Mandelbrot经济学25年（续），本文主要内容关键词为：经济学论文,Mandelbrot论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
二、混浊及经济学中的分形维数
Mandelbrot从未对经济学中确定的混沌动力学是否存在的问题感兴趣，这或许就是他早期离开这一领域的原因。
但是，混沌理论对大众文化上的吸引力及随着由这种吸引力在经济学中产生的影响使经济学家们首先将之与Benoit Mandelbrot的名字联系起来。我想这原因是相当明显的。虽然经济学家并没有清楚。紧迫地意识到稳定Levy分布对决定论与非决定论之间争论的影响，混沌动力学在物理学和生物学中的应用使人们意识到非决定论的第二阶段会很快出现。这对局外人也许不显然，但围绕经济学一个特有的争论是市场经济是否内在动态地不稳定，或相反，那种不稳定的时刻只是来自外部冲击（[7],Boldrin和Woodpad）。早期计量经济模型是基于对稳定的经济结构的一种优先信任的基础上，这一经济结构受外部Gauss噪声的制约，但这些模型在再现已观察到的经验经济时间序列的随机模型时有相当大的困难，正如我们以上所提到的那样。当简单地将经济的稳定性等同于非爆炸确定性差分方程的模型变得不可能时，事情发生了变化。虽然Mandelbrot起初的经验评论只有极小的影响，但是在经济学中对Mandelbrot评论的看法真正发生变化是物理学家，这些自然科学家在全社会法治过程中是在渴望享受更大程度的自由。
回顾起来，人们可以看出Mandelbrot如何从经济学转向分形几何学。他对Pareto分布的坚持自然地导致了对随机游动和鞅论的关注。而这使得他更加关注价格时间序列的几何性质，这些几何性质现在被刻画为分形。意识到Levy稳定边际分布在时间领域中对随机过程有新的结果，他进而考虑长期相关和分数布朗运动，例如他在Hurst过程和大范围统计中所做的工作。他对自相似性和递归结构的兴趣直接导致了符号动力学。然而，构造相空间中分形几何结构与保守和耗散动力系统中被忽略的因素之间更直接的联系的工作落到了其他人的肩上。但是对新古典主义经济的理论家来说，是动力系统中的变革不知不觉地吸引了他们并且使得他们开始关注分形学。
新古典正统观念的动机有一段很长及在近期复活的历史，对此我们在这里只能用间接的参考文献来验证。我们有充分根据地说，新古典价格理论的发明与19世纪古典统计力学有惊人的相似之处；而在过渡时期新古典价格理论在模仿Hamilton动力学时却难以取得类似的成功，人们将期待许多正统新古典理论家将会更关注解析动力学的发展而不是其它自然科学，的确，战后时期的情况正是如此。明显地，绝大多数经济学家，那些后来在经济学里的混沌现象研究中作出杰出贡献的。例如William Brock,Jose Scheinkman和Jess Benhabib，他们早期工作中都试图修改Hamilton动力学的和优化控制的模型以用于经济目的。然而，混沌动力学对经济学的影响完全不同于它对自然科学的影响。由于新古典经济学的奇特的困境——缺乏一致的动力学，过于依赖19世纪决定论立场，缺乏清晰经验支持，市场不稳定性的重压——混沌理论被认为是潜在的危险，将逐渐损害整个的正统理论学说的根基，从而到1995年止，经济学界的共识是没有任何证据表明在经济学中存在混沌现象。所以尽管是以较间接的方式，Mandelbrot在这个领域中遗留下来的理论遭到了否定。但是，尽管在对这个领域内人们花费了大量努力来否定Mandelbrot的理论，这是本文剩余部分的主题，我仍是认为这种否定几乎和否定稳定Levy分布一样没有理论根据。
对这些事件粗略的描述是这样的。在80年代中期，甚至在因Gleick的著名畅销书而引发的“混沌”热之前，象Richard Day和J.Granddmont这样一些人认识到通过演示帐形映射行为，他们可以改写一些经济学模型而令热衷于稳定均衡的人为难。不像Lorenz著名的气象模型，这些模型甚至不能达到充分满足许多“现实”经济学家的水平；他们的目的主要是说教的。他们意在证明看似随机的东西可以来源于简单的确定性结构，先前对稳定均衡的重视是概念上的错误。与自然科学绝然相反，混沌动力学在经济中从来不能解析地由标准的微观模型得到，因为那里有被广泛接受的动力学。确实，这本来无论如何是不可能的，因为新古典主义经济学对耗散系统没有完善的理论基础。所以一旦小型的模型失去它原有的创意，一小群正统的经济学家（包括Brock,Benhabib和Schienkrnan）决定转移该问题的主旨。他们问：计量经济学认为实验的经济时间序列是由混沌动力过程产生的将意味着什么？
这次运动的领袖人物是William Brook；他的决定性的转移是将他的注意力单一集中于Grasberger-Procaccia相关积分。当物理学家们倾向求助于大量技巧——与强制参数相关的周期双变换，Lyapunov指数，不同维数测度的比较，关于相空间的定性讨论等——来检测混沌的时候，Brock和经济学家们却更执着地追求用相关积分方法来估计Taken嵌入过程中的相关维数。值得注意的现象是如下突然大转变：这些人一夜之间从最纯粹的理论家转变为经验主义者，他们寻找没有任何先决限制条件的相空间中Poincare截面的一些未知结构。他们便用了比直接的经验主义更极端的方法——Brock创立了在经济学中应用相关积分(CI)却根本就不注意分形几何的典范。
这是如何实现的呢？Brock的创新在于他忽略通常的将CI解释为计量一个几何体的自相似性指数的估计的做法，而将它重新解释为与独立恒同分布随机变量中的特征函数的类似。在这种情形下，当嵌入维数增大时，m维向量的CI应该看起来象分量子串CI的m重直积。把这点与对遍历性假设的依赖性连起来考虑可断言当时间序列记录递增趋于∞时的光滑性，由此Brock构造了“BDS统计量”，该统计量认可经验时间序列“纯随机性”中的零假设下的传统Neyman-Pearson假设检验。虽然这在文献中通常看成是“混沌检验”，但值得注意的是Brock本人是如何不断地避免陷入到对自然科学中混沌意义的争议漩涡中去的。他只是提了对立的两种情况。“高维估计”和“低维过程”，他将前者等同于零假设的“随机性”，而后者，除了与最终产生运动的自由度数或有效动力模式参数一致外，是仍然不确定的（看[16],p.2）。本来在不考虑非具选择存在之下最好将BDS统计作为在平稳遍历情况下对结构无渐近性能的检验；但这也许会强化这样一件事实。即在BDS统计值一个很窄的随机性假设条件下，并且实际上很少或根本就与混沌无关。例如，自然科学家通常不太喜欢重视遍历论，要是如此，那是因为当一个过程“远离吸引子”或其他分岔形式转向混沌时他们认识到是瞬变值。这些在随后的经济学评论中完全消失的。
到80年代末，“混沌热”达到如此地步以致潜在的进入者太多而难以开展，学科先验的发展基本上使经济学家分为两个阵营：一边是一群未组织起来的人在致力于研究Grassberger-Procaccia图的各种组合，Lyapunov指数，各种经济时间系列相的描述；另一边，Brock/Schienkman/Benhabib小组和他们的学生系统地使用BDS统计和一些连带地与传统意义上的宏观时间序列有关的自然科学方法。虽然对这历史作出最终结论还为时尚早，但前者在他们时间序列中通常倾向于“发现”混沌，而后者即使不先天地就反对，也会对他们的“发现”产生怀疑。例如([7])他们声明美国每季度失业率、实际的GNP、国内私人总投资和工业生产指标等数据对“低维数确定性混沌”现象的证据是“弱”的。这篇已发表的报告是令人难以理解的，因为它甚至不愿费劲去报道所有真实的低维数Grassberger-Proccaccia估计和正的Lyapunov指数估计，而是花费很大的精力去给出了那些估计为何出现的非混沌的原因。类似地，Scheinkman和LeBaron报道了对股票价格收益的5～6种维数估计，但又发表了大量文章探讨对这一结果的其它解释。值得注意的是BDS检验在经济数据中很少接受纯随机性的零假设；但B/S/B小组在他们研究报告中喜欢的一句话是：他们在数据中已经发现“非线性结构”而不是“低维混沌”。没有其它科学在这点上有如此非凡的特色，仅属于这个经济群体。
事件的下一个转折是复杂的，有待史学家来判定，两个在这儿不能充分描述的附带发展走进了历史舞台：(1)一些著名的经济学家和物理学家在Santa Fe研究所能直接接触；(2)更多的正统计量经济学家被吸引到混沌中来，部分原因是他们意识到开始混沌理论会使他们已往的研究受到挑战。简言之，访问过Santa Fe研究所的经济学家，知道在物理学中一些混沌学的倡导者如Doyne Farmer在耕散动力系统中考虑混沌的热情大减，他们转向诸如计算复杂性，遗传算法和人工生命这些领域。这让B/S/B经济学家们更加坚信他们先前的信念即混沌在解释经济现象中不是本质的。另一方面，在Brock将相关积分变为BDS统计并把它看成统一的自然的转变后，计量经济学家跟了过来抱怨两个问题：其一纯随机（尽管也许线性的）时间系列模型的更替未引起充分的注意；其二，物理学家没有在很高水准上对维数估计进行探索，这一水准是计量经济学中Neyman-Pearson方法所要求的。换言之，在误解了物理学家探索混沌的方法后，计量经济学家开始告诉物理学家如何正确地做他们的工作。
攻击相关积分的主要计量经济学家是James Ramsey和Clive Granger。在这个问题上的论点有许多，但可以归纳如下：首先，Grassberge-Proccaccia不是一个合理的统计推断方法，但很象眼球方法。这里Ramsey和Yuan提出引进回归分析方法，让在计量经济学中已经发展的一系列并行技巧得以产生。其二，甚至在这种修正之后，在小样本中相关维数的估计有向下的偏差。第三，他们表明随着嵌入维数的增加，偏差也增大，估计的方差也增大。第四（虽然这一点从前已知），Lyapunov指数估计在外部噪声下是下降的，但对CI的噪声效果是巨大的。第五，他们表明自回归过程的结果总是给出低维估计。我们应该强调这一评论是基于这样一种假设即人们试图把CI作为一种统计推断工具，这观点由Brock推广但在物理学中不盛行。
大约从1990年开始，Brock和他的合作者不断地反对在经济学中发现混沌现象的可能性。在整个一系列的文章中他们反复强调用一个问题，原则上，他们先是争论说人们不应在经济学上找出混沌，然后又以一种更加委婉也更加留有余地的方式说混沌事实上是不能经验地被发现。他们认为其它经济学家的文章（通常是非新古典的）本质上是无足轻重的，只是相互引用。现在人们发现一些可敬的自然科学家也毫无批判地重复以上的说词（看参书[75]）。如果有人不失公正地评论这些观点的话，他们可以这样说：若有足够的自由提出各种辅助假说的话，他们将可以为所有正的Lyapunov指数或低维Grassberger-Procaccia图像中的发现找到理由。
我毫不怀疑鼓吹正的Lyapunov指数或Grassberger-Proccacia斜率为2、3是发现混沌的证据的观点有严重问题；但是B/S/B小组如此错误地表述了这个问题以致他们把混沌赶出经济学这一行为对经济学造成了一个真正的伤害。让我们从他们的一篇文章的陈述中弄清这些问题([7],p.396)。
在物理学和化学中，“数据或是吸引子或仅仅是噪声”的简单二分法被认为是合适的，但在经济学中不这样。延续和维持这些假设，必须包括两种情形；来自ARIMA模型数据或非线性随机过程……
另一来自参考书[16],p.182：
当与经济学家交谈时，特别在美国，我们发现证明的重任落在那些正试图在经济时间序列中建立低维数确定性混沌的证据的科学家上……另一方面，当与自然科学家交谈时……，我们发现证明的重任落在那些证明细查下的时间系列不是低维数确定性混沌的科学家肩上。
自然科学家对待这个问题与经济学家截然不同的原因是什么呢？对这个问题，我们可提出如下一些看法。首先，最重要的是物理学家从怀疑吸引子的存在开始，利用他们先前的知识了解更多关于吸引子的特性。物理学家已有许多关于有关的相空间组成的思想，因为他们一致赞同动力学理论。借助这种已有的知识，他们能够判断他们是否处于或耗散的情形，即对相空间的目标有更多的限制的情形。他们有关于一个系统是否在吸引子上还是离开吸引子上以及他们面对的自由度先验的想法。这点说明了为何许多计量经济学家责难物理学家的统计实践是不明智的。
其次，Brock和其小组从一开始就不承认新古典正统学说在中和经济的混沌描述中获得利益。在物理学家中无同样的偏见。这样，当一个评论家表明“当阻止混沌动力学的出现”([14],p.258)；或另一些人断然认为“这些发展在经济运行中不会带来变化”([78],p.46)；那么我们所面对的就不是理智的断言而是偏见。一个同样可接受的假设是依赖完美的预测或理性的预期的正统新古典理论是危险的。标准理性预期者认为，“如果在股票收益中有可预期的结构的话，经商者也很难发现它”。这一条很容易遭到经济学家反对([16],p.26)。确实，由通常的“无免费午餐”定理，我们能知道：那些在股票收益或其它经济序列里发现了这种结构的人会避免将这种发现公开而卖给私人部门，而那些深信没有那种结构的人将仍停留在学术里，大声抗议说根本就没有那种结构。即使我们的的确确发现了这种结构，从经济学原理角度来说这种讨论是无益的。
第三，Neyman-Pearson假设检验的介入对这一研究来说是一场灾难。Neyman-Pearson对归纳法学习来说不是一个合理的结构，尤其因为人们通常可用仅仅改变零假设和其它假设的方式改变检验的结果。因而，BDS统计中这种选择假设上的无效性是B/S/B小组反对在经济时间序列中会出现混沌的主要证据。当有两个清晰、定义完善和无可争议的备择假设时，Neyman-Pearson才可真正实用。物理学家并不关心检验的大小和能力，部分因为他们有可更改的实验规则，也因为他们明白在一个调查模型中有许多检验数据有效方法。
直接导致B/S/B/小组悲哀现象，是可获取数据的条件是物理学家和经济学家之间的主要不同。他们断言对给定的经济变量绝不会有充分的数据经验混沌，因为首先就得把那些很高频和长时间的抽样剔除掉。他们认为：股票价格的高频样本应时时刻刻剔除，因为市场微观结构效用如买卖反弹，日／周末效用等等。当探索混沌动力学时是不可接受的现象。另一方面，他们避开了存在数个世纪的时间序列，因为那时他们相信有太多变化而不能证明它们依赖平稳状态。我相信这是将可能的混沌证据简单地解释过去的最清楚不过的例子了。在迄今为止的整个计量经济学历史中，没有人曾经提出过“不可能法案”的数据来反对任何经验发现，尽管在战后的计量经济学的几乎每个领域内都可找出这样的“反例”。进一步，很清楚这种反对在经济学中未被认真考虑，因为当“不可能结果”在物理学中出现时——即当位置或动量项“大小”时某些特征不可出现——他们以量子力学的形式很快地修改了物理理论。
混沌在经济时间系列中未被“发现”这一断言最引人注目的方面是从中得出的一个观点，即认为ARCH和GARCH模型对所有实际目标而言具有。“足够好”的特征（见参考文献[38]以及[16],p.107）。在本文的前面我们已遇到了这类模型，在那时我们知道他们的理论证明和适合程度都有待改进。这时需要补充的是BDS检验几乎总是把ⅡD的噪声残余从GARCH模型中抛弃（参考文献[16],p.96）。这样，为了叙述方便，我们绕了整圈。用于在稳定Levy分布中反驳Mandelbrot的不良经济模型同样也被用于反驳在混沌理论中Mandelbrot的合理性。
总之，新古典经济正统学说，曾经受到两种诱惑而进入科学中的非决定论的第二阶段，然后又糊里糊涂地离开了，总是不断地说没发生什么大变化。在那些失望的前夕，他们轻率地断言“典型的经济学家有一种很强的先见，即一般经济现象特别是价格序列应当被模型化成随机过程而不是确定的过程”([38],p.746)。正如我们所记载的，是Bonoit Mandelbrot而不是那些典型的经济学家，认为诸如长期相关、方差串，时间路径的分形外貌等问题应完全从随机的观点来处理。
“确定模型相对随机模型”的问题是虚设的，是经济界维持个体约束优化的正统新古典理论的人为设问。实际上，Mandelbrot的观点一直是认为世界看起来从未象完全决定论和在科学上支持的非决定论的不完全的第一阶段的白噪声那样绝对对立。大多数现象介于两者之间，从而它们或者被更复杂的随机过程所刻画或者被混沌动力学所刻画。如果这些现象对天气和经济都是真实的话，那么，真正的问题是：模型化这些现象最实际的方法是什么？在经济学里，Mandelbrot的现象学方法将给出一种可能性。