噪声野值下的学生t 分布混合CPHD滤波
王明杰，姬红兵，刘 龙
(西安电子科技大学 电子工程学院，陕西 西安 710071)
摘要： 针对过程噪声和量测噪声野值导致高斯混合势概率假设密度滤波性能下降的问题，提出了一种基于学生t 分布的势概率假设密度滤波。首先，引入学生t 分布对重尾的过程噪声和量测噪声进行建模；其次，将多目标后验强度近似为学生t 分布混合形式，推导了基于学生t 分布的势概率假设密度滤波的闭合解，并采用矩匹配算法防止学生t 分布的自由度无限增长。仿真结果表明，在含有过程噪声和量测噪声野值的环境下，所提算法的目标数估计精度和最优子模式分配距离优于高斯混合势概率假设密度滤波和学生t 分布混合概率假设密度滤波，提高了多目标跟踪性能。
关键词： 噪声野值；多目标跟踪；势概率假设密度；学生t 分布
日益复杂的战场环境对多目标跟踪技术提出了越来越严格的要求，也使得多目标跟踪领域受到更多国内外学者的关注。由于目标会在未知时间和未知地点新生或消亡，因此多目标跟踪的目的不仅需要估计多目标运动状态，而且需要估计时变的目标数目。基于随机有限集[1](Random Finite Set, RFS)的多目标滤波算法因可以避免计算目标与量测之间的数据关联问题而得到广大学者的青睐。由于在滤波过程中联合传递目标强度和目标数概率分布，基于随机有限集的势概率假设密度(Cardinalized Probability Hypothesis Density, CPHD)[2-3]滤波能够获得较高的多目标状态和数目估计精度。因此，势概率假设密度滤波的高斯混合实现(Gaussian Mixture, GM)[3]被广泛应用于各种复杂的多目标跟踪问题[4-5]。高斯混合势概率假设密度(Gaussian Mixture Cardinalized Probability Hypothesis Density, GM-CPHD)滤波通常假设过程噪声和量测噪声均服从高斯分布。然而，在实际应用中，过程噪声与量测噪声难以满足这一假设，尤其当噪声出现野值时，将不再服从高斯分布。野值可以被定义为位于整体分布之外的采样值[6-7]。在多目标跟踪场景中，当目标突然发生系统动态模型无法匹配的机动时，则可认为出现了过程噪声野值。观测目标背景变化、传感器自身的不稳定性将导致量测噪声野值。同时，由于目标散射特性产生的闪烁噪声亦可看作为量测噪声野值[8]。含有野值的过程噪声或量测噪声服从重尾的非高斯分布，GM-CPHD滤波对噪声野值非常敏感，当噪声野值出现时，其跟踪性能会急剧下降，这是由于高斯分布的轻尾特性无法匹配重尾的过程噪声和量测噪声野值。
文献[9]将过程噪声和量测噪声建模为学生t 分布，且将目标后验概率近似为学生t 分布，从而得到了基于学生t 分布的线性卡尔曼滤波[9]并被扩展到非线性系统中[10,12]。但上述方法只能处理单目标场景。文献[13],[14]提出了基于学生t 分布的概率假设密度(Probability Hypothesis Density, PHD)滤波，然而，该算法的势估计精度会随着目标数增大而降低。
针对以上问题，笔者提出了学生t 分布混合势概率假设密度(Student’s T Distribution Mixture CPHD, STM-CPHD)滤波算法，该算法将过程噪声和量测噪声均建模为学生t 分布，并将多目标概率假设密度近似为学生t 分布混合形式，利用学生t 分布的重尾特性确保在出现噪声野值时目标能够获得一个不可忽略的权值，所提算法可以有效处理噪声野值下的多目标跟踪问题。
1 学生t 分布
假设V >0,V ∈R ，服从分布V ～Gam(υ /2,υ /2)，其中Gam(α ,β )表示形状参数为α >0，尺度参数为β >0的伽马分布。令随机变量z ∈R d ，服从均值为0 ，方差为Σ 的高斯分布N (0 ,Σ )。则
x =μ +(1/V 1/2)z ，
(1)
其中，服从参数为μ ，Σ 和υ 的多维学生t 分布[9,15]S t (x ;μ ,Σ ,υ )，其概率密度函数可以表示为
(2)
为了方便，笔者用S t (x ;μ ,Σ ,υ )来表示式(2)。
2 学生t 分布混合势概率假设密度滤波
针对过程噪声和量测噪声导致GM-CPHD滤波性能下降的问题，提出学生t 分布混合势概率假设密度(STM-CPHD)滤波。在提出STM-CPHD滤波前，首先需要给出一些基本假设和两条引理。
假设1 过程噪声w k 和量测噪声v k 均服从如下学生t 分布：
p (w k )=S t (w k ;0 ,Q k ,υ 1),p (v k )=S t (v k ;0 ,R k ,υ 2) 。
(3)
假设2 每个目标的状态转移函数和量测似然均服从线性学生t 分布模型，即
通常电影叙事会与文学叙事相比较。电影由镜头组成，镜头就是媒介，对现实世界有最直观的表达。文学叙事以文字符号为媒介的，有着远较电影叙事的自由度。与同是表演性的戏剧叙事相比，电影因其镜头可以移动、切换、剪辑而具有了更为广阔自由的表现时空，此外电影还可以采用顺叙、倒叙、插叙等多种叙事结构进行叙事行为。因此，独特的叙事特点，是电影艺术构成的关键。也正是因如此，相关工作者对电影叙事的实践探索，一直贯穿在整个电影艺术发展史之中。
(4)
则量测更新部分的概率假设密度D z,k |k -1(x )可以表示为
假设3 目标的存活概率和检测概率均假设为状态独立的，即
其中，
p S,k (x )=p S ,p D,k (x )=p D 。
(5)
假设4 新生目标随机有限集的强度表示为学生t 分布混合形式，即
为了得到最优参数方案，有必要进行范围计算分析和每组仿真结果的每个因子水平的平均值计算．计算结果列于表5．
(6)
给定假设1～4，假设k -1时刻多目标后验概率假设密度D k-1 和后验势分布p k-1 已知，且D k-1 近似为如下学生t 混合形式:
引理1 给定F 、m 、P 和Q ，且P 和Q 为正定矩阵，则下式成立：
(7)
引理2 给定H 、m 、P 和R ，且P 和R 为正定矩阵，则下式成立，
(8)
秀容月明一抬头，正撞上乔瞧那灼热的目光，心中慌乱，不禁一个趔趄，他脚步不稳，乔瞧也站不稳了，一声惊呼，就要摔倒。
本文第1节介绍国内外的相关工作；第2节提出了隐私驱动的细粒度的访问控制机制，并对该机制的不同的组成部分进行详细的描述；第3节通过一个例子来证明该访问控制机制的可行性；最后，在第4节对全文进行总结并提出了一些未来的研究方向。
(9)
以上两条引理的证明可以参考文献[9]和文献[10]。
1.STM-CPHD预测
其中，
和
分别表示新生目标第i 个学生t 分量的权值，均值，尺度矩阵和自由度。
STM-CPHD在实现多目标状态提取时首先需要通过势分布p k (n )估计目标数，选用势分布的最大似然估计目标数，即
然后取前N k 个权值最大的学生t 分量作为多目标状态估计结果。
(10)
则k 时刻预测势分布p k|k -1和概率假设密度分别为
(11)
D k|k -1(x )=D S,k |k -1(x )+b k (x ) ,
(12)
其中，b k (x )由式(6)给出，
Clouds cover whole sky in winter-morning, snow will fall on the same day.
(13)
(14)
下面将给出STM-CPHD预测的证明推导过程。
证明：根据势概率假设密度滤波势分布预测公式[3]以及假设3，k 时刻多目标预测势分布p k|k -1计算为
(15)
根据势概率假设密度滤波存活目标概率假设密度预测公式[3]以及假设2和假设3，k 时刻存活目标预测PHD为
(16)
根据引理1，式(16)可进一步写为
由于手机、平板等一些高科技电子产品的兴起，许多人成为了“低头族”，随时随地玩手机。适量地玩并不是不可以，但是玩手机的时间不宜过久，这是对于时间的一种浪费，尤其是教师，如果利用大量宝贵的时间阅读学习、提升自己，而不是埋头沉迷于高科技产品，那么对于学生来说，能够拥有这样的教师无疑是幸福的。
(17)
证明完毕。
2.STM-CPHD更新
陶行知曾经提出“社会即学校”的思想，知识如果不能加以应用，就会变成“死知识”.高中数学教学不可以忽视生活，需要明确教育的终极目标是希望学生能够将课堂所学的知识应用于实际生活当中，解决问题.因此探究式教学需要重视社会实践，让学生利用课外的时间走出校园，将抽象的数学知识与实际的问题联系起来，从而提升综合应用知识的能力.
假设k 时刻多目标预测势分布p k|k -1(n )和预测概率假设密度D k|k -1(x )已知，且D k|k -1(x )表示为学生t 混合形式
(18)
则k 时刻后验势分布p k 可由下式计算:
(19)
且多目标后验概率假设密度D k (x )可以表示为学生t 混合形式，表示如下
(20)
其中，
(21)
下面给出STM-CPHD滤波的更新证明。
人工智能对互联网期刊等数字出版领域的各个环节都会具有极大的推动作用。王晓光等学者认为，未来人工智能在内容生产方面，甚至于发展到根据用户特征实时生产个性化内容。在内容编辑方面，要充分发挥人工智能采集信息和组织内容的作用以及对文字进行规范化处理的能力，减少繁琐、简单的工作任务压力，提升期刊社对内容质量把控的能力等。在内容发行传播方面，要利用人工智能实现对用户进行个性化定制与推送服务。
(22)
根据假设2和引理1进一步可得
(23)
同理，量测更新的概率假设密度D z,k |k -1(x )表示为
(24)
根据引理2，可进一步得
(25)
因此,可得式(19)～式(21)。证明完毕。
3.矩匹配
由式(21)可知，随着递归算法的进行，学生t 分布的自由度会随着递归的进行会无限增大，导致学生t 分布混合收敛为高斯混合。所提滤波会因此失去学生t 分布的重尾特性，无法处理过程噪声和量测噪声野值。笔者采用矩匹配算法[9-10]解决该问题，按照式(26)来匹配学生t 分布的一二阶矩，
(26)
其中，f k|k -1(x |ξ )和g k (z |x )分别表示转移概率密度和量测似然函数。F k-1 和H k 分别为单目标状态转移矩阵和量测矩阵。
(27)
4.状态提取和修剪合并
由图5(c)可知，asp随S的增加而迅速降低，并随S的继续增大而逐渐收敛于特定值.将式(19)代入式(17)可得
与GM-CPHD滤波相似，为了减少无限增长的学生t 分量，需要采用修剪合并算法将学生t 分量控制在合理水平。修剪的目的是删除权值小于某一修剪门限T p 的分量，避免权值较小的目标浪费运行时间。合并是为了将相同或者相近的学生t 分量合并为一个目标，以减少重复计算来降低计算复杂度。若第i 个分量和第j 个分量距离小于门限T u ，即
则将分量i 和j 合并为一个分量。值得注意的是，在计算距离时，需要采用协方差
而不是尺度矩阵
证明：根据势概率假设密度滤波势分布更新公式[3]，其参数
中的e j (Ξk (D ,Z ))可以计算为
5.STM-CPHD与GM-CPHD的关系
如上所述，当自由度参数趋于无穷大时，学生t 分布将收敛为高斯分布。因此，GM-CPHD滤波可以被看做为STM-CPHD滤波的一种特殊形式，证明如下。
证明：当自由度趋于无穷，STM-CPHD滤波中各学生t 分布混合将收敛为高斯混合，即
萍萍就抬起手来擦干净了眼泪，这时候我脑袋热得直冒汗，我的情绪极其激昂，也就是说我已经昏了头了，我竟然以萍萍丈夫的口气对林孟说：“现在你该走了。”
(28)
(29)
(30)
(31)
证明完毕。
3 实验仿真分析
为了验证所提算法的有效性，分别将所提算法与GM-CPHD滤波，学生t 分布混合概率假设密度(STM-PHD)滤波[13]对多目标跟踪性能进行对比，并采用最优子模式分配[16](Optimal Subpattern Assignment, OSPA)距离作为性能评价指标。
3.1 参数设置
多目标场景与文献[17]类似，含有野值的过程噪声和量测噪声分别建模为
(32)
其中，p c =0.05,表示噪声被污染概率，σ w =1，σ v =5m ，I 为单位矩阵。式(32)表示过程噪声和量测噪声分别以概率1-p c 按照正常协方差的高斯分布产生，以概率p c =0.05按较大协方差的高斯分布产生。目标的存活概率和检测概率分别为p S =0.99和p D =0.98。杂波强度为κ k (z )=λ c /V ，其中，λ c =10,表示平均杂波数，
和
分别表示学生t 分布混合实现和高斯混合实现算法的新生目标强度。其中，
修剪与合并的门限分别为T p =10-3，T u =4。最优子模式分配距离参数分别设为p =1，c =200，共进行100次蒙特卡罗仿真实验。
心理干预前后患者焦虑、抑郁、SCL-90得分干预组与对照组有显著差异。本研究综合运用各种干预措施，对患者实施心理护理。有研究表明[4，5]，支持性心理护理对改善患者情绪是有效的。陈晶等研究表明[6，7]，合理运用心理治疗手段，如行为疗法、暗示疗法、音乐疗法对患者情绪的改善是有效的。
3.2 实验结果
图1给出了STM-CPHD滤波、STM-PHD滤波和GM-CPHD滤波在过程噪声和量测噪声野值概率均为0.05时的目标数估计结果。从图1可以看出，本文所提STM-CPHD滤波在过程噪声和量测噪声出现野值的情况下能够获得更精确的目标数估计，STM-PHD滤波次之，GM-CPHD滤波目标数估计结果最差。这是因为GM-CPHD滤波的轻尾高斯噪声假设无法匹配重尾的过程噪声和量测噪声。通过图2所示的STM-CPHD滤波与STM-PHD滤波目标数估计和标准差曲线，可以发现所提STM-CPHD滤波势估计方差明显小于STM-PHD滤波。这是由于概率假设密度滤波只传递了势分布的均值，且其势估计方差会随着目标数增加而增大，势概率假设密度滤波传递的完整后验势分布，进而能够得到更精确的目标数估计结果。
图3给出了STM-CPHD滤波、STM-PHD滤波和GM-CPHD滤波在过程噪声和量测噪声野值概率均为0.05时的最优子模式分配距离。由图3可以看出，GM-CPHD滤波性能最差，这是由于野值的出现致使目标漏跟，导致较差的目标数估计结果，进而增大了最优子模式分配距离。而所提STM-CPHD滤波的最优子模式分配距离整体上低于STM-PHD滤波。这是因为STM-CPHD滤波具有较小的势估计方差，从而能够获得更精确的多目标状态估计。但是在第20,40,60,70,80时刻，图3中STM-CPHD滤波的最优子模式分配距离误差明显大于STM-PHD滤波。这是由于在这些时刻有目标新生和消亡，而势概率假设密度滤波在目标数估计上比较保守，其虽然能保证较低的势估计方差，但对目标数变化不敏感，导致目标数估计在目标新生和消亡时具有一定的延时。
表1给出了STM-PHD滤波、GM-CPHD滤波和STM-CPHD滤波在过程噪声和量测噪声野值概率均为0.05时的平均运行时间。从表1可以看出，STM-PHD滤波所用时间最短，而STM-CPHD滤波需计算势分布，因此运行时间最长。值得注意的是，GM-CPHD滤波与STM-CPHD滤波的计算复杂度理论上相近，但由于GM-CPHD滤波在跟踪的过程中发生目标漏跟，导致其运算时间减少。
当今主流的输出语言主要是英语，文化支撑，以及不同国家语言之间的交流，还有更难的语言。从目前中国的出口贸易书籍，香港，澳门，台湾及东南亚的主要输出对象的话语部分，对美国和欧洲的产量却很少。语言不通，输出到西方国家，也有很多的翻译工作的书籍。然而，由于翻译的费用，这本书获得了出口贸易的影响。书籍翻译中文的外交汉学家少和翻译的成本比较高。这些已经成为海外中国图书翻译出版的一大瓶颈。他们并没有考虑打破翻译质量。所以时间一长，出版商渐渐失去了热情在出口中国图书到海外这方面。
为了进一步验证所提算法的性能，实验比较了几种算法在不同过程噪声和量测噪声概率下的平均最优子模式分配距离，如图4所示。由图中可以看出，3种算法性能随着噪声野值概率的增加而下降。GM-CPHD滤波性能下降最快，这是因为更高的野值出现概率将导致目标的漏跟几率增加，进而降低了滤波跟踪性能。所提STM-CPHD滤波优于其他两种方法，这是由于STM-CPHD滤波可以利用学生t 分布的重尾特性来更好地处理过程和量测噪声野值，同时具有势概率假设密度滤波对势估计稳定的优点。图4显示当野值概率较小时，GM-CPHD滤波的平均最优子模式分配距离略低于STM-PHD滤波，这是由于势概率假设密度滤波稳定的势估计一定程度上弱化了野值的影响，且概率假设密度滤波本身具有目标数估计不稳定的缺点。
图1 STM-CPHD滤波、STM-PHD滤波和GM-CPHD滤波的目标数估计对比
图2 STM-CPHD滤波和STM-PHD的目标数均值和标准差
图3 STM-CPHD滤波、STM-PHD滤波和GM-CPHD滤波的OSPA距离对比
图4 STM-CPHD滤波、STM-PHD滤波和GM-CPHD滤波在不同噪声野值概率下的平均OSPA距离对比
表 1 3种算法平均运行时间
4 结束语
笔者针对传统GM-CPHD滤波无法处理过程噪声和量测噪声野值的问题，提出了一种基于学生t 分布的势概率假设密度滤波算法。该算法利用学生t 分布来匹配重尾的过程噪声和量测噪声，并近似多目标后验概率假设密度为学生t 分布混合形式，得到了势概率假设密度滤波的线性解析解。所提算法是传统GM-CPHD滤波的广义形式，当学生t 分布的自由度趋于无穷大时，所提算法将收敛为GM-CPHD滤波。仿真实验表明，所提算法能够有效解决过程噪声和量测噪声下的多目标跟踪问题。下一步工作将考虑将所提算法处理噪声野值下的非线性多目标跟踪问题。
如果增大拉曼泵浦功率或者选用拉曼增益系数高的光纤做传感光纤,运用本实验的无源传感系统可以实现75 km以上距离的传感信号探测。进一步的,调节光纤环镜内的偏振控制器(PC)还可以调整信号和泵浦光的反射率,可以进一步优化掺铒光纤激光器阈值和输出激光信号功率等。
参考文献：
[1] MAHLER R P S.Statistical Multisource-multitarget Information Fusion[M].Norwood: Artech House, 2007.
[2] MAHLER R.PHD Filters of Higher Order in Target Number[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2007, 43(4): 1523-1543.
[3] VO B T, VO B N, CANTONI A.Analytic Implementations of the Cardinalized Probability Hypothesis Density Filter[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2007, 55(7): 3553-3567.
[4] 李翠芸,王精毅,姬红兵.高斯过程回归的 CPHD 扩展目标跟踪[J].西安电子科技大学学报, 2017, 44(3): 8-12.
LI Cuiyun, WANG Jingyi, JI Hongbing.Extended Target Tracking Based on CPHD with Gaussian Process Regression[J].Journal of Xidian University, 2017, 44(3): 8-12.
[5] 李翠芸,王精毅,姬红兵，等.模型参数未知时的 CPHD 多目标跟踪方法[J].西安电子科技大学学报, 2017, 44(2): 37-41.
LI Cuiyun, WANG Jingyi, JI Hongbing, et al.CPHD Multi-target Tracking Algorithm with Unknown Model Parameters[J].Journal of Xidian University, 2017, 44(2): 37-41.
[6] AGAMENNONI G, NIETO J I, NEBOT E M.Approximate Inference in State-space Models with Heavy-tailed Noise[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(10): 5024-5037.
[7] BARNETT V, LEWIS T.Outliers in Statistical Data[M].New York: Wiley, 1978.
[8] HEWER G A, MARTIN R D, ZEH J.Robust Preprocessing for Kalman Filtering of Glint Noise[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1987, 23(1): 120-128.
[9] ROTH M, OZKAN E, GUSTAFSSON F.A Student’s t Filter for Heavy Tailed Process and Measurement Noise[C]//Proceedings of the 2013 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing.Piscataway: IEEE, 2013: 5770-5774.
[10] HUANG Y, ZHANG Y, LIN, et al.Robust Student’s t Based Nonlinear Filter and Smoother[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2016, 52(5): 2586-2596.
[11] HUANG Y, ZHANG Y.Robust Student’s t-based Stochastic Cubature Filter for Nonlinear Systems with Heavy-tailed Process and Measurement Noises[J].IEEE Access, 2017, 5: 7964-7974.
[12] STRAKA O, DUNíK J.Stochastic Integration Student’s-t Filter[C]//Proceedings of the 2017 20th International Conference on Information Fusion.Piscataway: IEEE, 2017: 8009741.
[13] LIU Z, CHEN S, WU H, et al.A Student’s t Mixture Probability Hypothesis Density Filter for Multi-target Tracking with Outliers[J].Sensors, 2018, 18(4): 1095.
[14] LIU Z W, CHEN S X, WU H, et al.Robust Student’s t Mixture Probability Hypothesis Density Filter for Multi-target Tracking with Heavy-tailed Noises[J].IEEE Access, 2018, 6: 39208-39219.
[15] ROTH M.On the Multivariate t Distribution: LiTH-ISY-R-3059 [R].Norrköping: Linköpings University, 2013.
[16] SCHUHMACHER D, VO B T, VO B N.A Consistent Metric for Performance Evaluation of Multi-object Filters[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2008, 56(8): 3447-3457.
[17] VO B T, VO B N, CANTONI A.The Cardinality Balanced Multi-target Multi-Bernoulli Filter and Its Implementations[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2009, 57(2): 409-423.
Student ’s t distribution mixture CPHD filter with noise outliers
WANG Mingjie ，JI Hongbing ，LIU Long
(School of Electronic Engineering, Xidian Univ., Xi’an 710071, China)
Abstract : In order to solve the performance degradation of the Gaussian mixture cardinalized probability hypothesis density (GM-CPHD)filter induced by the process and measurement noise outlier, a novel CPHD filter based Student’s t distribution is proposed.The method introduces the Student’s t distribution to model the heavy tailed process and measurement noise.By approximating the multi-target posterior intensity as a Student’s t distribution mixture form, the linear closed-form solution of the CPHD is derived.Furthermore, the moment matching algorithm is used to prevent the infinite growth of the degree of freedom of the Student’s t distribution.Simulation results demonstrate that the proposed filter can achieve a better target tracking performance than the GM-CPHD filter and the Student’s t distribution mixture probability hypothesis density filter under process and measurement noise outliers.
Key Words : noise outlier；multi-target tracking；cardinalized probability hypothesis density；Student’s t distribution
中图分类号： TN953
文献标识码： A
文章编号： 1001-2400(2019)05-0134-08
收稿日期： 2019- 04- 12
网络出版时间： 2019- 08- 27
基金项目： 国家自然科学基金(61871301,61803288)
作者简介： 王明杰(1988—),男，西安电子科技大学博士研究生，E-mail：dtwmingjie@163.com.
网络出版地址： http://kns.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20190826.0917.006.html
doi： 10.19665/j.issn1001-2400.2019.05.019
(编辑：王 瑞)
标签：噪声野值论文; 多目标跟踪论文; 势概率假设密度论文; 学生t分布论文; 西安电子科技大学电子工程学院论文;