双曲线的几何性质，本文主要内容关键词为：双曲线论文,几何论文,性质论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
（案例研究）
1 案例
这是关于双曲线的几何性质的一节课.采用引导发现法与讲解讨沦法相结合的方法来上.
（1）首先，教师提出中心问题：
问题1：如何作出双曲线（x[2]/4）－y[2]＝1 ①的图象？
指出：单纯利用描点法作图，有困难.为更好地完成作图象的任务，需要先研究双曲线的几何性质.
（2）问题2：研究双曲线（x[2]/a[2]－y[2]/b[2]＝1） ②的几何性质.
运用形数结合、具体与抽象、直觉与逻辑相结合的方法，研究了曲线的范围、对称性与特殊点，即顶点，对曲线状况有了初步了解.
（3）重点解决渐近线问题
问题的提出，由于对图象的走势缺乏了解.
发现渐近线：由数到形，逐渐发现，直线l：y＝±（b/a）x在确定双曲线的发展趋势方面的特殊作用主要有以下两点：
图象的范围.
1° 由“数”：y＝（b/a）
（x≥0）→
y＜（b/a）x （x≥0）;
到“形”：双曲线在直线l[，1]：y＝（b/a）x （x≥0）的下方.
2° 曲线的变化趋势
由“数”：x→∞，y→（b/a）x；
到“形”：双曲线无限趋近于直线l[，1].
完成双曲线①的作图，并小结作双曲线的草图的方法和步骤；
提出双曲线的渐近线的概念，及其几何特征（与曲线“愈来愈近”；“无限接近”；却永不相交）；
证明l是渐近线，并简要说明渐近线在研究曲线中的作用，以及“以直逼曲”的思想.
（4）离心率的概念
在同一坐标系中作出双曲线（x[2]/4）－（y[2]/3）＝1与（x[2]/4）－（y[2]/2）＝1的图象；
比较图象的异同后，问：双曲线的形状由什么因素决定？由此，又一次提及新概念：离心率.
（5）小结与布置作业.
2 思考
（1）研究曲线的几何性质，非始于今日，以前已进行过多次了（包括函数的图象与性质）.如果想在课堂上更多地体现学生的主体性，教学时可（应）作怎样的安排呢？
（2）众所周知，双曲线与椭圆可以类比.这两种曲线之间，有相似之处，又有迥异之处，还可在变动之中把它们联系起来，若以此为主线，课的设计又将是怎样的呢？
3 分析
（1）我们估计，如下的安排方式，在一些班级中是完全可以实施的：
①我们已经定义了双曲线，得出了双曲线的标准方程，那么怎样来研究双曲线的几何性质呢？
通常我们是怎样研究曲线的几何性质的？
——用数的方式：利用方程；
用形的方式：借助于曲线的图象.
一般主要研究曲线的哪些几何性质？
——曲线的范围；曲线的对称性；特殊点、线；
某段曲线的趋势走向（增减性）；
曲线的形状等.
②让学生4人一组，按上述纲要开展研究式学习.规定：可以参阅书中的其他部分的内容，但不许翻阅本节教材.
③全班交流汇报
教师评述，提问，补充整理小结
（2）如下设计，抓住与椭圆类比，和谐地扩展为主线，学生的主体性虽减弱了，但更易在课堂上操作了.教学展开的顺序为：
从具体到抽象；
从椭圆到双曲线；
从相似性质到相异处，（再到其间的联系）
①比如，研究曲线的范围.
问：椭圆（x[2]/9）＋（y[2]/4）＝1的范围如何？
一般地，对于椭圆（x[2]/a[2]）＋（y[2]/b[2]）＝1呢？
再类比地问：双曲线（x[2]/4）－y[2]＝1的范围如何？
对于双曲线（x[2]/a[2]）－（y[2]/b[2]）的范围呢？
要求学生同样地研究双曲线的其他相似性质.
完成研究后，填写如下表格（即以此为研究指向）.
椭 圆
双曲线
②双曲线与椭圆的相异点主要在于：椭圆的图形囿于有限范围；双曲线的各支将伸展到无限远处.
双曲线各支在向无限远处伸展过程中有无规律可循呢？
可以（x[2]/4）－y[2]＝1为例.考虑到对称性，可只考察第一象限内的曲线上的点伸展之很远时的状况：
列表描点，看趋势，猜测（第一象限内多画几点）——研究方程y＝（1/2）
（x≥），x很大很大时，（-4）几乎可以忽略不计——由此说明曲线的变化趋势.
提出渐近线的概念等.
总之，这课的设计宜以和谐扩展；类比研究；形数结合等思想方法为重点.根据你的学生状况，更多的发挥他们的主体性.分别学生的两种发展水平：已有的发展水平；最近发展的可能性水平，努力使你的教学走在发展的前面.
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