摘要：不等式在初等数学和高等代数中有广泛的应用，证明方法很多，本文以函数的观点来认识不等式，以导数为工具来证明不等式。
关键字：导数；不等式；最值；中值定理；单调性；泰勒公式
中图分类号：O13文献标识码：A文章编号：ISSN1672-6715（2019）10-069-01
1.利用微分中值定理来证明不等式
在数学分析中，我们学到了拉格朗日中值定理，其内容为：
定理1.如果函数 在闭区间 上连续，在开区间 上可导，则至少存在一点 ，使得 。
拉格朗日中值定理是探讨可微函数的的几何特性及证明不等式的重要工具，我们可以根据以下两种方法来证明。
（1）首先，分析不等式通过变形，将其特殊化。其次，选取合适的函数和范围。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根据函数的单调性和最大值和最小值。
（2）我们可根据其两种等价表述方式
①
②
我们可以 的范围来证明不等式。
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例1.1证明不等式
证明第一步变形
第二步选取合适的函数和范围
令
第三步应用拉格朗日中值定理
存在
使得
即
而
2.利用函数单调性证明不等式
我们在初等数学当中学习不等式的证明时用到了两种方法：一种是判断它们差的正负，另一种是判断它们的商大于1还是小于1.而我们今天所要讨论的是根据函数的导数的思想来判断大小。
定理：设函数 在 上连续，在 可导，那么
(1)若在 内 则 在 内单调递增。
(2)若在 内 则 在 内单调递减。
使用定理：要证明区间 上的不等式 ，只需令 上 。
例2.1设 证明不等式
证明：令 （x>0）
显然
（x>0）
现在来证明
令 显然
当 时
于是得 在 上递增
故对 有
而
参考文献
[1]郑英元，毛羽辉，宋国栋编，《数学分析》上册，高等教育出版社，1990.
论文作者:常泽武
论文发表刊物:《基础教育课程》2019年10月19期
论文发表时间:2019/11/20
标签：不等式论文; 定理论文; 函数论文; 日中论文; 导数论文; 调性论文; 两种论文; 《基础教育课程》2019年10月19期论文;