方谋耶[1]2006年在《Morse等式的存在性及其应用》文中研究指明Morse理论自从20世纪20年代由H.Morse提出以来,有了长足的发展。经典的Morse理论给出了光滑流形的拓扑性质及其上Morse函数的非退化奇异点之间的相互关系。20世纪50年代,Smale等将其推广为光滑流形上的梯度流的双曲不动点与流形的拓扑性质的关系,从而得到了Morse-Smale等式。70年代末,Conley等人推广了Morse指标,得到了流的Conley指标,从而在更一般的基础上建立了流的Morse等式。后来Szymzzak等人得到了一个关于映射的Conley指标,这个结论推广了Morse指标。而张宇光使用这个Conley指标来得到了一个关于映射的Morse等式,这个等式可以看作是流或者同胚的Morse等式的推广。在本文中,我们首先讨论上述映射的Morse等式在一定条件下的存在性。而且应用该等式证明了Brouwer不动点原理。最后,我们给出了该等式在离散半动力系统的分岔上的一些应用。
张宇光[2]2002年在《映射的Morse等式》文中研究说明Szymzzak等在[5]中得到了一个关于映射的Conley指标，这推广了Morse指标。在本文中，我们使用这个Conley指标来得到一个关于映射的Morse等式。这个等式可看做是流或同胚的Morse等式的推广。
刘克进[3]2008年在《叁角网格曲面上四边形分割的形状优化研究》文中进行了进一步梳理近年来,随着计算机技术的飞速发展,在几乎所有的数字几何处理中,对原始图像表面网格的重新采样是最基本的工作。有限元方法己经成为复杂工程问题求解中最强大的数值分析方法之一,而使用该方法的第一步,就是对给定目标区域的离散点生成网格。数值模拟结果的准确性和分析速度都直接受到网格质量的影响,所以研究高质量网格的快速生成,对数值模拟技术而言,具有非常重要的意义。有限元中常用的两种平面或叁维曲面网格是叁角形网格和四边形网格,其中四边形网格无论是在计算精度上还是在收敛速度上,都要优于叁角网格。因此从上个世纪八十年代四边形网格生成开始受到人们的重视。通过很多工程技术人员和学者的不懈努力,涌现出了大量有关四边形网格生成的方法。本文首先对四边形网格的发展现状做了一个简单的综述,同时介绍了几种比较典型的四边形网格生成方法。随后我们主要对Morse理论和Morse函数作了简单介绍,并介绍了基于Morse-Smale复形的四边形分割形状优化算法。在此基础上,提出了一种对二维流形上的Morse-Smale复形顶点进行优化从而达到优化四边形形状的算法。该算法对复形上的每个四边形顶点遍历,迭代逼近若干次得出四边形较好的顶点以及较好的边,从而构造出更好的四边形网格。
王金涛[4]2016年在《一般度量空间中的Conley指标与Conley形指标理论》文中研究表明本文主要研究一般度量空间上局部动力系统的紧孤立不变集的Conley指标理论和Conley形指标理论.首先我们建立了一般拓扑空间上局部动力系统的吸引子理论,给出了吸引子Lyapunov函数的存在性和序列紧不变集的Morse分解.然后,从吸引子理论的角度,我们对于无穷维动力系统的Conley指标理论提供了一个新的构架,由此对该理论进行了一个十分简化的处理.对于形指标,我们引入了全新的Conley形指标偶,进而基于拓扑空间的吸引子理论构建了 Conley形指标理论和Morse理论,这一工作将局部紧空间上的相关结果推广到了非局部紧空间的情形,且使得形指标的计算和理论分析都更为方便灵活.
姚潇[5]2016年在《动力系统及薛定谔算子中的几个问题》文中研究表明在这篇论文中,我们主要研究复动力系统和离散薛定谔算子中的两个问题.在第一部分中,我们根据Ahlfors覆盖曲面的想法,建立了Julia集的几何刻画准则,该刻画准则可适用于有理函数,整函数,亚纯函数.证明的主要是通过结合Ahlfors-Shimizu特征,Eremenko逃逸点的想法实现的.在第二部分中,我们主要是研究薛定谔算子的谱问题.我们在Thue-Morse薛定谔算子的谱集中构造了ΣⅠ,ΣⅡ和ΣⅢ三个集合.其中ΣⅠ中的点是extended态;ΣⅡ中的能量点是双边伪localized态;ΣⅢ是单边伪localized态.首次在薛定谔算子中构造出无界的迹轨道,并且细致地估计了对应能量的转移矩阵和特征方程的广义解范数增长速度.特别地对于任意的E∈ΣⅡ∪ΣⅢ,转移矩阵有如下的范数增长速度:另外我们也研究了这些能量点在谱测度下的局部维数.ΣⅡ中的能量点对应的局部维数是0;而ΣI∪ΣⅢ中的能量点对应的局部维数至少是1.这些现象表明Thue-Morse薛定谔算子模型是一个具有高度复杂现象的混合模型.
卢文[6]2013年在《Morse不等式及Bergman核》文中进行了进一步梳理本文分为两个部分.第一部分,利用Bismut-Lebeau解析局部化技巧,我们给出了紧致无边流形上的等变退化的Morse不等式.作为这个不等式的一个应用,我们得到了紧致带边流形上退化的Morse不等式.第二部分,我们考虑与非退化线丛的多重张量积相关联的Hodge-Dolbeault算子.利用Ma-Marinescu发展起来的形式级数的办法,我们计算出了这个Hodge-Dolbeault算子的Bergman核的渐近展开式的第二项系数.
柳振鑫[7]2007年在《随机动力系统中的若干问题》文中研究指明本文主要分两大部分：第一部分(第二章到第四章)，我们研究了随机情形的Conley指标理论；第二部分也即第五章我们考虑了阻尼波动方程的随机惯性流形的问题。在第二章，我们我们研究了有限维和无穷维随机动力系统的Morse分解理论，正面回答了Caraballo，Langa提出的一个公开问题。在第叁章，通过引入随机链回归的概念，我们把Conley动力系统基本定理推广到了有限维和无穷维随机动力系统。在第四章，通过引入随机孤立不变集，随机移位等价，随机同伦等概念我们定义了时间离散的随机动力系统的Conley指标。在最后一章，我们考虑了随机波动方程的渐近性行为，得到了随机惯性流形的存在性并证明了它的上半连续性。
岳高成[8]2010年在《关于非线性反应扩散方程全局吸引子的整体与局部几何拓扑结构的研究》文中进行了进一步梳理在这篇博士学位论文中,我们主要研究了下列非线性反应扩散方程全局吸引子的整体与局部几何拓扑结构,得到了对全局吸引子几何拓扑结构的新的描述.其中Ω(?)RN是有界光滑区域.假定f：Ω×R→R满足Caratheodory条件：i)对每一个s∈R,函数F(·,s)关于Ω是Lebesgue可测的;ii)对几乎所有的x∈Q,函数f(x,·)关于R是连续可微的.另外,假定存在正常数Ci,1≤i≤4和整数p≥2,f满足下列增长条件：|f(x,s)|≤C1|s|p-1＋C2,对所有的(x,s)∈Ω×R, sf(x,s)≤-C3|s|p＋C4,对所有的(x,s)∈Ω×R, f'(x,s)≤(?),对所有的(x,s)∈Ω×R.其中Q(?)RN是有界光滑区域,(?)是-△算子的一列特征值,j=1,2,假定f(u)是C1函数且满足下列假设|f'(s)|≤C1|s|p-2＋C2,p≥2, f(0)=f'(0)=0, f'≥一(?).全文共分五章：第一章,介绍无穷维动力系统的理论和应用的背景,全局吸引子问题的发展及研究进展情况,总结全局吸引子存在性、维数估计和惯性流形的已有的理论和方法以及动力系统几何拓扑理论方面已有的成果.第二章,给出了本文用到的一些基础知识.第叁章,主要研究了半线性反应扩散方程I当外力项g∈God时,God是相空间L2(Q)中的稠密子集(正则值集合),全局吸引子的整体几何拓扑结构,得到了对全局吸引子的新的刻画,也就是说,方程I的全局吸引子是平衡点的Lipschitz连续的不稳定流形的并,在一定程度上克服了方程I在惯性流形不存在时对全局吸引子的几何结构的刻画所带来的困难,这能很好地反映半线性反应扩散方程I的全局吸引子的整体几何拓扑结构.第四章,主要研究了在第叁章中得到的全局吸引子的代数和拓扑结构,通过充分考虑全局吸引子自身所具有的性质,受文献[111]中关于建立Witten复形理论的启发,在我们所得到的半线性反应扩散方程I的全局吸引子(?)上建立了Witten同调群.并证明了(?)具有CW复形结构,得到了Witten同调群、胞腔同调以及奇异同调群之间的同构关系,这给出了奇异同调群的一种有效的计算方法.最后,结合全局吸引子的Morse过滤结构和相对同调群理论,我们给出了全局吸引子的相对同调群的刻画,得到了Morse等式.第五章,主要研究了一类具有任意阶多项式增长的非线性反应扩散方程Ⅱ的全局吸引子的局部几何拓扑结构,即如果方程Ⅱ的线性化方程的谱和虚轴相交时,我们所考虑的非线性反应扩散方程Ⅱ将出现中心流形,我们得到了中心流形定理.
郑波[9]2007年在《离散Hamilton系统的周期解与边值问题》文中进行了进一步梳理本文应用Morse理论、度理论、极小极大方法、Z_p几何指标理论等,研究离散Hamilton系统周期解以及边值问题解的存在性与多重性,所得结论对离散系统定性理论的发展具有重要的促进作用。全文共分六章,主要内容如下。第一章简述了问题产生的历史背景、问题的研究状态、最新进展、预备知识以及本文的主要工作.第二章考虑一阶渐近线性离散Hamilton系统p周期解的存在性与多重性,其中p＞2是给定的素数.利用Z_p几何指标理论与一阶线性离散Hamilton系统的Morse指标理论,得到了非平凡周期解的Z_p轨道的存在性与多重性的充分条件。这是首次应用这两种指标理论讨论离散系统解的存在性问题,并且改进了文献中已知的结果,得到了周期解个数下界的一个更好的估计。第叁章研究具有“小”强迫项的二阶离散Hamilton系统周期解的存在性与多重性。首先,给出了保证上述问题对应的变分泛函是强制的若干充分条件,以得到极小临界点。然后,证明了如果0是强迫项为零的系统的非退化周期解,则上述极小临界点非退化,从而利用Morse理论中的叁临界点定理,证明了原系统至少存在叁个周期解。特别地,在非线性项是自治与非自治的情况下,分别给出了一些条件以保证0是强迫项为零的系统的非退化周期解。这些条件简单明了,易于验证。最后,举例说明了当强迫项不是充分小时,结论不成立。这对扰动离散系统的研究具有重要意义。第四章研究纯量形式下边值问题解的存在性与多重性,这是首次应用Morse理论讨论离散系统边值问题解的存在性,并获得了一系列有意义的结果。对于系统在无穷远处非共振的情形,我们主要应用Morse理论、度理论与矩阵分析等,讨论了齐次问题和非齐次问题解的存在性与多重性,而且得到了非齐次问题恰好有叁个解的充分条件。一般来说,临界点理论或者不动点方法只能得到算子方程解的个数的下界,而这里精确地给出了解的个数,因此,为研究此类问题提供了一种新的思路。对于系统在无穷远处共振的情形,通过计算无穷远处的临界群,利用截断技巧和山路引理得到了一个正的临界点和一个负的临界点并且计算了相应的临界群,由此得出叁个非平凡解的存在性结论,其中包括了一个正解,一个负解。这一章所使用的方法也可用于其它类型的边值问题,只要相应的线性系统的特征值问题没有零特征值。第五章研究高维情形下边值问题解的存在性与多重性。已有的文献中,一般假设非线性项是超线性、次线性或者有界的,据作者所知,目前应用临界点理论讨论非线性项是渐近线性情形的文献很少。鉴于此,该章对非线性项提出了广义渐近线性条件,包含了渐近线性作为特殊情形,通过对二阶线性离散Hamilton系统分类,定义了指标函数,得到了指标函数的性质与计算公式,再结合Leray-Schauder原理与Morse理论等,得到了边值问题解的存在性与多重性的一些新的充分条件。从而,完善了对离散系统边值问题的讨论,所用的方法也可用于其它类型离散系统的边值问题,如一阶离散Hamiton系统边值问题等。这些结果即使是对渐近线性的情形也是最新的。
朱秀娟[10]2005年在《辛几何中商的有理上同调》文中认为本文主要讨论辛几何中群作用的商的有理上同调的计算方法。这种方法是通过把群作用的矩映射的范数平方看成Morse函数,该函数有奇异点,所以是退化的,不能直接把Morse理论运用到该函数上来。但这个函数是极小退化的,有相应的Morse理论。当紧李群作用在辛流形上的辛商存在时,设这个作用的矩映射为μ,则μ~(-1)(0)的有理同变上同调与辛商μ~(-1)(0)/K的通常有理上同调同构。这就将辛商μ~(-1)(0)/K的有理上同调的计算转化为μ~(-1)(0)的有理同变上同调的计算,而这个计算正是通过极小退化函数的Morse理论得到的。
参考文献：
[1]. Morse等式的存在性及其应用[D]. 方谋耶. 南京航空航天大学. 2006
[2]. 映射的Morse等式[D]. 张宇光. 南京航空航天大学. 2002
[3]. 叁角网格曲面上四边形分割的形状优化研究[D]. 刘克进. 大连理工大学. 2008
[4]. 一般度量空间中的Conley指标与Conley形指标理论[D]. 王金涛. 天津大学. 2016
[5]. 动力系统及薛定谔算子中的几个问题[D]. 姚潇. 清华大学. 2016
[6]. Morse不等式及Bergman核[D]. 卢文. 中国科学技术大学. 2013
[7]. 随机动力系统中的若干问题[D]. 柳振鑫. 吉林大学. 2007
[8]. 关于非线性反应扩散方程全局吸引子的整体与局部几何拓扑结构的研究[D]. 岳高成. 兰州大学. 2010
[9]. 离散Hamilton系统的周期解与边值问题[D]. 郑波. 湖南大学. 2007
[10]. 辛几何中商的有理上同调[D]. 朱秀娟. 扬州大学. 2005