基于APOS理论的“黄金分割”教学设计，本文主要内容关键词为：黄金分割论文,教学设计论文,理论论文,APOS论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
APOS理论是由美国数学教育学家Dubinsky于20世纪80年代提出的一种关于数学概念学习的新理论，包含活动(Action)、程序(Process)、对象(Object)和图式(Schema)4个阶段。Dubinsky强调：活动、程序、对象也可以看作是数学知识的三种形态，而图式就是由这三种知识构成的一种认知结构。虽然在理论上具有一种层级关系，也就是说，前一成分的建构是后一成分的基础，但实际上，个体对某个数学概念的理解并非一定遵循这样的线性途径。黄金分割是一种特殊的比例线段，具有非常深厚的文化历史价值。但是面对如此多的资源，很多教师却非常苦恼没有办法对这些材料进行有序的组织。鉴于APOS理论对于数学概念教学的针对性特点，笔者做了一个基于APOS理论的黄金分割的教学设计。
一、活动阶段
创设情境，引入课题：
用多媒体展示我国国旗的图片，它是由5个五角星所构成的。
教师：另外还有很多国家的国旗设计都包含五角星，同学们能否举出几个例子呢？
学生：美国，朝鲜，越南…
教师：很好。国旗是一个国家的象征，非常的神圣。五角星受到如此青睐，说明它一定是具有特殊意义的图形。有哪个同学可以来描述一下你对五角星的认识呢？
学生：五角星共五个角，每个角都相等，且和为180度。
教师：很好。那么它的边有什么特征呢？
学生：它有五条长度相等的边，且每一条边都与另外两条边相交而被分为三部分，由对称知两边的线段长度相等。
教师：非常好。一个图形之所以特殊，与它的边和角有着非常大的关系，今天我们就一起来研究一下五角星的边究竟存在什么特殊的性质。由于五角星是一个中心对称图形，所以我们只要研究清楚一条边的性质就可以了。请同学们拿出课前搜集到的五角星图片，如图1所示，作出辅助线并标上字母。
图1
若记AB=a，AC′=b，
Q1：BC=______，AC=______，
学生：BC=b，AC=a-b；
Q2：由图知在数量关系上有b＜a-b＜a，接下来请同学们用直尺测量出a，b的长度，a=______，b=______，a-b=______；
Q3：根据测量值，完成下列表格：
Q4：对自己的计算结果你有何发现？
学生：这两个计算结果相似；
学生：这两个计算结果相等。
Q5：与周围同学讨论后，你会作何猜想？
二、程序阶段
当活动经过多次重复且被个体所熟悉后，就可以内化为一种被称之为“程序”的心理操作。有了这个程序，个体就可以想象这个活动，而不需要通过外部的刺激。他可以在头脑中实施这个操作，而不需要具体操作，进而还可以对这个程序进行变换或与其他程序进行组合。
引导学生，得出定义：
教师：
是线段AB被点C所分而得到的，AB是整条线段，AC是较长线段，BC是较短线段，如下页图2所示。这个特殊的比例就是我们今天所要学习的黄金分割比，那什么是黄金分割呢？
图2
学生：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么我们称线段AB被点C黄金分割。
教师：很好。这个时候点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB之比为黄金比，约为0.618。由于AB为整条线段，AC为较长线段，BC为较短线段，同学们能否不用字母来对黄金分割下一个定义呢？
学生：一条线段被一点分成较长线段和较短线段两条线段，如果较长线段与整条线段的比等于较短线段与较长线段的比，那么我们称这条线段被该点黄金分割。
教师：非常棒。由于五角星是一个对称图形，其他另外四条边也都具备同样的性质，因此它看起来给人以公平、公正、权威的印象。最早在五角星中发现黄金分割比的是毕达哥拉斯学派，他们甚至把五角星视为本学派的标志。接下来给同学们介绍一些相关的文化历史，希望可以对同学们理解黄金分割提供帮助。
三、对象阶段
当个体能够把程序当作一个整体进行操作时，这个程序就变成一种心理的“对象”。
巩固概念，加深认识：
1.文化历史的介绍
公元前6世纪，毕达哥拉斯学派就是在五角星中发现了这一完美比例，为此一位杰出的学者希伯斯还献出了自己宝贵的生命。相传毕达哥拉斯学派的一个成员流落异乡，贫困交迫，无力酬谢房主的殷勤照顾，临终时要求房主在门前画一个五角星。若干年后，有同派的人看到这个标志，询问事情的经过，厚报房主而去。五角星被认为是毕达哥拉斯学派兄弟关系的标志，后来它又演变成人和神的标志。
后来古希腊哲学家柏拉图将其命名为“黄金分割”，是为了说明这个比例的珍贵，就像黄金一样。最先论证“黄金比”的是古希腊数学家欧几里得，他在《几何原本》中用平面几何的方法证明：分割一已知线段，使整段与其中的一分段所形成的矩形的面积等于另一分段上的正方形的面积。
正是由于五角星的这些现实特殊性，以及它被赋予的神秘色彩，人们对它格外的偏爱，这也间接回答了为什么很多国家的国旗设计对它青睐有加的原因。
2.相关图片欣赏
(1)帕特农神庙，如图3所示：帕特农神庙的设计代表了全希腊建筑艺术的最高水平。它采取八柱的多立克式，东西两面是8根柱子，南北两侧则是17根，东西宽31米，南北长70米。东西两立面（全庙的门面）山墙顶部距离地面19米，也就是说，其立面高与宽的比例为19比31，接近希腊人喜爱的“黄金分割比”，难怪它让人觉得优美无比。
(2)达·芬奇名画“蒙娜丽莎”，如图4所示：从脸部比例，脸宽与脸长的比值约为0.618；还有人身占的画布比例，头与半身的比例，左右背景的比例，都是非常完美的做到了黄金分割。
黄金分割不是仅在建筑设计和绘画艺术中有体现，在我们的日常生活中，黄金分割几乎渗透到了各个方面，比如手机、电脑、电视的外观设计都尽量符合或接近黄金分割比；还有我们喜欢的芭蕾舞，演员立起脚尖是为了使上身与下身的比接近黄金分割比，以求达到最美的视觉享受等等。
四、图式阶段
一个数学概念的图式是指由相应的活动、程序、对象以及与某些一般原理相联系的其他图式所形成的一种个体头脑中的认知框架，它可以用来解决与这个概念相关的问题。
知识应用归纳总结：
1.知识的应用
例1当环境温度为多少度时，人的感觉最舒适？（人体正常体温是36℃～37℃）
例2 若老师的身高为160cm，下身长为96cm，那么老师该穿多高的高跟鞋才是最漂亮的呢？
例3 已知线段AB，按下列要求作图：
a.经过点B作BD⊥AB，使
；
b.连接AD，在DA上截取DE=DB；
c.在AB上截取AC=AE。
问题：①如果设AB=2，那么BD，AD，AC，BC分别等于多少？
②点C是线段AB的黄金分割点吗？
2.归纳总结
概念：黄金分割比，黄金分割点，黄金分割；
方法：证明黄金分割的方法，做黄金分割点的方法，利用黄金分割的定义；
能力：探索的能力，发现的能力，合作的能力等等。