潘承猛 陈杰 广西大学附属中学 广西 南宁 530000
中图分类号：G623文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982（2019）11-159-02
解析几何在高考当中一般考察两个小题和一个解答题。从考察的特点来看，小题侧重于考察学生的推理判断能力，考察学生抓住几何图形关系建立方程解决问题的能力，主要用几何法来解决问题，多数情况下运算过程相对比较简单，近几年的高考题很少出现运算量很大的小题。而解答题则着重考察学生利用代数法解决几何问题的能力，它的主要考察学生是否能把几何问题转化成代数问题，通过对代数式的运算变形来解决问题。及主要运算特点就是以字母运算为主，而且运算量相对比较大，这是大部分学生对这道题感到困难的主要原因。而解决这个难点的最主要的方法是采取“设而不求”的方法简化运算过程，也就是利用韦达定理当中的两根之和与两根之积的关系整体代入简化运算过程。因此，正确的将已知几何条件或要求证的结论翻译为坐标式，再将坐标式的结构转化成韦达定理的结构是关键。下面我们根据运算及转换难易程度，把它分为以下几个类型。
第一种类型，不需要进行转化，只需直接整体代入公式即可。在圆锥曲线中最常用的公式就是弦长公式，圆锥曲线的统一弦长公式是：斜率为k的直线与圆锥曲线交于 两点，联立直线与圆锥曲线方程消元后得关于x或y的一元二次方程的二次项系数为记为a，判别式记为△，则
（联立方程消去y时用）或
（联立方程消去x时用）。根据题目条件的特点选用适当的形式可以简化运算过程。
例1：（2016年全国1卷20题改编）已知圆 -15=0和椭圆，直线l过点A(1，0)且与x轴不重合， l交椭圆于M，N两点，过A且与l垂直的直线与圆交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。
解：设:，，，由消去x，得，即，.
则
=，
因为PQ⊥，所以PQ:，即，圆的标准方程为，所以，圆心（-1，0）到PQ距离
所以
∴S四边形MPNQ=|MN|·|PQ|=
.
（弦长另解：由消去y，得，
所以= ）
本题将消元后的各项系数带入公式就可以得到参数m表示的弦长，这使得弦长计算过程更简洁。而求圆的弦长优先用垂径定理，求抛物线过焦点的弦长优先用公式（开口向右抛物线）。当统一成一个参数m后，问题就转化为函数最值问题，根据参变量m的范围，用函数方法即可解决问题。例1运算简便的另一个关键是过点A(1，0)的直线l方程的假设，一般直线l方程的假设有两种：①（不含过点A垂直x轴的直线）；②（不含过点A垂直y轴的直线）；这两种假设中m与k不为0时它们的关系为，根据本题条件，第①种假设需要对l过垂直x轴的情况单独讨论，且运算量稍大。从运算角度来说，多数情况下，当已知直线过x轴上的定点时，第②种方程假设运算量较小，当已知直线过y轴上的定点时，第②种方程假设运算量较小。当然，除了考虑运算量，有时还需考虑是否需要分类讨论，是否需要通过特殊情况来探究一般结论来合理假设直线方程，以便寻找解题思路或简化解题过程。
第二种类型是把几何条件或结论用坐标表示出来后，其结构本身就是韦达定理的两根之和或两根之积的结构，这时候我们可以通过两次消元方法将坐标转化为参数。在直线与椭圆相交或直线与双曲线相交类型问题当中，我们联立直线方程与圆锥曲线方程消去x和消去y后，得到的两根之和以及两根之积的四个式子的分母是相同的，这一特征为我们后续的运算起到很大的便利，所以遇到这种类型题，建议学生优先通过两次消元的方法来简化运算过程。
第三种类型是把几何条件或结论用坐标表示出来后，必需将横坐标和纵坐标统一才能用韦达定理整体代入，最常见的情况就是出现了xy项。横纵坐标之间的转换，最常用的是直线的方程，如果圆锥曲线是抛物线，根据情况也会使用抛物线的方程来转换。而对于“中点弦”问题，也会用椭圆或双曲线方程，通过点差法将点的坐标转换为参数。下面以2017年全国3卷第20题为例，通过对比了解这三种方法的特点。
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例2：（2017年全国3卷20题）已知抛物线，过点的直线交与，两点，圆是以线段为直径的圆．
（1）求证：坐标原点在圆上；
（2）设圆过点，求直线与圆的方程．
解：（1）显然当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．
设，，，联立，得，恒大于0，，．（*）
方法1：同理可得，，
所以，所以，即点在圆上．
方法2：由抛物线方程可得，
，
所以，即点在圆上．
方法3：由直线方程可得，
，所以，即点在圆上．
（2）若圆过点，则，即 ，
方法1：即.，由（1）方法1可得，
，化简得，解得或1.
方法2：由抛物线方程知：
，
代入（*）得，解得或1.
方法3：由直线方程可得，
，
即，代入（*）化简得，解得或1.
①当时，，设圆心为，则，，半径 ，则圆.
②当时，，设圆心为，，，半径，则圆.
本题将第（1）问所要证的结论和第（2）问给所给的条件转化为交点坐标方程分别为：和 ，由于都是韦达定理中的两根之和与两根之积的结构，因此，方法1在转化为参数m的关系式时直接分别消去x，y。方法2用抛物线方程将x转化为y，然后再转化为参数m。方法3用直线方程将x转化为y，然后再转化为参数m。从运算角度来看，本题第（1）问方法2更运算简单，但对整道题，方法1运算更简单。
以上是通过设而不求、整体代入方法简化圆锥曲线中的运算困难，在高考中还有一类题需要你必须把交点的坐标求出来才能进行下一步计算。这类题的运算就更难了，采取什么办法进行简化运算，还要根据题目的特点。比如说相同运算过程，我们可以用换元的方法来简化运算过程。
例3：（2016年全国2卷20题改编）已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.当时，求k的取值范围.
解：直线AM的方程为，联立并整理得，
，
解得或，
所以，
因为MA⊥NA.所以直线AN的方程为，
所以，（*）
因为，所以，整理得，．
因为椭圆E的焦点在x轴上，所以，即，整理得
解得．
例3的第一个运算难点在于点M的坐标，由于另一个交点A坐标已知，所以消元后关于x的一元二次方程的其中一根为A点横坐标，这时，利用韦达定理中两根之和与系数的关系快速求出M点横坐标。第二个运算难点是求和，首先利用交点A坐标已知易求出M点坐标，从而在求弦长可用更简洁公式，避免更复杂运算。其次，在求出以后接着求时，通过观察对比，直接用来代换中的k就可以求出的值，从而大大的简化了运算过程。
从以上例子可以看到，直线与圆锥曲线类型及答题运算中的难点，都是有对应的简化运算策略，只要加强训练，这些难点数学科高考临界生还是可以突破的。
论文作者:潘承猛,陈杰
论文发表刊物:《中小学教育》2019年11月2期
论文发表时间:2019/12/9
标签：直线论文; 方程论文; 坐标论文; 圆锥曲线论文; 方法论文; 抛物线论文; 运算量论文; 《中小学教育》2019年11月2期论文;