的带端点约束降多阶.对于Said-Bézier型广义Ball曲线(简称SBGB曲线),推导出其升阶矩阵公式,并根据SBGB基的分段表达式,给出了该曲线端点处的各阶导矢公式及相应矩阵表示;在此基础上,应用广义逆矩阵与矩阵分块原理,得到了SBGB曲线在保端点任意阶连续性的条件下一次性降多阶的显式算法.对于圆域Bézier曲线,利用Jacobi多项式的正交性,给出在L_2范数下原圆域Bézier曲线的中心曲线的一次性最佳降多阶逼近,作为降阶圆域Bézier曲线的中心曲线;然后,利用Bernstein基与Legendre基的转换公式以及Legendre基的正交性,把降阶圆域Bézier曲线最佳逼近半径的算法,转化为带约束条件的一个二次规划问题的求解.以上两种方法都具有操作简单、精度高、速度快的特点.3.在三角曲面导矢逼近方面:发现了升阶公式与差分算子是三角参数曲面导矢逼近的两个犀利武器,并成功地进行了演绎推理.利用一系列恒等式变换及优化的缩写符号,结合缜密的不等式技巧,推导出有理三角Bézier曲面一、二阶偏导矢界的一种精密估计,并证明了新的导矢界在精确性与有效性上优于现有的导矢界,进一步提升且强化了几何设计系统的功能.4.在圆锥曲线的有理表示方面:创造了按照可降阶与可不适当参数化这两种代数分类条件去研究有理四次Bézier圆锥曲线几何特征的新思想与新方法.将有理四次Bézier圆锥曲线归结为两种特殊类型,即可降阶的以及可不适当参数化的.在此基础上.基于对线性凸组合的代数量及三角形面积的几何量的严密分析,得到了圆锥曲线有理四次Bézier表示的充要条件,使之可被分解成关于Bézier点和权因子这样两部分.利用此条件给出了两种新算法,其一为判断一条有理四次Bézier曲线是否为圆锥曲线,属于何种类型;其二为对于一条已知的圆锥曲线,给出其有理四次Bézier形式下的控制顶点位置和权因子值.这些结果不但丰富了几何计算的学科理论,而且扩充了几何造型与几何设计系统的有效应用范围.在这一研究的基础上,借助低次Bernstein基与同次Said-Ball基或DP-NTP基之间的转化关系,又分别推导出有理低次Said-Ball圆锥曲线和有理低次DP-NTP圆锥曲线表示的充要条件,并给出了相应的曲线造型新算法.5.在球域曲面的边界表示方面:创造了微分几何的包络原理与Legendre代数式的正交原理综合运用的新的分析方法.借助经典微分几何中双参数曲面族的包络原理,运用球面参数坐标和Cramer法则,首先给出了球域Bézier曲面边界的精确的显式表达式.再利用Legendre多项式的正交性,得到其精确边界用多项式形式表示的最佳平方逼近.进一步利用Legendre基与Bernstein基的转换公式,将这种曲面的近似边界用CAGD系统中最常用的Bézier形式表示,因而更适合应用到外形设计系统中.
石茂[4]2003年在《参数曲线、曲面降阶研究》文中研究说明参数曲线曲面降阶是计算机辅助几何设计与制造中的研究热点之一。它不仅具有重要的理论意义，而且也有着重要的实际应用价值。本文主要给出了以下几方面的结果。 首先对曲面造型研究的历史、现状和所存在的问题等作了概述。并在此基础上说明了用“几何设计与计算”这个概念来代替“计算机辅助几何设计”的意义，这是因为仅有“几何设计”的概念还不足以刻画“计算机辅助几何设计”这样一个既有严格数学基础又有重要应用背景的学科。“几何设计与计算”这个概念不仅拓宽了该领域研究的覆盖面，也为该学科赋予了新的生命力。在此概念下对Bézier曲线、曲面的降阶意义、方法等给出了简要的综述。 其次较系统的介绍和分析了现有Bézier曲线降阶的各种方法、并进行了简要的比较，说明了他们的实际应用。 第三应用Bézier曲线几何性质和Bézier曲线的升阶公式，基于遗传算法，给出了Bézier曲线的降阶的新算法。与已有算法相比，该算法计算简单、精度高、几何直观性强。 第四从最优化的思想出发，把有理Bézier曲线的降阶转化为求最优化问题，这样也使得权因子和控制顶点被分开考虑，以保证权因子的非负性；同时结合智能计算中的仿生学方法和程序设计方法，给出了有理Bézier曲线降阶的一种新方法。本方法与现有的有理Bézier曲线降阶的方法比较起来有如下的优点：首先计算简单，应用适应值函数和简单的循环执行复制、杂交、变异、选择等求出最优值；其次，本文实现了有理Bézier曲线的保端点降多阶最后，最后降阶后的有理Bézier曲线直接以显式给出 最后，介绍了Bézier曲面、三角Bézier曲面的降阶方法。
周金明[5]2007年在《非线性科学计算中若干问题的研究》文中研究表明本文主要对有理插值的存在性与参数曲线曲面造型的方法—三角多项式曲线曲面中的若干问题分别作了研究，其内容主要包括有理插值的存在性并分别研究了一元和多元两种情况、B-L曲线曲面及其应用、带参数的均匀B-L样条曲线曲面及其应用。本文首先分别回顾了有理插值存在性的主要研究历程与曲线曲面造型方法的分类以及各自的特点，阐述了CAGD中参数曲线曲面造型的发展历史并介绍了Bézier方法、B样条方法以及非多项式曲线曲面造型方法，后者包括L-样条、螺旋样条、张力样条以及C-曲线等。文章以朱晓临教授研究有理插值的存在性的方法，针对一类二元有理插值问题给出了判别方法。该方法优越性体现在其计算方便且简单，算法具有承袭性，利于在计算机上实现，并给出实例来说明该方法。以Bézier曲线和B样条曲线的特点为基础，在三角函数空间中构造一组具有上述两类曲线特性的三角函数多项式曲线，称其为拟五、六次B-L曲线和拟六次B-L样条曲线。它们有Bézier曲线和B样条曲线的特点，曲线表示简单、直观。此外由于B-L曲线还具有三角函数的优点，故既可以精确表示直线段、又可以精确表示圆弧、椭圆弧等二次曲线。由于B-L曲线仅由三角函数构成，所以较易转化为有理多项式曲线，从而可以融入到现有的几何造型系统中。对于低次B-L曲线曲面加以推广，并给出显式表达。最后研究了带参数的B-L样条曲线曲面。对于每一类曲线均将它们直接推广到张量积曲面。
李永青[6]2002年在《基于散乱点的B样条曲面重构理论和技术研究》文中指出本文结合反求工程CAD建模自身的特点和用户的实际需要，主要对B样条曲面造型三个方面的工作做了较为细致和深入的研究和探讨：B样条曲面光顺、B样条曲面局部设计和基于复杂边界约束的B样条曲面逼近。 曲面光顾是反求工程CAD建模中的一项重要且必不可少的工作。由于各种各种测量因素和造型手段的局限性，基于测量数据重构出来的B样条曲面模型的表面品质有时并不能满足用户的要求，因此经常需要通过光顺来改善重构曲面的品质。本文系统地研究、分析和比较三种不同光顺方法的优缺点和各自的适用范围，并且都在自主版权的反求工程CAD软件RE-SOFT中得到了实现。其中基于能量原理的光顺方法能够方便地控制目标曲面的精度和边界条件，从而能够实现曲面模型的全局连续性，但是能量法的运算速度还有待提高；刚度调整法实现简单，但是生成的曲面的可编辑性较差；小波分解方法计算速度很快，能够有效地实现数据压缩，但是其逼近误差和边界条件却难于控制。总之，这三种光顺方法的选择性配合使用，一般是能够满足用户对重构曲面表面品质的要求的。 B样条曲面的局部设计是完全根据反求工程CAD建模的实际需求而提出的一种局部区域曲面设计方案。基于散乱点重构出来的B样条曲面模型在经过一系列的后序编辑工作之后，相邻曲面在公共的边界处或角点区域处的连续性往往会被破坏。为了重新恢复分片曲面模型的全局连续性，在此提出了一种基于复杂裁剪边界约束的局部B样条曲面设计方案。在两张相邻的曲面之间，先在其公共边界处裁剪出一个带状区域，然后再采用曲面搭接的方式实现曲面之间的光滑过渡；而在邻接曲面的公共角点处，先在该角点附近区域裁剪出一个矩形拓扑域，然后运用插值或逼近的方法，设计出一张既满足于该区域的边界条件同时又插值或逼近内部采样点的B样条曲面。大量的实际例子和操作表明，这种基于复杂裁剪边界约束的局部B样条曲面设计方案既能保证曲面模型的表面品质，同时又能保持曲面模型的全局连续性。 基于复杂边界约束和内部散乱逼近的B样条曲面重构理论和技术的研究是本文的一个重点和创新之处。在散乱点数据经过矩形区域特征划分的基础上，提出了一种基于复杂边界约束的B样条曲面重构方案。文章对八种主要的边界约束类型做了深入的分析比较，并着重对最复杂的边界约束情况的数学模型建立、求解及误差分析展开了细致和详尽的讨论。实际的运行例子表明，基于这种方案创建出来的曲面模型不仅能够可调节性地逼近区域内部的散乱数据点，而且同时能够插值于要求的边界约束条件，从而保证整个曲面模型的全局G连续性。 以上所有的研究内容都是从反求工程CAD建模的实际工程背景出发，具有很强的工程应用价值。大量的应用实例表明，本文的研究理论和技术是成功的，结果也是令人满意的。
成敏[7]2008年在《外形设计中的几何逼近及图形转换技术研究》文中研究表明本文围绕计算机辅助几何设计领域中的两类占有重要地位的图形处理技术——几何逼近技术以及图形转换技术展开深入研究．鉴于计算机辅助几何设计中的几何逼近问题主要针对特定的对象，采用逼近的方法用简单易操作的曲线曲面来近似代替原对象，本文主要涉及等距逼近、PH逼近、降阶逼近、合并逼近以及有理曲线多项式逼近．鉴于计算机辅助几何设计中的图形转换主要针对图形之间的渐变转化或精确转化，本文主要涉及手绘图形从首帧变到末帧的形状调配转换以及曲线在不同调配基函数下的互变转换．在系统地论述这两项技术的内容、特点、定义、研究成果的基础上，本文就以下几方面给出了创新的研究成果：(Ⅰ)几何逼近(1)针对目前逼近等距曲线大多采用多项式形式从而导致逼近曲线次数过高的弊病，我们抓住曲线参数速度这个影响等距曲线精确有理化的关键要素，基于Jacobi最佳最小二乘逼近理论，给出了有理Bézier曲线参数速度的有理多项式逼近，从而进一步导出了有理Bézier曲线的等距曲线有理逼近的新算法．该方法保持法矢平移方向，且所得逼近曲线插值原等距曲线端点．(2)针对PH曲线具有等距曲线可有理表示及曲线参数速度为多项式函数等良好特性，然而现有设计方法没有利用曲线的几何参数，因而缺乏几何内在特性导致应用困难的现状，我们以外形设计中最常用的三次PH曲线为基本模型，提出并实现了基于几何参数的一整套PH曲线的插值与逼近算法，其中基本的几何参数包括控制多边形前后两个边向量的长度之比ρ及夹角θ，控制多边形首个边向量的长度L及其与首个控制顶点向量的夹角δ，以及曲线转向Dir．对于一条三次PH曲线的端点插值，推导了其Bézier表示的条件方程．进一步，对于一条非三次PH曲线的保端点逼近，分别给出了基于{δ，θ}，{ρ，θ}以及{ρ，δ}这三种几何参数的算法，导出了相应的逼近误差界．(3)针对NURBS曲面由于节点处理困惑表达形式复杂导致其降阶逼近研究明显缺乏的现状，我们基于NURBS曲面的显式矩阵表示，结合Chebyshev多项式逼近理论，提出一种NURBS曲面降阶新方法．分别对一小片NURBS曲面和整张NURBS曲面进行降多阶，并导出了误差界计算公式．对整张曲面降阶时先分别对各小片操作，再对各片降阶逼近曲面的控制顶点集中其下标相重的部分做加权平均得到最终的整张降阶逼近曲面．提出的算法可以一次降多阶，所得NURBS降阶逼近曲面具有显式表达式，实现了NURBS曲面降阶的最佳或近似最佳一致逼近．(4)针对多段曲线合并为工程急需但从未有人加以研究的现状，我们利用Bézier曲线离散后的矩阵表示，给出不同次数的若干段子曲线可精确合并的统一的矩阵表示．采用广义逆矩阵求解方法求出逼近合并曲线的控制顶点．在合并过程中，同时考虑了合并Bézier曲线在左右端点处与原Bézier曲线族插值或者达到高阶插值的合并．(5)针对有理曲线多项式逼近的精度与速度尚不尽如人意的现状，我们导出有理Bézier曲线多项式逼近的矛盾方程组，进一步基于广义逆矩阵理论，给出了矩阵表示的最小二乘解．结合对于由原有理曲线权因子为Bézier纵标生成的多项式升阶，实现在保持多项式逼近曲线次数不变的同时，有效地提高有理Bézier曲线的多项式曲线逼近的精度．(Ⅱ)图形转换(1)基于艺术图形应用价值高、然而传统手绘方法成本大的现实，我们提出一种新的关键帧动画方法来自动生成艺术手绘图形系列．引入圆域B样条曲线作为艺术手绘图形的轮廓线模型，并对首末两帧圆域B样条曲线的内在几何特征量进行调配．对于给定的艺术手绘图形的首末两帧，首先基于骨架线提取技术给出其骨架线，进一步生成其圆域B样条曲线表示，最后通过插值首末两帧圆域B样条曲线的内在量得到中间帧，从而快速有效地实现艺术手绘图形的形状调配．(2)基于B样条基具有标准全正性和局部支柱性，所构造的曲线兼具保形性及形状局部可调性的现实，同时也基于2003年Delgado和Pe(?)a提出的另一类用标准全正基(DP-NTP基)构造的新曲线虽具保形性及求值运算的线性时间复杂度，但没有形状局部可调性的现实，为了使它们实现优势互补，并在不同的造型系统之间进行数据的交换和传递，我们给出了均匀B样条曲线与DP-NTP曲线的相互转换，其结果可在CAD系统中，尤其在曲线曲面需要快速求值或形状局部可调的场合得到相当广泛的应用．
吴小刚[8]2012年在《几何造型技术中逆向柔性曲面重构技术研究》文中研究表明几何造型技术中逆向工程作为吸收先进技术、缩短产品创新设计与制造周期的重要技术已成为制造业关注的热点。曲面重构技术是逆向工程研究的核心问题之一,几何实体重构中重建曲面质量的好坏,直接决定了逆向工程系统的可操作性及其实用性。如何提高几何造型技术中曲面重构的质量是本论文研究的重点。本文对几何造型技术相关理论和方法进行了探索。分析了几何造型中曲面重构技术的理论基础,重点分析了NURBS曲线曲面、Bezier曲线曲面、B样条曲线曲面等基本理论；分析了曲线曲面重构的基本算法。定义了几何造型系统中曲线曲面的数据结构。本文针对三维扫描数据点的曲面重构技术在实际系统中采用通用曲而建模方法而产生的问题进行了分析,提出了一种基于逼近理论的柔性曲面构造方法,对通用曲面建模方法作了算法上的改进,该方法生成的曲面图形具有较好的显示效果。同时,针对曲线曲面拟合过程中,为提高曲面造型效果及运算速度,需控制拟合曲面的误差值和相关控制顶点数的大量增加。按通常的逼近方法,会使控制点数大量递增,然而通过本文所采用的柔性节点的选择控制,没有出现该现象。该方法减少了软件系统处理的数据量,并在实际系统应用中得到了验证。曲面蒙皮技术是通过截面线构造出平滑曲面,由于截面线节点矢量和控制点数可能存在差异,格式及其阶次的不确定性,使所得到的蒙皮曲面会有多种预料不到的形状。为了保持曲面形状的平滑和柔顺,在拟合曲面之前,经曲线兼容,取得格式的一致性,该过程需处理大量的数据,影响运算效率,曲面的蒙皮处理过程还可能出现一些几何形状的变异以及参数化问题等等。针对这些问题本文提出了一种改进的曲面蒙皮重构方法。该算法通过节点矢量柔性选择,使得蒙皮曲面的参数化过程不受每行截面数据不同分布的影响,有效地减少了控制顶点数。在曲线曲面软件造型系统中,通过调用OpenGL函数库,结合VC++编程语言,实现了本文提出的基于逆向几何造型技术柔性曲面逼近算法以及柔性曲面蒙皮算法,在造型系统中同时具备交互三维编辑功能,及曲线曲面、数据点的拾取功能,加上光顺处理功能,可以获得较好的图形效果,说明了上述算法的有效性。
周联[9]2010年在《曲线曲面造型中的三类几何逼近》文中提出在计算机辅助几何设计中,为了压缩信息或计算方便,常用形式相对简单的曲线曲面来近似地代替已知的曲线曲面,并且使得两者之间的几何误差尽量少.这种逼近与传统的函数逼近有所不同,其以几何图像为逼近对象,以几何位置误差为逼近误差,故称其为曲线曲面的几何逼近.它是几何设计的一项重要研究课题.本文对三类几何逼近问题做了系统的理论研究,即参数曲线曲面的降阶逼近和导矢界逼近,以及有理三角曲面的分片线性逼近.主要取得了以下创新性理论成果：1. Bezier曲线约束降阶逼近：给出了Bezier曲线分别在保端点参数连续和保几何连续两种约束条件下的最佳显式降多阶算法.在保端点参数连续约束条件下,应用分而治之的思想,将降阶曲面的待求控制顶点分为约束控制顶点和未约束控制顶点.先利用约束条件,求得约束控制顶点.然后利用单变量Jacobi多项式与Bernstein多项式之间的转换关系以及Jacobi多项式的正交性,将降阶问题转换到一个不等精度的最小二乘问题,进而求出未约束控制顶点.该算法具有逼近误差最小、降阶曲面控制顶点显式表示、保端点高阶插值、一次降多阶、误差预报、计算时间少等六个优点.特别地,以该算法所得到的逼近误差为目标函数,巧妙地得到了Bernstein多项式在保端点高阶几何连续约束条件下的最佳显式降阶逼近,并且进一步给出了Bezier曲线保端点G1连续的最佳显式降多阶算法,彻底解决了已有文献在保几何连续约束条件下,只能给出降阶曲线数值解的问题.本文算法简单直观,在CAD/CAM系统中的数据通讯、数据压缩、曲线求交求积等方面有着重要应用.2.张量积Bezier曲面约束降阶逼近：分别给出了在无约束、保角点高阶插值以及保边界高阶连续三种约束条件下的最佳显式一次降多阶算法.在无约束情形下,利用Jacobi多项式与Bernstein多项式之间的转换关系以及Jacobi多项式的正交性,给出了降阶曲面的矩阵表示以及先验误差.在保角点高阶插值约束条件下,利用降维的思想,将控制顶点重新排序成一维,再结合曲线降阶算法,给出了最佳显式降阶逼近.在保边界高阶连续的约束条件下,先根据边界约束条件确定降阶曲面的约束控制顶点,再通过最小二乘法,求得降阶曲面的矩阵表示,保证了连续拼接曲面片在降阶后仍保持原来的连续阶,适应CAD/CAM系统的造型要求.3.三角Bezier曲面约束降阶逼近：给出了连续拼接的三角Bezier曲面以及离散曲面在其子曲面片同时降阶后,达到整体C1连续的最佳显式降多阶算法.首先根据约束条件确定约束控制顶点,然后利用降维思想将其转换到曲线降阶问题,最后利用三角Jacobi多项式和三角Bernstein多项式之间的转换关系以及三角Jacobi多项式的正交性,分别求得子曲面片的最佳降阶逼近,并且给出了先验误差.该方法具有操作简单、精度高、速度快的特点.4.参数曲线曲面导矢界逼近：利用一类特定分式线性参数变换,对有理参数曲线曲面进行重新参数化.重新参数化后的曲线曲面保持控制顶点和定义域不变,而仅仅改变权因子及参数分布.利用重新参数化技术,给出了两种优化权因子方法,一是将最大权因子和最小权因子之间的比值最小化,二是将对数化后的权因子的方差最小化.在已有文献成果的基础上,导出有理曲线曲面更紧的导矢界,从而可以进一步优化几何设计系统的效果与效率.5.有理三角曲面的分片线性逼近：给出了定义域为任意三角形的C2连续有理三角曲面的分片线性逼近.并且利用重新参数化技术,在已有成果的基础上,进一步改进了有理三角Bezier曲面的分片线性逼近效果.这在参数曲面的求交、绘制等方面具有极高的应用价值.
郭凤华[10]2007年在《几何造型中参数化与拟合技术的研究》文中进行了进一步梳理几何造型研究三维几何信息如何在计算机内表示、分析和综合．几何造型是CAD／CAM内在的理论基础和关键技术，是随着航空、汽车等现代工业发展与计算机的出现而产生与发展起来的一门学科．几何造型作为信息技术的一个重要组成部分，将计算机高速、海量数据存储及处理和挖掘能力与人的综合分析及创造性思维能力结合起来，对加速产品开发、缩短设计制造周期、提高质量、降低成本、增强企业市场竞争能力与创新能力发挥着重要作用．不论是军事工业和民用工业，建筑行业和制造加工业，机械、电子、轻纺产品，还是文体、影视广告制作都离不开几何造型技术．曲线曲面造型是几何造型的核心之一．曲线曲面造型研究在计算机内如何描述曲线曲面，如何对它的形状进行交互式的显示与控制．传统的数学方法虽然提供了平面、圆柱面、圆锥面、球面等一类规则形状的曲面，但很难用以表达飞机、轮船、汽车等现实生活中千姿百态的自由曲线曲面形状．早期，在飞机和船舶的制造工厂里，传统的设计方法要求设计与制造人员必须具备丰富的设计经验，付出繁重的体力劳动，设计制造周期长，制造精度低，互换协调性差，不能适应现代工业的发展．曲线曲面造型就是应现代工业发展的要求而产生与发展起来的，又对现代工业的发展起着巨大推动作用．曲线曲面造型的核心问题是计算机表示，即要找到既适合计算机处理且有效地满足形状表示与几何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学方法．在曲线曲面造型中，参数曲线曲面以其构造简单直观、易于显示等特点而流行于世．这种曲线曲面表示方法脱离了对坐标系的依赖，给许多应用带来了极大的方便．与非参数表示相比，参数曲线曲面能较好的满足形状数学描述的要求．长期以来，参数曲线曲面一直是描述几何形状的主要工具，早在20世纪60年代初被美国波音公司的弗格森所采用，由Coons、Bézier等大师奠定其理论基础．Coons曲面、Bézier曲面、NURBS(Non-Uniform Rational B-Spline)曲面等不仅成为几何设计的主要工具，已被作为工业产品数据交换的STEP(Standard for The Exchange of Product Model Data)标准，也作为描述工业产品几何形状的唯一数学方法．参数曲线曲面造型按用户提供的初始信息不同可分为两类：一类是自由设计方法，它只要求设计者根据构思给出一些控制点和控制参数来定义曲线和曲面，然后在设计过程中允许改变这些控制点和参数来调整曲线和曲面的形状，直至它们符合设计要求为止．另一类是插值或逼近法(工程上统称为拟合法)，其特点是给定一组离散点，要求生成的曲线或曲面要么通过所有这些点(成为插值曲线或曲面)，要么以一定的精度贴近这些点(称为逼近曲线和曲面)．这两类方法生成的曲线曲面的形状都受参数化的影响．参数化既决定了所表示曲线曲面的形状，也决定了该曲线曲面上的点与其参数域内的点(即参数值)之间的一种对应关系．由此可见，参数化和插值与逼近技术是曲线曲面造型的基础问题，具有重要的理论价值和实际意义．围绕这两个问题，本文研究了参数曲线的最优多边形逼近、参数曲线的最优参数化和高密度的海量数据点拟合等一类关键问题．本文的主要研究工作如下：1．研究了参数曲线的最优多边形逼近对传统的逼近算法——参数逼近算法和几何逼近算法进行了讨论，找出了传统算法的不足，并在几何逼近算法的基础上提出了多边形逼近新算法．该算法采用贪心技术，从端点开始，逐步定位逼近点．除最后一段外，参数曲线与逼近线段的最大偏移量总是等于给定的逼近精度，而传统算法不能确保这一点，导致传统算法得到的逼近线段数目偏多．对于凸参数曲线，给定逼近精度，证明了该算法得到逼近线段的数目最少．如果以生成的逼近线段的数目越少则算法越优为标准，则该算法是最优的．算法包含求解一个非线性方程．对于Bézier曲线，提出了一种技术把算法涉及的非线性方程的次数降低两次，使得算法能够精确处理二次曲线．文中用三个实例来对比该算法与传统子分算法的效果，验证了在同一逼近公差下，该算法所需的逼近多边形的顶点最少．算法直观可行，具有一定的实用价值．该算法的不足之处在于，对于非凸参数曲线，不能保证得到最优解，不过得到逼近线段的数目与最优逼近的差额，不超过该曲线中拐点的数目，由于生产实践中，常用的参数曲线含有拐点的数目有限，该算法能够得到近似最优解．2．研究了参数曲线的最优参数化问题讨论了参数曲线的弧长参数化，分析了有理重新参数化对参数曲线产生的影响．研究了利用有理重新参数化的自由度，求解参数曲线最优逼近弧长参数化的问题．提出了一种新的度量曲线的参数速度与弧长参数化接近程度的方法，基于该方法求出了参数曲线的最优参数化．最优参数化的参数速度偏离单位速度的最大值达到最小．与国外著名学者Farouki的算法相比，该算法取得的最优参数化的参数速度偏离单位速度的最大值较小．本文用三个实例来对比该算法与Farouki算法的效果，实例表明该算法比Farouki的算法效果好．该算法的不足之处在于，由于有理重新参数化调整参数速度的能力有限，对于参数速度存在多次波动的曲线，最优参数化的参数速度不能保证处处逼近单位速度．3．研究了数据点的曲线重建问题．对曲线重建进行了讨论，研究了有序数据点的曲线重建问题．对样条插值曲线进行了分析，找出了样条插值曲线拟合高密度数据点的不足．基于二次样条函数，给出了一个拟合高密度的海量数据点的算法．对于给定的一组有序数据点，算法利用多边形逼近，将该组数据点分成一个个子集，在误差允许的范围内，每个子集内的数据点近似在一条直线上．由一段二次曲线拟合每个子集的数据点，全部数据点由在连接处C~1连续的分段二次样条曲线拟合．该算法保持了样条函数结构简单，易于计算的优点，并在保持逼近精度的前提下，大大减少了插值曲线的段数，提高了效率．文中给出实例来对比该算法与传统样条插值算法的效果，验证了该算法所需的插值曲线的段数远远少于传统算法．论文的主要创新点如下：1)提出了多边形逼近参数曲线的新算法．对于凸参数曲线，在同样的逼近精度下，该算法逼近得到逼近线段的数目最少，因而逼近满足最优条件；除了最后一条边以外，多边形的每一条边到被逼近曲线的最大距离都恰好等于给定的逼近误差，而传统算法不能确保这一点，导致传统算法得到的逼近线段较多；当被逼近曲线为Bezier曲线时，有一种技术来降低本算法的计算复杂度，使得对2次Bezier曲线的逼近有精确解．2)对于有理重新参数化，提出了一种度量曲线的参数速度与弧长参数化接近程度的方法．基于该方法求出了参数曲线的最优参数化．最优参数化的参数速度偏离单位速度的最大值达到最小．3)基于二次样条函数，给出了一个拟合海量数据点算法．算法保持了样条函数结构简单，易于计算的优点，并在保持逼近精度的前提下，大大减少了插值曲线的段数，提高了效率．本文的主要贡献在于为解决几何造型中的上述关键问题，提供了新的方法．所提出的参数曲线的最佳多边形逼近算法，大大提高了计算机数控的工作效率；所提出的最优逼近弧长参数化的方法，对于参数曲线的理论研究和生产实践都有较好的意义；所提出的有序数据点的曲线重建，减少了组合曲线的段数，获得了较好的效果．
参考文献：
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[7]. 外形设计中的几何逼近及图形转换技术研究[D]. 成敏. 浙江大学. 2008
[8]. 几何造型技术中逆向柔性曲面重构技术研究[D]. 吴小刚. 电子科技大学. 2012
[9]. 曲线曲面造型中的三类几何逼近[D]. 周联. 浙江大学. 2010
[10]. 几何造型中参数化与拟合技术的研究[D]. 郭凤华. 山东大学. 2007
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