基于维修度的一般维修模型研究
冯玉姣1，刘天华2
（1.宜昌测试技术研究所，湖北 宜昌 443003；2.海军驻宜昌地区军事代表室，湖北 宜昌 443003）
摘 要： 针对指数型产品，在分析故障递增类产品的一般维修模型的特点的基础上建立了基于维修度的数学模型，并研究了维修度和失效率的3种参数估计方法，即矩估计、极大似然估计和贝叶斯估计。为了方便计算，采用蒙特卡洛模拟的方法产生故障数据，分别利用3种方法计算得到了参数的估计值，结果与实际基本相符。
关键词： 一般维修；参数估计；维修度；失效度
0 引言
近年来，武器装备技术迅猛发展，装备更新步伐加快。一方面，由于训练使用强度的加大，装备发生故障的频率在逐渐地升高；另一方面，装备的研制周期缩短，一些质量问题在部队服役期间才得以暴露，从而严重地影响了装备的作战效能。目前，装备的 “六性”问题日益凸显，因而受到了各方的普遍关注，尤其是针对已经服役的装备，根据其自身的可靠性特点开展维修性、保障性等方面的研究成为了热点。当前，维修在现代企业中的地位日益重要。据统计，故障维修和停机损失费用已占其生产成本的30%～40%。有些行业，维修费用已跃居生产总成本的第二位，甚至更高。随着可靠性理论研究的深入和人们对维修性实践的认识的提高，针对维修性，形成了一种普遍适用的维修理论——以可靠性为中心的维修 （RCM:Reliability-Centered Maintenance） [1-2]。实践证明:如果RCM被正确地运用到现行的维修中，在保证生产安全性和设备可靠性的条件下，可将日常维修的工作量降低40%～70%。
目前，RCM主要围绕维修方式、维修时机和维修效果等开展研究。不同产品的故障规律是不同的，所采取的维修策略也是有差异的。为了便于研究装备维修后的可靠性，学者们建立了许多数学模型。早在1986年，Kijima M和Sumita A就提出了虚拟寿命和维修度的概念，后来，Dinesh U等采用广义更新过程 （Generalized Renewed Process）对维修性进行了建模 [3-4]。国内学者如左洪福教授等也采用该模型研究了航空类装备在不同维修方式下的维修效果[5-6]。这些研究主要是假设故障产品在维修后 “修复如新 （完全维修）”“修复如旧 （最小维修）”和 “修复比旧好比新差”。完全维修是指产品的故障率恢复到寿命为0的时刻，相当于更换一个全新的备件；最小维修则是指产品的故障率恢复到产品故障前的时刻。这些研究成果为产品故障规律的研究和维修策略的制定奠定了基础。然而，这些模型主要适用于故障类递增的产品，对于故障率为常数的指数型产品却并不适用。实际上大多数电子产品都是属于指数型产品。因此，本文针对指数型产品的特点建立了基于维修度的一般维修数学模型，并给出了维修度和失效率的3种参数估计方法，即矩估计、极大似然估计和贝叶斯估计。为了方便计算，采用蒙特卡洛模拟方法给出了几组计算实例，分别用3种方法得到了参数的估计值。
1 指数型产品一般维修模型
1.1 故障率递增类产品的一般维修模型
假设产品的寿命分布为G（x）。用参数An描述产品第n次维修后的虚拟寿命。如果An=y，那么第n+1次维修后的到达的时间为Xn+1，其分布可根据下面的公式得到:
产品的实际寿命为:
且有Sn=0。假设第n次维修仅仅补偿第n-1次到第n次故障之间的累积损伤，维修度为q，那么第n次维修后的虚拟寿命An为:
甲午战争战败后，中国被迫与日本于1895年4月17日在日本马关(今山口县下关市)签订《马关条约》，该条约及随后签订的《中日通商行船条约》使日本完全取得了与英、法、美等列强相同的贸易通商权益，如《中日通商行船条约》第十款规定:“凡各货物日本臣民运进中国或由日本运进中国者，又日本臣民由中国运出口或由中国运往日本者，均照中国与泰西各国现行各税则及税则章程办理。凡货物于中国与泰西各国现行税则及税则章程之内，并无限制禁止进、出口明文，亦准任便照运。”这些权益包括相同的进出口关税税率、船钞及其他贸易特权。
根据该模型，当维修度q=0时，An=An-1，表明维修后的虚拟寿命与维修前的相同，则该种方式属于完全维修；当q=1时，An=An-1+Xn，表明通过维修后，虚拟寿命与实际寿命一致，即产品的故障率恢复到故障前，属于最小维修；当0＜q＜1时，属于不完全维修。维修度q的物理意义代表了维修的质量与效果。故障率递增类产品维修后的故障率r（t）随时间的变化情况如图1所示。该模型的特点是用于描述故障率递增类产品比较合适，但是，对于故障率为常数的指数类产品来说，由于其 “无记忆性”，即没有累积损伤，因而该模型就不适用了。
图1 故障率递增类产品的一般维修模型图
1.2 故障率为常数的产品的一般维修模型
参照故障率递增类产品的维修模型，可以建立故障率为常数的产品的一般维修模型。假设产品的寿命分布为F （t） =1-exp（-λt）， 失效率为λ， 维修度为q。第一次故障维修后，失效率变为λ1=qλ，q＞0；第n次故障维修后，失效率变为λn=qλn-1。
由于指数分布的无记忆性，产品每次故障维修后的分布与故障前的分布相互是独立的，所以根据极大似然估计原理得到:
当0＜q＜1时，代表修复比旧好，失效率在降低；
他的心虚了。眼前的往生塔，上细下粗，便像山顶的一座孤零零的坟墓。构成塔壁的那些骷髅头，瞪着眼眶，张着大嘴，在夜风中发出似有若无的呜咽。它们望着他，带着邪笑，扭动着身子，头与头之间的摩擦，发出令人毛骨悚然的“嘎嘎”声。
幼儿园信息化教学中呈现一些不足之处，如：幼儿教师目标意识不明确、信息化教学理念陈旧、高水平操作技能欠缺、媒体选择不合理等现象，信息技术不能直接将声、色、味、触等多种刺激作用于幼儿的感官，有感官刺激的局限性，而且单纯的“人机”交互弱化了“人人”交流的作用，不利于幼儿社会化。
其中qk=wεk、qj=wεj/wj分别表示本国与进口中间品目的地、出口目的地的实际汇率。由式(6)可知，企业加成率markup与边际成本mc分别为：
高中为特殊的教育阶段，处在高等教育与义务教育之间，其具有特殊的价值与效用.第一，高中需要担负继续提升学生综合素养的责任；第二，也需从多方面为学生日后接受高等教育做准备；第三，高中生正处于三观形成的主要时期，因此高中教育为学生道德和认知发展的重要阶段.而实际的高中教育，时常是人为割裂了其全面且系统的价值与性能，片面的追求某个效用，三年时间只有两年在学习新课，一年做习题应对高考，进而提升学生升学率，这些显然会阻碍学生日后全面发展.为此，高中教学需融入系统思维.教师不但要局限于高等教育，还需站在更加宽广的立场研究和考虑，其中包含社会、经济、政治等方面，有效协调学生的人文素养与发展能力的关系.
由
， 得到:
当q＞1时，代表修复比旧差，失效率在升高，平均寿命在降低，这也是大多数产品存在的实际情况。故障率为常数的产品维修后故障率r（t）随时间的变化情况如图2所示。
图2 故障率为常数的产品的一般维修模型图
2 指数型产品一般维修模型参数估计方法
根据上一节建立的维修模型，在工程实践中可以通过实际获得的故障数据来研究维修度q和失效率λ的估计方法。
设某指数型产品的初始寿命分布为F1（t1）=1-exp（-λt1），每次故障后维修都会使得失效率发生改变，即维修度为q。那么第一次故障维修后的寿命分布变为 F2（t2）=1-exp（-qλt2）， 第 n-1 次故障维修后的寿命分布变为 Fn（tn）=1-exp（-qλtn）， t1， t2，…tn为故障间隔时间。
2.1 矩估计法
设 x1， x2， …xn为故障间隔时间t1， t2， …tn的一组数据。那么，显然x1，qx2，…qn-1xn可以看做是独立同分布且分布函数为 F（t）=1-exp（-λt）的 n个样本。根据矩估计思想，显然有:
从而有:
由于根据上式不易得到q的表达式，因此通过下面的方法来近似地计算:
2.2 极大似然估计法
式中x=(x1,x2,…xI)T∈RI是一个I维的变量，由表征优化对象的参数所构成。j=1,2…J是优化对象所能取值的区间，fj(x)是关于x的函数，表示在优化对象在j点取值时计算性能与设计指标的差异，其具体的表达式如下式所示：
式中：Xk是k时刻系统状态变量；Zk是k时刻的系统量测变量；Fk是系统状态转移矩阵；Wk是过程噪声Wk～N(Wk；0,Qk)；hk(Xk)是非线性测量函数；Vk是观测噪声为Vk～N(Vk；0,Rk)。Wk与Vk相互统计独立。
《中国经济周刊》记者就上述问题联系天成控股，得到的回复是相关负责人正在出差，回来会与记者联系。截至发稿，记者仍未接到天成控股相关负责人的电话。
由
0，得到:
λ的估计值
显然可以根据式 （11）求得，而q 的估计值
ˆ可以将
代入式 （9） 或式 （10） 使其达到最大而求得，即
， 或者通过
也 能 得到。
2.3 贝叶斯估计法
设λ的先验分布服从Ga（b，a），即π0（λ）
， 其中， b， a为参数。 而根据似然函数式 （9），有:
λ的后验分布为:
RBS (risk breakdown structure,风险分解结构)是一种分层结构的描述，它描述了风险类别和子类别所确定的项目风险，这些风险类别和子类别确定了潜在风险的各个领域和原因[9].
于是得到λ的估计为:
设q的先验分布服从均匀分布U （θ1，θ2），即
则 q 的后验分布为:
当q=1时，代表修复如旧，失效率不变；
化简为:
那么q的估计为:
3 算例分析
在工程实践中，在获得产品的故障数据的情况下能够根据指数型产品的一般维修模型和上述给出的3种参数估计方法估计产品的失效率和维修度。下面给出几组具体算例。
3.1 计算步骤
a）故障数据样本的产生
已知产品的初始分布为F1（t1）=1-exp（-λt1）， 以及维修度 q， 于是可在 （0， 1）之间产生一个随机数ξ1，根据
（1-ξ1）可得到第一个故障数据x1。仍在（0，1） 之间产生一个随机数 ξ2， 根据
可得到第二个故障数据x2。以此类推，得到第n个故障数据xn=-
与航磁异常类似，本区地面磁场总体上亦呈近EW向展布，其中测区南部和中北部宏观上表现为NWW—近EW向的带状低磁异常，而中东部呈NNE—近SN向相对高磁异常，反映二者所处地质背景不同，结合地球物理和区域地质特征，推测前者分别为高山、宝山岩体及其隐伏岩体引起，而后者主要为NNE向的构造所致。其中在图幅西南部的高山岩体及其隐伏地带磁场相对较平稳，说明该地带后期岩浆活动较少、岩体相对较单一；而在图幅东北部的宝山岩体及其隐伏地带磁场变化大、形态复杂，反映构造发育、岩浆作用频繁，成矿地质条件更为有利。此外，研究区中南部NWW—近EW向的条带状高磁异常带为高压输电线等人文干扰引起的假异常。
b）参数估计
分别利用矩估计、极大似然估计和贝叶斯估计种方法计算得到失效率和维修度的参数估计值。
3.2 模拟计算与分析
a）实例1
设产品的寿命分布为F（t）=1-exp（-t），即λ=1，q=1，q的先验分布服从均匀分布U （0，5），λ的先验分布服从Ga（10，10），随机产生10个故障数据，分别利用上述3种方法计算得到的失效率和维修度的参数估计值如表1所示。
b）实例2
设产品的寿命分布为F（t） =1-exp（-1.1t），即λ=1，q=1.1，q的先验分布服从均匀分布U （0，5），λ的先验分布服从Ga（10，10），随机产生10个故障数据，分别利用上述3种方法计算得到的失效率和维修度如表2所示。
以上分别给出了指数型产品在修复如新和修复比旧差两种情况下的参数估计值。从结果中可以看出，利用上述模型与参数估计方法得到的估计值与实际值基本相符，规律一致。
表1 利用3种方法计算得到的失效率和维修度的参数估计值
表2 利用3种方法计算得到的失效率和维修度的参数估计值
4 结束语
针对指数型产品，本文在分析故障率递增类产品的一般维修模型的特点的基础上，建立了基于维修度的一般维修模型，并给出了失效率和维修度的3种参数估计方法，并用模拟数据进行了计算分析，结果表明，利用本文提出的模型和参数估计方法得到的估计值与实际值基本相符，规律一致，后续利用该模型还可以研究产品的维修策略或备件数量预测，以及比较不同参数估计方法的好坏等。
参考文献：
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[6]陈凤腾，左洪福，王华伟，等.基于非齐次泊松过程的航空备件需求研究和应用 [J].系统工程与电子技术，2007， 29 （7）: 69-72.
Research on General Maintenance Model Based on Maintenance Degree
FENG Yujiao1，LIU Tianhua2
（1.Yichang Research Institute of Testing Technology， Yichang 443003， China；2.The Military Representatives Office of PLA Navy in Yichang， Yichang 443003， China）
Abstract: For the exponential products，based on the analysis of the general maintenance model characteristics of the fault-increasing products，a mathematical model based on maintenance degree is established.And three parameter estimation methods of maintenance degree and failure rate， namely moment estimation， maximum likehood estimation and Bayesian estimation， are studied.In order to facilitate the calculation，the Morte Carlo simulation method is used to generate the fault data，and the parameter estimation values are calculated by the three methods respectively，and the results are consistent with the actual conditions.
Key words: general maintenance； parameter estimation； maintenance degree； failure rate
中图分类号： TB 114.3
文献标志码： A
文章编号： 1672-5468（2019）02-0017-05
doi： 10.3969/j.issn.1672-5468.2019.02.004
收稿日期： 2018-04-12
修回日期： 2018-08-16
作者简介： 冯玉姣 （1985-），女，湖北武穴人，宜昌测试技术研究所工程师，从事电子对抗技术方面的研究工作。
标签：一般维修论文; 参数估计论文; 维修度论文; 失效度论文; 宜昌测试技术研究所论文; 海军驻宜昌地区军事代表室论文;