小学数学中区分被乘数与乘数有无必要？，本文主要内容关键词为：被乘数论文,乘数论文,小学数学论文,有无论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的背景
传统的乘法定义要求严格区分乘数与被乘数，这个问题一直是困扰小学数学教育界的一个难题。特别是在解应用题的时候，要求列出的算式乘数和被乘数不能颠倒，只能把每份数作为被乘数，份数作为乘数。如果乘数和被乘数颠倒了，即使结果正确，也不能说这道题做对了。对于教师这是教学的重点和难点，对于学生则是最容易出“错”的地方。在一个问题情境中，学生知道用乘法计算，列出乘法算式，算出结果，但就是由于乘数被乘数位置问题导致解题“错误”。老师们往往从一年级刚开始学习乘法的时候，就对学生做这样的要求，但往往到小学毕业仍然有学生出现这样的“错误”。而在学生学习了乘法交换律后，特别是在学习了乘法与除法的关系后，乘数和被乘数都叫做因数了，位置的前后就不再是问题了。这时，学生就会出现疑问，明明乘数和被乘数可以颠倒，得到的结果是一样，为什么列算式的时候就不能颠倒。对这个问题的疑问可能会使学生对数学产生怀疑，对学习数学失去信心。乘法算式中区别被乘数与乘数，一直被很多家长和专家批评。有一种观点认为，区分被乘数与乘数是违反教育规律，不符合学生认识水平，更不符合现实的实际生活。2000年3月出版的《九年义务教育小学数学教学大纲》（试用修订版）中取消了乘数和被乘数区分，统称为乘数（也叫因数），受到教师和学生的欢迎。2001年7月出版的数学课程标准实验稿沿用了大纲试用修订版的乘法定义。这样可以减轻教师和学生很多不必要的负担，也可以使学生在学习乘法，特别是解与乘法有关的问题时减少许多错误和不必要的心理压力，是一个学生、教师、家长皆大欢喜的修改。有人可能会说，乘数和被乘数的问题与单位名称有关系。结果的单位名称要与被乘数的单位名称一致，但单位名称的问题是人为规定的，在一个确定的问题中是不可能出现单位名称的混淆。“教室里有6行桌子，每行8张，一共有多少张桌子？”无论学生列出的算式是8×6，还是6×8，他都知道得出的结果是桌子的个数，而不是行数，这在具体解问题时应该是显而易见的。解决这个问题要比分清乘数和被乘数简单得多。
二、问题的产生
将被乘数与乘数统称为乘数之后，学生不再受乘数与被乘数的困扰了，但新的问题又随之而来。
（一）定义的逻辑基础
3个5(5+5+5)，可以写作3×5，也可以写作5×3；由此，5个3(3+3+3+3+3)，写作5×3，也可写作3×5；从而，5+5+5，与3+3+3+3+3，可以写成相同的乘法算式。推广到自然数范围，应有
可以写成相同的算式a×b或b×a。显然，是两个不同的连加算式，它们相等吗？在乘法定义时并没有考察该问题。既然对这两个不同的加法算式还没有作一个较为深刻的研究，怎么能随便把它们（定义）写成相同的乘法算式呢？
（二）学习乘法交换律成了画蛇添足之举
人民教育出版社小学数学教科书二年级上册乘法的初步认识中指出：“3+3+3+3+3+3=18可以用乘法表示：6×3=18或3×6=18”，而在四年级下册乘法运算定律中却又举出例子4×25=100（人），25×4=100（人），让学生观察发现4×25=25X4，从而总结出“乘法交换律”这个运算定律，这完全是多余的。既然“25和4相乘可以写成25×4，也可以写成4×25。”，那么25×4必然等于4×25，这个结论根本不需要计算就可以知道，除非自身与自身不等。所以，乘法交换律不再是一个运算定律，自然没有必要作为一个独立的内容来学习。
（三）客观上集中了难点，增加了学生学习的难度
取消乘数和被乘数区分，乘法的意义中包含了乘法交换律，二者不可分开。教学中，学生认识乘法时，既要理解乘法的意义，又要理解乘法交换律，原来分散在不同年级的难点集中起来，增加了课堂教学难度。曹培英老师曾作过教学实验，得到这样的结论。一种方案将乘法的初步认识与乘法交换律的初步认识串在一起进行教学，过渡比较自然。从区分两个因数在算式中的位置，到取消限制，集中在一节课中完成，实验表明教学密度较大，个别学生接受有困难，另一方案把乘法含义与交换律的初步认识加以整合，形成了一个有机的整体，但引入时逐步增加相同加数个数的过程有所省略，不利于学生从一开始就体会到乘法算式的便捷，从引进乘法起，就借助实物矩阵强调a×b既可以表示b个a，又可以表示a个b，实验结果显示对部分学生形成同数连加的表象产生干扰。
（四）使乘法的定义更加抽象
从学生的认识规律来看，乘法的意义是建立在同数连加的基础上，被乘数对应相同的加数，乘数对应相同加数的个数，有一个具体可依靠的形象。如不区分乘数与被乘数，统称为乘数，可以随意交换乘数的位置，就不易在思维中让乘法算式与加法算式建立相应的对应关系，使乘法的意义更加抽象，学生更难理解。
（五）乘法的表示形式容易产生歧义
被乘数与乘数统称为乘数后，乘法算式可以表示为“乘数×乘数＝积”，有人要问，你这里的前一个“乘数”与后一个“乘数”是不是同一个数呢？如果相同，可以写成“乘
＝积”，如果不同，应该写作“乘数甲×乘数乙＝积”或“一个乘数×另一个乘数＝积”。
（六）使学生的后续学习形成一种错误的印象
定义一种新运算时，我们对该运算的认识不够深入，它是否满足交换律，应该在定义之后认真研究后作出结论。有很多运算是不满足交换律的，例如减法、除法，它们都不满足交换律。有一些乘法也是不满足交换律的，例如向量的矢性积，矩阵乘法等。不区分乘数与被乘数的乘法定义，从定义中包含乘法的可交换性，教给学生一种不良的思维习惯，当他们接触一种新运算时，习惯性地认为它具有可交换性。
三、问题的分析
采用传统的乘法定义，保留被乘数与乘数的区别，不仅可以让上述问题迎刃而解，而且还与数学理论与教学需要保持相当的协调性。
（一）保留被乘数与乘数的区别可以与有关乘法数学理论保持一致
在有关自然数的各种理论中，人们较为熟悉的有两种，一是建立在集合论基础上的自然数基数理论，二是用公理化方法构建的自然数序数理论。
基数理论中，对于乘法，通常的定义是：
设有b个无公共元素的等势有限集合
，它们的基数都是a，则称这b个集合的并集C的基数
c为a乘以b的积，记作a×b=c。
这一定义实际上就是用集合论的语言来刻画“同数连加”。这里的a表示相同加数（即等势有限集合A的共同基数），b表示相同加数的个数（即
的个数）。可见，a、b的含义是明确的、有区别的。为此，习惯上称a为被乘数，b为乘数。为了确认a×b=b×a，需要加以证明，给出乘法的交换律。
如果用笛卡尔积来定义乘法：
设有限集合A、B的基数分别是a、b，则称笛卡尔积A×B的基数c为a乘以占的积，记作a×b=c。
这里的a、b没有赋予特别的含义，但前后次序却是有区别的（因为笛卡尔积是由有序对组成的），所以仅仅由定义本身，尚不能直接得出交换律成立，还需要由A×B与B×A的基数等势，推出a×b=b×a。
序数理论中，对于乘法，通常的定义是：
自然数乘法是指这样的一种对应，既对于每一对自然数a、b，有数a×b与之对应，且具有下列性质：
1.对于任意自然数a，a×1=a；
2.对于任意自然数a、b，a×b′=a×b+a。
显然，乘号左右两个数的含义没有区别，但在形式上，两数的前后次序仍然有别。因此，这样定义下的乘法是否满足交换律，还需进一步论证。
如果把参与乘法的两个数都叫做因数，那么，不难看出，用同数连加定义乘法，两个因数的区别在于含义不同；而用笛卡尔积或用序数理论的公理方法定义乘法，则两个因数的区别仅在于严格理论意义上的（或者说形式上的）次序一前一后。上述三种定义本身都没有包含乘法的交换律。
十分明显，用同数连加定义乘法，相对于另两种定义，便于直观，容易描述，被小学数学教材所采用，是非常自然的。既然是同数连加，那么“相同加数”与“相同加数的个数”就是客观存在的，非人为的。用被乘数与乘数将它们区别开来，也是自然的。
（二）保留被乘数与乘数的区别，可以减少分数乘法与小数乘法中的不便
分数乘法中，一个数乘以分数就是求这个数的几分之几是多少，它有与整数乘法不同的含义，在解答分数应用题时，把握这个数量关系就可以游刃有余。小数乘法中，一个数乘以小数就是求这个数的几分之几是多少，它也是解决小数问题的有力工具。它们是两个独特的问题模型，且依赖于被乘数与乘数的次序，如果取消被乘数与乘数的区别，分数乘法与小数乘法问题的表述会很啰嗦，教学很麻烦。
四、几点思考
1.鉴于小学数学中乘法是根据同数连加抽象而来，相同加数和相同加数的个数是客观存在的两个不同的数，故在教学乘法的意义时，有必要让学生严格区分乘数与被乘数，这是理解乘法意义的基础，也是研究数学的正确的思维方法。
2.学完乘法交换律后，可以在计算中交换乘数与被乘数的位置。在应用题的列式中，对乘数和被乘数位置颠倒的，作为解题不规范处理，当作缺少一个（被乘数与乘数位置正确的列式）步骤，不作为解题错误。而解题合乎规范，是为了让别人准确地理解而不产生误解，是数学的基本要求，是数学严谨性、可靠性的体现。这样可以避免对于区分乘数与被乘数的各种指责，不至于重走老路。
3.在教学中，教者要深入理解教材体系，正确地定位各阶段的教学目标，严格执行，不得任意拔高要求或降低标准，根据学生的认识规律和数学知识的积累，对不同年级段的学生分别提出合理的要求。
4.数学文字表达，是一种精确的文本表达典范，它能准确地表达与传递信息，不至于使接收信息的人产生误解。应用题教学，是培养学生精确的、规范的文字表达能力的好方式。列式中区分被乘数与乘数是至关重要的，因为每一个量的含义都很具体，准确的列式可以反映出一个学生的正确的思维过程，表明学生对题目含义的准确理解，给读者传达出一条清晰的思路，一目了然，而不准确的列式也能反映出一个学生的思维过程，可能由于学生对题目的数量关系存在一定的模糊认识，解答过程让读者一头雾水，理不清头绪。
5.认识乘法之后，要向学生说明，我们用一句乘法口诀计算乘数与被乘数互换的两个乘法算式，是由乘法交换律作保证的，不过由于受我们认识能力的局限，先拿来使用，以后再作证明。