单值中智语言环境下的TODIM决策方法

郭子雪, 孙方方

(河北大学 管理学院,河北 保定 071002)

摘 要： 基于决策过程中属性值信息的不确定性以及决策者对收益与损失风险态度的差异，提出了单值中智语言环境下的交互式多属性决策方法(TODIM).首先，利用单值中智语言集量化属性值信息中的不确定度并进一步地描述属性值信息；其次，基于改进后的语言标度函数定义了单值中智语言数的距离测度和集结算子；在此基础上，通过标准差计算属性权重，依据TODIM方法计算各方案的全局优势度并排序；最后，通过节能服务公司的选择案例验证了该方法的可行性与有效性.

关键词： 单值中智语言集；语言变量；交互式多属性决策(TODIM)；优势度

自 Smarandache^[1]从哲学角度提出了中智逻辑和中智集的概念以后，有关中智集的研究就引起了人们的重视.在中智集中，不确定度是可以明确量化的，而且真实隶属度、不确定隶属度、失真隶属度是相互独立的.与模糊集^[2]、直觉模糊集^[3]相比，它能更好地量化不确定度，处理不确定和不一致信息.为了中智集能够在实际工程中应用，Ye^[4]提出简单中智集，之后不断发展出单值中智集^[5]和区间中智集^[6]等.中智集研究的方向主要有中智集的基本性质、中智模糊多属性决策方法等.Wu^[7]通过交叉熵计算简单中智数的距离；基于模糊交叉熵和单值中智交叉熵，ahin^[8]定义了区间中智交叉熵，并将其应用于多属性决策问题中；Ye^[4]给出了简单中智集的集结算子，但该集结算子在一些场景是不可取的；Peng等^[9]对此做了修正，提出了新的集结算子.此外，很多学者将中智集与其他排序方法相结合，例如ELECTRE(选择消去法)^[10]、TOPSIS(逼近理想的排序方法)^[11]等，应用于多属性决策问题中，建立了中智环境下的多属性决策模型；朱轮等^[12]设计了衡量单值中智数不确定性的信息熵公式，提出了单值中智多属性决策方法.

模糊多属性决策的一个重要分支是基于语言变量的决策方法.Zadeh^[13]最早提出采用语言变量来描述偏好信息，并引起了国内外学者的重视.Xian等^[14]提出了区间直觉模糊语言诱导混合算子，将区间直觉模糊语言与TOPSIS方法结合建立了多属性群决策模型；Zhang等^[15]将犹豫模糊语言术语集与双重犹豫模糊集结合，建立了双重犹豫模糊语言多属性决策模型；李海涛等^[16]利用EMD方法，将语言信息集结为正态分布随机变量信息，结合经典灰色随机决策方法对方案进行排序择优.在中智环境下，也有一些学者研究中智语言变量，但将其应用于多属性决策的较少.Ye^[17]在中智集的基础上提出了单值中智语言集的概念；进一步地，Wang等^[18]将麦克劳林对称均值算子应用到单值中智语言数中.

第一，隐私权保护。这一保护模式为美国法所推崇，是将个人信息置于隐私权中加以保护。美国《隐私法》(1974年)规定了对各类信息的收集、持有、使用和运输保护之条款。⑫“个人信息本质上是一种隐私，隐私就是我们对自己所有信息的控制。法律将个人信息作为一种隐私加以保护，界定其权利范围。”⑬大数据革命使信息收集、利用变得迅速并不易察觉，增加了控制难度，但并不意味着“隐私的死亡”。在美国，大数据保护论争通常在隐私权语境下展开，譬如责任规则的适用，究竟是适用侵权责任还是合同责任规制不当观察、捕捉、传播和使用个人信息的行为，都在隐私权语境下探讨。这与美国实用主义的法治传统不无关系。

针对不确定性的多属性决策问题，单值中智语言集具备了中智集和语言变量的优势，使其在处理不确定信息的能力更强.分析发现，以上研究成果都是基于决策者完全理性的假设，在实际决策过程中，决策者往往是有限理性的.交互式多属性决策方法(TODIM)^[19]是在前景理论的基础上考虑决策者心理的行为决策方法.因此，本文将经典的TODIM拓展到单值中智语言环境中，进而获得方案的排序结果，为决策者提供决策支持.

在观察组的60例中，有6例遭投诉，投诉率为10.0%，在对照组的60例中，有19例遭投诉，投诉率为31.7%，组间比较，差异有统计学意义（x2=8.5389，P＜0.01）。

1 预备知识

定义 1^[4]设X 是一个对象(点)集，x 是对象集中的元素，定义在X 上的简单中智集A 是由真实度隶属函数T _A (x )、不确定度隶属函数I _A (x )以及失真度隶属函数F _A (x )三者共同构成，记

通沟污泥经湿机械法处理之后，若不含重金属等有毒有害物质，则可作为低档建筑材料用于道路、水渠、人工景观及土壤生态修复时采用的基底材料等。

A ={(x ,T _A (x ),I _A (x ),F _A (x ))|x ∈X }，

(1)

其中，T _A (x )∈[0,1]、I _A (x )∈[0,1]、F _A (x )∈[0,1]，且对任意x ∈X ,T _A (x )、I _A (x )和F _A (x )都是[0,1]中确定的1个实数，即0≤T _A (x )+I _A (x )+F _A (x )≤3.

定义 2^[20]设S ={s _θ |θ =0,1,…，2t }是有限且完全有序的离散语言术语集，其中t 是正整数，集合S 的基为奇数，语言术语集S 的粒度为2t +1.

依照规定，水行政执法机关一旦发现涉水违法行为可能触犯刑法，有义务将相关案件移送至公安、检察等司法机关处理。按照最高检规定，水行政执法机关向公安机关移送案件，公安机关作立案、不立案决定处理，应向同级检察院备案。但对未报送检察机关备案的，没有规定监督和惩罚措施，这使得部分水行政执法机关对应移送的案件持一种消极态度。虽然刑法第402条规定了行政执法机关不移送案件的刑事责任，但该条款的适用取决于检察机关及时发现行政机关在移送案件过程中的渎职行为。事实上在未及时备案又缺乏信息共享的前提下，检察机关很难发现部分水行政执法机关的渎职行为。

为了尽量减少语言决策信息在运算过程中丢失，把原有的离散性语言标度扩展为连续性语言标度

定义 3^[17]设X ={x ₁,x ₂,…,x _n }为给定的论域，S ={s ₀,s ₁,…,s _2t }为有限且完全有序的离散语言术语集.单值中智语言集A 定义为

A ={〈x _i ,[s _θ(x _i ),(T _A (x _i ),I _A (x _i ),F _A (x _i ))]〉}，

(2)

其中，x _i ∈X ,s _θ(x _i )∈S ,T _A (x _i )∈[0,1]，I _A (x _i )∈[0,1]，F _A (x _i )∈[0,1].T _A (x _i )、I _A (x _i )、F _A (x _i )分别表示x _i 在X 为s _θ(x _i )的真实度、不确定度、失真度，对任意的x _i ∈X ，均有0≤T _A (x _i )+I _A (x _i )+F _A (x _i )≤3.A 可以看作是单值中智语言数的集合A ={〈s _θ(x _i ),(T _A (x _i ),I _A (x _i ),F _A (x _i ))〉|x ∈X }，其中〈s _θ(x _i ),(T _A (x _i ),I _A (x _i ),F _A (x _i ))〉称为单值中智语言数，以小写字母a 、b 等表示.

2 单值中智语言数的运算

定义 7^[22]设a =〈s _θ(a ),(T _a ,I _a ,F _a )〉,b =〈s _θ(b ),(T _b ,I _b ,F _b )〉 是2个单值中智语言数，单值中智语言数之间的比较方法如下：

定义 4 设S ={s ₀,s ₁,…，s _2t }表示语言术语集，改进后的语言标度函数可定义为

.

在产妇分娩前，医师需要对患者的疑问进行解答，要对产妇的身体状态进行全面科学地评估，进而选取最佳的分娩方式，主要的评估内容包括，对产妇上次分娩方式的具体情况进行评估，同时需要结合产妇自身现状选择分娩方式。

(3)

其中,该函数是严格单调递增的连续函数.

提起通信，安全问题也不可忽视，面对安全需求，贝加莱的产品，无论在硬件或是软件层面上都作了全方位的考虑，能够适用于各种应用场景。例如，在远程运维方面，贝加莱提供的SiteManager能为用户提供一整套基于信息安全的接入方案。

1)a +b =〈f ^-1(f (s _θ(a ))+f (s _θ(b ))),

2)a ×b =〈f ^-1(f (s _θ(a ))×f (s _θ(b ))),(T _a T _b ,I _a +I _b -I _a I _b ,F _a +F _b -F _a F _b )〉；

3)λa =〈f ^-1(λf (s _θ(a ))),(T _a ,I _a ,F _a )〉；

该策略以Xgbest为基址，φi，j·(xr，j-xgbest，j)为步长项，其中引入gbest以加强局部搜索能力，索引k的作用是提高解搜索策略的随机性，加强全局搜索能力。值得注意的是，r是在种群中完全随机选择，故步长项伸缩性大，有效避免候选解产生在Xgbest附近。

4)a ^λ =〈f ^-1((f (s _θ(a )))^λ ),((T _a )^λ ,1-(1-I _a )^λ ,1-(1-F _a )^λ )〉；

定义 5^[22]设a =〈s _θ(a ),(T _a ,I _a ,F _a )〉,b =〈s _θ(b ),(T _b ,I _b ,F _b )〉, 是任意2个单值中智语言数，f 为语言标度函数，f ^-1是其反函数，λ >0，单值中智语言数运算定义如下：

5)neg (a )=〈f ^-1(f (s _θ(2t ))-f (s _θ(a ))),(F _a ,1-I _a ,T _a )〉.

定义 6^[22]设a =〈s _θ(a ),(T _a ,I _a ,F _a )〉是单值中智语言数，f 是语言标度函数，那a 的得分函数s (a )定义为

s (a )=f (s _θ(a ))(T _a +1-I _a +1-F _a )

步骤2：确定属性权重.考虑方案属性值的差异对决策的重要性，本文采用标准差衡量属性值的差异.当全部方案的某个属性C _j 的属性值差异越大，属性C _j 对方案排序所起的作用越大，此时对属性C _j 赋予较大权重.根据式(11)计算各方案的C _j 属性期望；根据式(12)计算所有属性的标准差；因此通过式(13)计算属性C _j 的权重.

(4)

精确度函数h (a )定义为

h (a )=f (s _θ(a ))(T _a -F _a )

儿童的认知规律一般来说是从直接感知到表象，再到形成概念的过程。表象介于感知和形成概念之间，抓住中间环节，促使学生多角度灵活思考，大胆想象，对知识的理解逐步深化，发展学生的空间观念，具有十分重要的意义。

(5)

确定度函数π (a )定义为

π (a )=f (s _θ(a ))T _a

.

(6)

在单值中智语言环境中，若出现2个中智语言数的语言术语都是s ₀，但模糊部分不同.这种情况在文献[17]中，得分函数均为0，认为这2个数是相等的，无法判断2个中智语言数的大小，进而不能保证后续运算的精确性.因此依据拉普拉斯平滑定理改进了文献[17]的语言标度函数，分别在分母加2，分子加1.

1)如果s (a )>s (b )，则a ≻b ;

2)如果s (a )=s (b )，h (a )>h (b ),则a ≻b ;

3)如果s (a )=s (b )，h (a )=h (b )，π (a )>π (b )，则a ≻b ;

4)如果s (a )=s (b )，h (a )=h (b )，π (a )=π (b )，则a =b .

李老师扬了扬手中的档案袋，兴奋地说，不要说是下雪天，就是天上下铁，我也要来！今天周小羽没来学校，我特意来找他。告诉你们一个喜讯，周小羽的画在省里得了个大奖，几家媒体都报道了呢，为我们岭北镇小学，当然也为我们岭北镇争了光呢。你们看——

定义 8 设a =〈s _θ(a ),(T _a ,I _a ,F _a )〉,b =〈s _θ(b ),(T _b ,I _b ,F _b )〉为任意2个单值中智语言数，S ={s ₀,s ₁,…,S _2t }为语言术语集，f 为语言标度函数，则单值中智语言数的欧氏距离为

d (a ,b )=[|f (θ (a ))T _a -f (θ (b ))T _b |²+|f (θ (a ))I _a -f (θ (b ))I _b |²+|f (θ (a ))F _a -f (θ (b ))F _b |²]^1/2.

(7)

定义 9 设B ={〈s _θ(x _i ),(T (x _i ),I (x _i ),F (x _i ))〉},(i =1,2,…，n )是单值中智语言数的集合，w =(w ₁,w ₂,…，w _n )^T是x _i 的权重向量，并且w _i ≥0，(i =1,2,…,n ),单值中智语言的加权算子(SVNLWA )定义为

(8)

如果权重向量时,则SVNLWA 算子变为单值中智语言算数平均算子(SVNLAA )，即

语言术语集S 满足如下条件.1)有序性：若i >j ，s _i >s _j ；2)存在逆运算算子neg ：若j =2t -i ，neg (s _i )=s _j ；3)存在极大化和极小化运算：若s _i ≥s _j ,max(s _i ,s _j )=s _i ,min(s _i ,s _j )=s _j .

(9)

3 单值中智语言环境下的TODIM方法

在多属性决策问题中，设A ′={A ₁,A ₂,…,A _m }表示方案集，C ={C ₁,C ₂,…，C _n }为属性集，其权重向量为ω =(ω ₁,ω ₂,…,ω _n )^T，满足为语言术语集，则方案A _i 在属性C _j 下的评价值为x _ij =〈s _ij ,(T _ij ,I _ij ,F _ij 〉.由此得到单值中智语言决策矩阵D =(x _ij )_m×n .单值中智语言环境下的TODIM决策方法的步骤如下.

步骤1：单值中智语言决策矩阵D =(x _ij )_m×n 规范化.多属性决策问题中，有效益型和成本型2种属性类型，根据式(10)得到规范化后的决策矩阵R =(r _ij )_m×n .

(10)

.

E (C _j )=SVNLAA (r _1j ,r _2j ,…,r _mj ).

(11)

(12)

(13)

步骤3： 计算相对权重.ω _jt 表示属性C _j 相对于属性C _t 的相对权重，其中ω _t =max{ω _j |j =1,2,…,n }.

(14)

步骤4：构建优势度矩阵.对于属性C _j ，备选方案A _i 与A _k 的优势度计算如下：

(15)

其中,

Φ _j (A _i ,A _k )表示方案A _i 相对方案A _k 在属性C _j 下的优势度，θ 是损失衰减因数(θ >0)，θ 越小,表明决策者的损失规避程度越高.r _ij ≻r _kj 表示对于属性C _j ,方案A _i 获得的收益大于方案A _k ；r _ij =r _kj ，表示对于属性C _j ,方案A _i 与A _k 收益无差别；r _ij r _kj ，则表示对于属性C _j ,方案A _i 获得的收益小于方案A _k ，意味着损失.在单值中智语言环境下，通过单值中智语言数的比较方法判断损失或受益，距离测度衡量收益或损失的大小.最终的优势矩阵通过加总各属性下的相对优势度得出.

步骤5：计算全局优势度.

(16)

步骤6:排序.依据全局优势度ξ (A _i )的大小，对所有方案进行排序，ξ (A _i )越大，相应的方案就越好.

水文地质条件控气具有双重性，径流区强水动力条件下可导致煤层气逸散，滞留区弱水动力条件下又能起到保存聚集煤层气的作用。地下水高矿化度中心和低水位“汇水洼地”即是煤层气的高富集区[20-21]。

4 算例分析

为说明所提出方法的运用过程和方法的可行性与有效性，将单值中智语言变量的TODIM方法应用到节能服务公司(ESCO)的选择问题中.有4个备选的ESCO(A ₁,A ₂,A ₃,A ₄)可供用能单位选择.在选择时，考虑四项指标：技术能力(C ₁)、项目管理能力(C ₂)、风险控制能力(C ₃)、成本(C ₄)，其中C ₁、C ₂、C ₃为收益型属性，评价值越高越好，C ₄为成本型属性，评价值越低越好；语言术语集S ={s ₀,s ₁,s ₂,s ₃,s ₄}，即5个粒度：很差，差，一般，好，很好.专家采用单值中智语言评估各方案，同时提供以下信息：1)他认为这个评估的真实度;2)他对这个评估的不确定程度;3)他对这个评估的失真度.例如专家对方案A ₁的C ₁评价为s ₃，同时认为该评价的真实度为0.4，不确定程度为0.6，失真度为0.2.专家对x ₁方案的属性C ₁的评价为〈s ₃,(0.4,0.6,0.2)〉.表1为决策者对4个供能单位的单值中智语言评价矩阵表.

那时侯的郑军里，意气飞扬，风华正茂，借取了80年代求新于西风与寻根于本土并举的文化大潮，开始了自己从工笔到写意人物的一个转型。后来就更直接地立足于本土，把兴趣、情感和笔头对准了广西桂西少数民族的风情人物，至今这条道路没有改变。

根据设计要求，履带式多吸盘行走机构对工作平面的适应性强、行进速度较快，可越过一般的障碍物。这种运动方案不仅可以使光伏清洁机器人安全可靠地在太阳能电池板表面上行走，并能顺利地克服排布间隙对吸附系统的影响。所以采用履带行走方式配合多个真空吸盘吸附的运动方案。

表 1单值中智语言评价矩阵
Tab .1 Single-valued neitrosophic linguistic evaluation matrix

步骤1：将单值中智语言评价矩阵D 规范化，得到规范化单值中智语言评价矩阵R ，如表2所示.

表 2规范化单值中智语言评价矩阵
Tab .2 Normalized single-valued neutrosophic linguistic evaluation matrix

步骤2：属性权重的确定.首先通过式(11)计算各方案的不同属性的期望：E (C ₁)=〈s _2.5,(0.60,0.25,0.31)〉，E (C ₂)=〈s _2.5,(0.54,0.51,0.19)〉 ，E (C ₃)=〈s _2.0,(0.33,0.62,0.36)〉,E (C ₄)=〈s ₂,(0.49,0.56,0.51)〉；然后利用式(12)计算标准差，并通过式(13)计算各属性权重，w =(0.179,0.142,0.339,0.346)^T.

步骤3：根据公式(14)计算相对权重.ω_1t =0.50，ω_2t =0.41，ω _3t =0.98，ω_4t =1.

步骤4：构建优势度矩阵.考虑决策者风险态度，取θ =2.将备选方案两两对比，根据式(15)计算方案A_i 相对每个方案A_j 相对优势度，并得到优势度矩阵，见表3.

表 3优势度矩阵
Tab .3 Dominance degree matrix

步骤5：用公式(16)标准化优势度，计算各方案的优势度结果分别为ξ (A₁)=0.01,ξ (A₂)=0.43,ξ (A₃)=1,ξ (A₄)=0.依据ξ (A_i )越大，相应的方案越好，对所有方案进行排序，4个方案的排序为A₃≻A₂≻A₁≻A₄.

“孟导,我也不骗你，估计你不知道，你的这个钱盒子是个好东西，大概比你的这堆钱还贵重些。我觉得你的钱大概实际能值个2万左右，所以我这5万里，有3万是在买你的钱盒子。”老贾说得实在，和孟导的心算不谋而合。

为了检验结果的稳定性，选取不同的θ 值(损失衰减因数)对此算例进行计算，得到的结果如表4所示.当θ ≤2时，排列顺序为A₃≻A₂≻A₁≻A₄；但当θ ≥3时，排列顺序为A₃≻A₂≻A₄≻A₁.这意味着调整决策者的损失规避倾向会对排序结果产生影响， 也说明决策者的心理行为会影响其决策.

表 4不同 θ 值的方案排序表
Tab .4 Ranking orders of alternatives with different θ

5 结论

本文利用单值中智语言集描述属性值信息并考虑决策者的行为，利用TODIM方法，提出了中智语言环境下的多属性决策方法.首先改进了语言标度函数，依据该标度函数改进了单值中智语言数的距离测度和集结算子.鉴于在实际决策中决策者不是完全理性的，面对收益与损失的态度具有差异性，采用基于有限理性的TODIM方法对方案进行排序.此外，基于客观赋权方法，以标准差衡量方案之间的差异，并确定权重.最后，将单值中智语言变量的TODIM方法应用到节能服务公司的选择评价问题中，并对不同的θ 值进行敏感性分析，结果显示了该方法的可行性与有效性.所提出的方法能够很好地表达决策者或专家的认知，在一定程度上量化了不确定性，尽可能地避免了信息的丢失与歪曲.在实际决策过程中，可以根据决策者的风险偏好与行业的发展趋势调整参数，以便得到更准确的评价.未来研究中，还可以进一步研究中智环境下的群体决策或者大规模群体决策.

参 考 文 献：

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A TODIM decision making method in single -valued neutrosophic linguistic environment

GUO Zixue ,SUN Fangfang

(College of Management, Hebei University, Baoding 071002, China)

Abstract : Based on the uncertainty of attribute value information and the different risk attitudes of decision-makers towards gain and loss, an extended TODIM (an acronym in Portuguese of interactive and multi-criteria decision making) under single-valued neutrosophic linguistic environment is proposed. First, the uncertainty in attribute value information can be quantified directly by using single-valued neutrosophic language set. Second, based on the extended language scale function, the distance measure and aggregator of single-valued neutrosophic linguistic numbers are defined. Based on these, weights are calculated by standard deviation and ranks are obtained by the TODIM method. Finally, the practical application process of the proposed method is illustrated by the case of energy-saving service company selection, which verifies the feasibility and effectiveness of the method.

Key words : single-valued neutrosophic linguistic set; linguistic variable; TODIM method; dominance degree

DOI： 10.3969/j.issn.1000-1565.2019.06.001

中图分类号： C934

文献标志码： A

文章编号： 1000-1565(2019)06-0561-07

收稿日期： 2019-03-27

基金项目： 河北省社科基金资助项目(HB18GL008)

第一作者： 郭子雪(1964—)，男，河北清河人，河北大学教授，博士生导师，主要从事决策理论与方法、物流与供应链管理方向研究.E-mail: guo_zx@163.com

(责任编辑： 王兰英)

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