甘肃省民勤县第四中学 733399
在解决高中数学问题时，我们经常会遇到直接解决会较为困难的情况，但是通过对问题的转化，归类就会使问题变得简单。类似问题的解决办法可以运用一种重要的思想方法——化归和转化的思想方法。
化归与转化的思想是指在处理问题时，把需要解决或难解决的问题通过某种方式转化为某一类已解决的或比较容易解决的问题的一种思想方法。它是研究和解决数学问题的核心思想，灵活性和多样性是化归与转化思想方法的特点。而在用它来解决数学问题时，并没有一个统一的模式，它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换。
在实际解题过程中，实施化归与转化时，我们要遵循以下五项基本原则：（1）化繁为简的原则；（2）化生为熟的原则；（3）等价性原则；（4）正难则反原则；（5）形象具体化原则。在历年高考中，化归与转化思想常在题目中体现，我们要把这种转化意识时常培养和训练，才能有利于提高解决数学问题的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。
在备课过程中，笔者将一些常见类型进行归纳，现将三种题型的探究过程总结如下，供同仁参考。
一、特殊与一般的转化
当一般成立时，特殊也一定成立。由特殊性可以得到一般性的规律。这种辩证思想在高中数学中普遍存在，经常会用到，这正是化归思想的体现。
例1：已知点A(1，-1)，B(3,0)，C(2,1)，若平面区域D由所有满足AP=λAB+μAC（1≤λ≤2,0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为______。
解析：分别令λ=1,2，μ在[0,1]内变化，令μ=0,1，λ在[1,2]内变化，可得D为一个平行四边形区域，其面积为三角形ABC面积的两倍。直线AB的方程为x-2y-3=0，|AB|= 4+1= 5，点C到AB的距离d== ，则D的面积为2× × 5× =3。
练习：（07安徽）．定义在Ｒ上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期。若将方程f(x)=0在闭区间[-T,T]上的根的个数记为n，则n可能为（ ）。
A．0B．1C．3D．5
点评：解决这类问题时，将一般问题特殊化,使问题的解决变得直接、简单了。我们常把特殊问题一般化，从宏观整体的高度把握住实际问题的一般规律，从而达到一类问题的处理目的。
二、换元转化问题
换元的方法有：局部换元、三角换元等。换元的种类有：等参量换元、非等量换元。比如三角换元可以应用于去根号，利用已知代数式中与三角知识中相关的联系进行换元。
例2：求函数y= x+ 1-x的值域。
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解析：我们发现x∈[0,1]，设x=sin2α ，α∈[0, ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2+y2=r2（r>0）时，则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。所以过程为：
∵y= x+ 1-x，其中x∈[0,1]
设x=sin2α，α∈[0, ]
y= sin2x+ 1-sin2x=sinx+cosx= 2sin(α+ )
α∈[0, ]
∴α+ ∈[ , ]
当α= 时，x=sin2 = ，此时y有最大值 2。
练习：已知函数y=2+2sinx· cosx+sinx+cosx,x∈[0, ]，求函数最大值和最小值。
点评：我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量取值范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的sinα∈[-1,1]。
三、常量与变量的转化
例3：对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2+px＞4x+p-3成立的x的取值范围是______。
解析：原不等式化为：x2+（x-1）p-4x+3＞0
设f（p）=（x-1）p+x2-4x+3，
∵x-1≠0（否则原不等式不成立），
∴f（p）为一次函数，要使f（p）在0≤p≤4内恒大于0，
则有f（0）＞0且f（4）＞0，
即x2-4x+3＞0且x2-1＞0，
因式分解得：（x-1）（x-3）＞0且（x+1）（x-1）＞0，
解得：x＞3或x＜1且x＞1或x＜-1，
∴不等式x2+px＞4x+p-3都成立的x的取值范围是x＞3或x＜-1。
故答案为：x＞3或x＜-1。
练习：设函数f(x)=x3+ ，当x∈[-2,- ]时，对任意实数k∈[-1,1],f(x)<λ2+(k-4)λ-2k恒成立，求实数λ的取值范围。
点评：在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的。
总之，在高中数学中,用换元法能帮助解决好多相关问题。用换元法,可以把数学各个分支之间联系起来,培养学生的学习兴趣。特别是一些较难的题目,通过认真观察问题的结构特征,深入分析问题的隐含条件, 我们还应当采用类比、联想猜测等手段进行适当的换元,并将各方面的知识综合运用。
论文作者:田飞
论文发表刊物:《中小学教育》2016年11月第259期
论文发表时间:2016/11/21
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