从“经验”到“科学”--数学教学的正确转向_数学论文

从“经验”走向“科学”——数学教学的应有转向，本文主要内容关键词为：数学教学论文,走向论文,经验论文,科学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      当下，人们对有效学习的观念已经发生了根本性的变化，教学研究的重点已从“如何教”转向“如何学”.然而，对于“儿童”与“学习”的关注，不少一线教师更多的是凭经验.在他们的头脑中，这个“儿童”往往是抽象的、模糊的，存在于“假想”之中，因此，他们常常从成人的角度来估计和安排学生的学习.事实上，学习是科学.在“人是如何学习的”这个问题上，自古至今，人们在认知心理学、发展心理学、脑科学等领域进行了长期、广泛和深入的研究，取得了丰富的成果.近二十年来，美国国家研究院（NRC）对学习科学的研究表明，学习的过程分为“理解→联结→激活”三个环节.由此，教学的过程是否适合于学生学习的过程，成为衡量教学有效性的重要因素；从“经验”走向“科学”，已然成为教学的一种走向.

      一、理解：需要“过程性建构”

      在工业化思维的影响下，传统的教学往往通过压缩学习的过程以求学生获得更多的结果性知识.这种“压缩式教学”带来的是知识的“通胀”，即学生虽然“拥有”了很多的知识，但缺乏“消费”知识的能力.学生只是外在地“占有”了知识，而非真正理解和内化了知识.

      任何有意义的学习都基于理解之上.这种“意义”来自于学习的过程，并在过程中理解、生成和建构.教学是一种过程性的存在.从学生的数学学习和数学素养的发展看，它并非单纯地通过接受数学事实来体现，而更多地需要在数学活动的过程中来实现.

      （一）读“本”：分析知识形成的过程

      教材作为一种平面媒体，呈现的往往是静态的、结果的知识.读“本”，就是要读懂教材，分析所教知识“从哪里来”“到哪里去”.只有理清知识的来龙去脉，我们才能准确把握知识“在哪里发生”.

      例如，苏教版数学三年级上册《长方形、正方形的周长》一课，教材呈现了四种方法，旨在帮助学生理解第四种算法的意义——在三年级下册学习混合运算后，需要掌握“长方形周长=（长+宽）×2”的计算公式.然而，教学中我们经常会遇到这样的尴尬：尽管教师反复暗示，学生还是不喜欢用这第四种方法.因为从思维难度上来说，求长方形的周长，把四条边相加求和的方法最易理解.

      造成这种现象的原因是什么？笔者以为，是教师没有把“本”读透，没有分析清楚“结果性”知识背后的过程.从知识形成的角度看，这四种方法并非并列的关系，而是前后发展的关系.其中，前面两种算法来自周长的原始意义，即把围成长方形的四条边的长度相加，所有的四边形周长都可以用这种方法来计算；后面的两种方法是周长原始算法的发展.当一般四边形发展到特殊四边形——长方形时，因为长方形具有对边相等的特征，所以才有了特殊的算法.同样，当长方形发展到正方形时，又因为正方形具有四条边长度都相等的特征，从而产生了“边长×4”的特殊算法.这就是长方形和正方形周长算法的形成和发展过程.

      （二）研“教”：呈现知识展开的过程

      如何把“本体”的知识转化为“教学”的知识，需要将知识的形成过程展现于学生面前，这就是“教”.因此，“教”是搭建知识走入儿童、儿童走进知识的一座桥梁.“教”应该在知识的学科性和学习的科学性之间串联融通，促进学生对知识的理解.

      例如，上述《长方形、正方形的周长》一课的教学，需要把算法形成的过程（如图1）展现在学生面前，引导学生真切体验.在学生解答一般四边形的周长计算，尝试用不同方法计算长方形周长，展示交流后，应引导学生观察：“长方形周长的计算，除了用一般四边形四条边相加的方法外，为什么会产生其他方法？”进而讨论理解：长方形周长的计算，除了可以用一般四边形求周长的方法外还有它特有的算法，这种特殊算法来自它对边相等的特殊性.同样，正方形周长的计算除了一般四边形、长方形周长计算的方法外，基于四边都相等的特殊性，所以还有它独有的方法：边长×4.在此基础上，进一步引导学生观察图1并发现：图形越特殊，计算方法就越多，而且方法越来越趋向于简便.学生真正理解了知识发展的过程，自然就会选择属于长方形或正方形独有的计算周长的简便方法.

      

      （三）导“学”：卷入知识探究的过程

      所有对“本”的解读和对“教”的设计都必须转化为学生“学”的过程，才能促进学生对知识的理解.而这个过程，需要学生完整地卷入，经历“从头到尾”的知识探究过程，而不是传统的“掐头去尾烧中段”式的所谓学习.

      例如，苏教版小学数学三年级下册《长方形、正方形的面积》一课，我是这样组织学生探究的：

      1.摆一摆.

      用1平方厘米的小正方形在图2中的长方形上摆一摆（保留摆的痕迹），在表格中填写数据.

      

      2.想一想.

      如图3，每个小正方形的面积是1平方厘米，大长方形的面积是多少平方厘米？你是怎么知道的？这个长方形的长、宽和面积各是多少？

      

      3.估一估.

      如图4，如果不摆，你能估计这些长方形的面积吗？你是怎么估计的？

      

      4.说一说.

      （1）如图5，你能直接知道这个图形的面积吗？你是怎么知道的？

      

      （2）小明摆了一个长5厘米，宽3厘米的长方形，他是怎么摆的？面积是多少平方厘米？

      （3）小芳摆了一个边长是3厘米的正方形，她是怎么摆的？面积是多少平方厘米？

      这里，从“摆一摆”到“说一说”，学生经历了“具象→表象→抽象”的探究过程.其中，“摆一摆”的过程，引导学生体会“每行摆几个，摆了几个，一共摆几个”，通过观察表格数据，初步体会长方形面积与长、宽的关系，积累数学活动经验；“想一想”“估一估”的过程，引导学生借助方格的支撑，进一步理解沿着长“每行摆几个”，沿着宽“可以摆几行”，“一共摆几个”就是长方形的面积；“说一说”的过程，引导学生逐步脱离方格、图形的支持，借助表象思考“是怎么摆的”，强化“每行摆几个，摆几行，一共摆几个”的活动经验，为抽象长方形的面积公式打好基础.

      对于学生来说，积累观察比较、归纳概括等数学活动的经验往往比获得结果性的知识更为重要.在实验操作、估计想象的基础上，引导学生观察长方形面积和长、宽的关系，在从“特殊”到“一般”的过程中抽象出长方形面积的计算公式——如果缺少这一系列的操作、比较、分析和概括的活动过程，学生运用公式计算面积只能算是一种记忆和模仿，而不是深度的理解应用.

      （四）提“能”：经历问题解决的过程

      数学有“三用”.“小用”，即解题、考试；“中用”，即应用到生活实践中解决实际问题；“大用”，即获得数学素养的发展.因此，“过程”的作用还应体现在超越于知识之上的能力的发展.通过知识的学习，经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程，这样学生所获得的不仅仅是知识，还有数学能力的发展、数学素养的提升.

      例如，在《长方形、正方形的面积》一课的教学中，在学生经历知识的探究过程后，应组织、引导学生反思“我们是怎样得到长方形面积公式的”，从而回顾、体会“实验—猜想—验证—应用”的问题解决过程，这一认知的过程，不仅能够促进学生对知识的深度理解，而且能进一步深化学生对问题解决过程的体验——这是一种重要的经验和能力，对其今后解决现实问题和从事科学研究等活动将会持续有用.

      二、联结：需要“大观点组织”

      学习科学研究表明，专家的知识不仅仅是对相关领域的事实和公式的罗列，而且它是围绕核心概念或“大观点”（big ideas）组织的，这些知识支持他们进行计划和思维，这个“大观点”，即各学科的基本概念和核心知识，以“大观点”联结的知识才是结构的知识，也是容易迁移和生长的知识.

      （一）由前及后，纵向联结

      华罗庚说，要善于“退”，足够地“退”，退到最原始而不失重要的地方，退到容易看清问题的地方.这不仅是数学研究的方法，也是数学教学的方法.这个“退”，一是退到知识发生的地方、生长的地方，发现新旧知识之间的联系；二是退到学生的已有知识经验，实现新旧经验的联结.

      例如，苏教版小学数学四年级上册《角的度量》一课中，关于“认识量角器”的教学，不少教师往往让学生拿出现成的量角器，组织学生观察、比较这些量角器有什么相同的地方，再认识量角器各部分的名称，教学量角的方法.这样的教学，尽管形式上组织了交流讨论，但实质上却还是让学生接受“现成的数学”.事实上，教材上或者学生手头的量角器，是经过了长期实践和改进的最优化的测量工具，是一种“结果化”了的知识.如果直接教学生用现成的量角器去量角，学生也能掌握方法并正确应用，但这样的教学，更多的是测量方法的接受，不利于学生数学能力的发展和数学素养的提高.因此，教学时应力求还原量角器的本来面目，引导学生经历量角器形成的过程：联系“角的大小与角的两条边叉开的程度有关”的知识，利用“活动角”的动态演示，推测出测量角的工具应该是弧形的，这样就形成了量角器的雏形.然后，引导学生理解“1度”的概念，沟通“尺”和“秤”中对刻度的处理（1度为1小小格，5度为1小格，10度为2小格即1大格），通过课件的演示，缩短每度的刻度线，最终形成完整的“量角器”.这样的教学，从数学知识的本源出发，学生真正经历了数学知识的形成过程，不仅深化了对数学知识的理解，而且沟通了测量长度、质量和角的度量工具之间的关系，促进了对度量知识的结构化认知.这些结构化的经验，将对学生后续的学习起到积极的作用.

      （二）由此及彼，横向联结

      数学知识由“点”及“链”，由“链”及“网”，相关“知识链”的联结形成“知识网”，这样，原本独立的知识点不再孤立，获得的知识会更加牢固.数学教学，就是要培养学生由“点”及“网”的“织网”能力，从而可以“网罗”更多的知识，让学生真正学会自己去“捕鱼”.

      例如，苏教版小学数学五年级下册《分数的意义》一课，在概括分数的意义后，出示如图6所示的一组题，组织交流，引导学生思考：整数、分数和小数的组成有什么共同点？学生能够发现：整数、分数、小数都是由计数单位累积而成的，都有各自的计数单位.整数是由整数的计数单位（一、十、百、千……）数出来的，分数是由分数的计数单位

数出来的，小数是由小数的计数单位（0.1、0.01、0.001……）数出来的.进而，师生归纳概括：整数、分数、小数都可以用各自的计数单位数出来，所以华罗庚说“数源于数（shǔ）”，这是构成“数”结构的“大观点”.

      

      （三）由表及里，内部联结

      作为课程内容的数学，包括隐性知识和显性知识.我们可以借用“冰山”模型来解释两者之间的关系：浮在冰面上的就是显性“双基”，即基本知识和基本技能；潜于冰面下的就是隐性“双基”，即基本活动经验和基本数学思想.在整个结构中，显性“双基”占10%，隐性“双基”占90%.而不少教师常常用90%的精力去做10%的事情.事实上，10%的显性知识依靠90%的隐性知识而存在，缺乏90%的隐性“双基”的积累，10%的显性“双基”也将不复存在.因此，数学教学要由表及里，通过知识这个载体，让学生体会和感悟显性知识背后的东西，即培养学生的数学意识、数学思维，发展学生的数学素养.

      例如，苏教版小学数学六年级上册《解决问题的策略——假设》一课，例题是：“小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满.小杯的容量是大杯的

.小杯和大杯的容量各是多少毫升？”如果从掌握方法的角度来教学，只需要让学生掌握“怎样替换”：把大杯换成小杯，或者把小杯换成大杯，再利用数量间的关系算出答案即可；如果从体验策略的角度来教学，则要让学生理解“为什么要替换”：通过同类多个问题的解决，让学生体会到“这一类问题有什么特点”“我是怎样解决这一类问题的”，即当问题情境中出现了两种未知量，就需要采用一定的策略把两种量替换成同一种量；如果要达到感悟思想的层次，那么需要让学生体会替换的本质意义，即假设的数学思想：把不同类量假设为同类量，假设前后数量间是“守恒”的，而替换只是实现这种假设的一种途径、一种方法而已，我们学过的很多数学知识都体现了“假设”的数学思想.

      三、激活：需要“条件化生成”

      学习科学研究认为，当遇到一个问题情境时，如果主体能主动激活和提取头脑中的相关知识经验，就能顺利解决问题.而现实问题是，尽管人们获得了知识，但是却不能在特定的环境中有效地激活所学的知识.进一步研究认为，“条件化”的知识最容易被激活和提取.用认知科学家的话来说，专家的知识是“条件化”的——它包括对有用情境的具体要求.“非条件化”的知识常常指“惰性”知识，尽管关联，但未被激活.

      （一）基于情境的生成

      “条件化”的知识就是情境的、弹性的.情境在教学中的作用，应该更多地体现“境”的功能而非仅仅是“情”的功能.“境”即场景，知识发生的环境.注重“境”的功能，就是要让学生知道知识“从哪里来”“在何处发生”“用在何处”，这就是“条件化”的知识.

      在“解决问题的策略”板块的教学中，我们常常会发现，新学一种策略时学生都会用，而在综合应用策略时学生往往无所适从，不知道应该选择何种策略来解决相应的问题.问题的根源就在于，学生在学习策略时对策略生成和应用的场景没有深刻的体验.因此，策略的教学要注重从现实问题出发，通过一类问题的解决，体会到这类问题的共同特征.

      例如，“画图”的策略，要让学生体会到在解决一些图形或与图形相关的问题，不能一下子就清楚地理解数量关系时，利用画图可以让题目意思和数量关系更清晰；“枚举”的策略，产生于当解决一个问题有多种可能，用列式计算比较困难时，就需要把各种可能有序地一一罗列出来；“转化”的策略，则适用于把复杂的问题、新问题转化为简单问题、已经认识的问题，等等.学生只有深刻体验到策略应用的场景，这样的知识才是“条件化”的，才能根据问题的实际需要，选择合适的策略来解决.

      （二）联系旧知的生成

      数学知识不仅从现实生活中来，还可以在原有知识的基础上生长出来，这样获得的知识也是“条件化”的.因此，研究新旧知识之间的联系，找到新知的生长点展开教学，不仅有利于学生理解和掌握新知，而且有助于学生体会到新知生成的条件，促进知识的激活.

      例如，苏教版小学数学三年级下册“两位数乘两位数的竖式计算”是小学计算教学的难点.由于两位数乘两位数的竖式比较复杂，在实际计算时会受到相关信息的干扰，乘的步骤和积的定位往往会出现不少问题.事实上，竖式计算不是新事物，它不过是口算过程的一种表征形式，也就是说，竖式计算是在口算这个旧知上“长”出来的.引导学生建构起竖式计算与现实问题解决和口算方法经验的联系，就能有效突破这个难点.

      因此教学时，我把重点定位在“怎样用一个竖式表示口算过程（算理）”上，引导学生讨论口算方法：先算10个28，即28×10=280；再算2个28，即28×2=56；最后把两个积相加280+56=336.之后，启发学生思考：能不能把刚才的三步口算的过程用一个竖式表示出来呢？学生在合作交流中不断质疑、修正，在探索中生成了多样的表示方式（如图7）.在此基础上，引导学生讨论、完善：竖式1表示出三步计算的过程了吗？竖式2先算的“8×12”，再算的“20×12”表示什么意思呢？组织学生结合具体情境理解：应该要表示出“先算10个28，再算2个28，最后把两个积相加”的过程.竖式3的第二步算的是“28×10”还是“28×1”呢？从而引导学生关注积的对位问题；竖式4中的“0”是否可以省略？

      （三）指向内在的生成

      研究表明，越是概括程度高的知识，越是容易被激活.小学数学中，很多知识都是通过“特殊→一般”归纳而来的，这样就剥离了知识的非本质特征，留下了能够反映知识的本质属性，这样的知识往往具有更广的普适性和更大的包容性，碰到类似问题时就容易被激活.

      例如，苏教版小学数学四年级下册《乘法分配律》的教学，应引导学生经历以下生成过程：从现实问题出发，通过同一问题的两种解法抽象出一道左右相等的算式，观察比较左、右两边算式的内在联系，从计算结果和算式的本质意义去解释相等的原因.通过举例计算、分析比较，发现这些算式的内在共性：每组两个算式中的三个数相同，计算结果也相同；两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再相加.结合学生列举的符合要求的众多算式，引导学生思考：能否用一个算式来表示出所有符合要求的算式？如此，学生经历了“特殊→一般”的归纳过程，获得了最概括化的知识，自主建构了（a+b）×c=a×c+b×c的数学模型.学生具备了这种概括性的知识，在面对这一类问题时，这些知识就容易被激活和提取，从而顺利解决问题.

      

      总之，把握儿童学习的基本规律，吸收和借鉴学习科学的研究成果，走出“经验教学”的误区，应该成为小学数学教学的新常态.

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