李春霞[1]2002年在《一族耦合的KdV方程及其对应的有限维可积系统》文中进行了进一步梳理1990年，曹策问先生在上海非线性物理国际学术会议上做了题为“通过特征值问题的非线性化产生经典可积系统”的报告，在这篇报告中他提出了非线性化方法。这种方法开始应用到很多2×2矩阵谱问题，得到了数十个有限维可积系统。后来，有人把这种方法推广应用到叁阶和四阶高阶矩阵谱问题。高阶矩阵谱问题是物理界很感兴趣的问题，是目前国际上孤子理论研究的趋势。但由于这种问题计算量大、计算复杂，对高阶矩阵谱问题非线性化的研究较少。 当我们考虑高阶的矩阵谱问题时，需要一些特殊的技巧和进行大量的计算。特别地，体现在算子对的获得和证明守恒积分的对合性和独立性上。 本文考虑了一个有叁个位势的4×4矩阵谱问题：导出一族新的非线性演化方程，其中一个典型的方程是耦合KdV方程，它在物理学中有很重要的应用。同时，借助迹恒等式，这族方程还具有广义双Hamiltonian结构。通过Bargmann约束我们得到一个有限维Hamiltonian系统。利用驻定零曲率方程解矩阵V(λ)的特征多项式：可得到2N个对合的守恒积分。文中用母函数方法给出对合性的证明，从而证明了该Hamiltonian系统在Liouville意义下是完全可积的。此外，还得到了耦合KdV方程的对合解。
陈俊超[2]2016年在《非局域对称和双线性方法在非线性系统中的应用》文中提出本文基于符号计算,研究了非线性科学中的对称性、可积性、KP约化、可积离散及其相关应用问题。主要展开了四个方面的工作：研究了耦合非线性可积系统的非局域对称和相关应用；利用Hirota双线性方法发现了一类多分量孤子方程的Pfaffian形式的孤子解,并开发了检验Pfaffian瓜子解的程序包；基于KP理论研究了多分量耦合Yajima-Oikawa(YO)系统的多暗孤子解、混合孤子解和有理解；构造了耦合YO系统的半可积离散形式及其亮、暗孤子解,并提供了连续和半离散可积(复)Sp(m)-invariant massive Thirring models(SMTM)的Pfaffian形式的多孤子解。第一章为绪论部分,重点介绍了对称理论、双线性方法和符号计算的背景与发展现状,并且阐明了本论文的主要工作。第二章研究了耦合的Hirota-Satsuma coupled Korteweg-de Vries(HS-cKdV)系统和modified Generalized Long Dispersive Wave(MGLDW)系统的非局域对称和相关应用。基于Lax对,推导了由谱函数表示的非局域对称。一方面,成功地将非局域对称局域化,并考虑了局域对称的有限变换和相似约化,得到了精确的孤立波和周期波,Painleve波,有理波等复合波的相互作用解。另一方面,构造了初始系统的负梯队与有限维和无限维可积系统。第叁章首先利用Hirota双线性方法研究了HS-cKdV方程和Ito方程的多分量扩展系统。利用Pfaffian技巧,证明了孤子解满足的双线性方程即为Pfaffian恒等式。其次,基于双线性方法和Pfaffian技术,开发了一个Maple程序包Pfafftest1:可以直接地计算一般形式的Pfaffian;利用叁孤子解条件寻求cmKdV型和cdmKdV型的可积双线性方程。第四章在KP理论基础上,利用双线性方法研究了多分量耦合YO系统的多暗孤子解,混合孤子解和有理解。首先,推导并证明了Gram型和Wronski型行列式形式的N-暗-暗孤子解。暗-暗孤子的碰撞只存在弹性现象并在孤子之间没有能量交换。然后,推导了一维多分量耦合YO系统的N-亮-暗孤子解。在这种混合型孤子中,只有在至少两个短波分量为亮孤子时,这两个短波分量中的两孤子才可能产生非弹性碰撞现象。最后,构造了两维和一维多分量YO系统的显式行列式形式的有理解。基本有理解描述了局域的lump和怪波,其具有叁种不同的类型：亮态,亮-暗态和暗态。非基本型的怪波分成两种类型：多怪波和高阶怪波。特别地,考虑不同的参数要求,我们首次报道了两维暗态和亮-暗态的怪波。第五章利用Hirota可积离散方法,构造了耦合YO系统的半可积离散形式。同时,基于半离散BKP族的Backlund变换,推导了半可积离散耦合YO系统的亮和暗孤子的Pfaffian形式解。提供了连续和半离散可积(复)SMTM系统的Pfaffian形式的多孤子解。虽然半可积离散的SMTM系统可以通过离散Lax对方法得到,但利用Hirota可积离散方法,推导了相同的离散格式。第六章对全文工作进行讨论和总结,并对下一步要进行的研究工作做了展望。
闫振亚[3]2002年在《非线性波与可积系统》文中提出本文以构造性的变换及符号计算为工具，来研究非线性波和可积系统中的一些问题：精确解(如孤子解、周期解、有理解、dromion解及compacton解等)、Panileve可积性、Backlund变换、Darboux变换、对称(相似约化)、条件对称、Lax可积族、Liouville可积的N-Hamilton结构、约束流、对合系统、Lax表示、r-矩阵、变量分离及可积的耦合系统． 第二章和第叁章考虑非线性偏微分方程的精确解的构造：首先给出了C-D对和C-D可积系统的基本理论，然后在第叁章中具体研究了它们的应用：(1)基于两种Riccati方程，提出了两种新的求解非线性微分方程更多解的方法，利用其中的一种方法，得到了WBK方程的12组精确解；(2)对齐次子衡法进行改进，以致于获得了(2+1)-维Broer-Kaup方程的很多新解；(3)基于带有外力项的广义KdV方程的Riccati形式的非等谱Lax对，提出了该方程的一个新的Darboux变换，利用该变换，得到了新的类孤波解和有理解；(4)通过构造了带有外力项的变系数KdV方程的Darboux变换及迭加原理，获得(2+1)-维广义KP方程的新的类单孤波解、双类孤波解和有理解。 第四章讨论了非线性微分方程的Painleve可积性和Backlund变换。利用WTC方法证明了两类(2+1)-维广义Burgers方程是Painleve可积的，并经截断展开原理获得了它们的Backlund变换，其中Cole-Hopf变换是其特例。 第五章考虑了非线性偏微分方程的对称和精确解：(1)将C-K直接法推广到具有全色散项的新的Estevez-Mansfield-Clarkson(EMC)E(m,n)方程中，得到了五种新的对称，进而得到了E(1,n)方程的新的孤波解以及E(m,m-1)方程的新的类compacton解。特别地，获得了E(3,2)方程和E(2,1)方程的新的compacton解；(2)将C-K直接法推广高维情形-(2+1)-维广义KdV方程，获得了8种新的(1+1)-维型的对称。利用这些结果，进一步可知道该方程也可约化为P-Ⅰ型和P-Ⅱ型的方程。最后研究了该方程的cnoidal波和类dromion结构；(3)将C-K直接法推广到(2+1)-维广义Burgers方程中，获得了11种新的(1+1)-维型的对称和6种新的条件对称。 第六章研究了Lax可积的新的方程族和Liouville可积的N-Hamilton结构方面的问题：将屠格式推广到新的含有任意函数的广义Dirac族的谱问题、广义Kaup-Newell谱问题及含有五个位势函数的3×3谱问题，研究了它们的Lax可积的方程族和Liouville可积的Hamilton结构。 第七章讨论了高阶约束流、对合系统、r-矩阵和变量分离性：(1)给出了一个广义Dirac族的Bargman约束流的r-矩阵，一个新的对合系统和解的对合表示；(2)给出了与Guo族有关的高阶约束条件及其可积的约束流(Hamilton系统)，及其Lax表示和r-矩阵；(3)证明了Dirac族的第一约束流的可分离性，并且给出了它的分离方 大连理工大学博工学位论文程． 第八章提出了一个隐式的IOOp代数及其一组基所满足的对易关系，基于其中的新的等谱问题，获得了着名的TC族的新的含有任意函数的LaX可积的耦合系统．
李芳[4]2009年在《与高阶谱问题相联系的孤子方程的分解与有限维可积系统》文中提出本文的前几章对几个高阶的连续谱问题和一个离散谱问题进行了研究,得到了几个新的孤子族,并利用迹恒等式给出了其中两个方程族的Hamilton结构,然后借助于原谱问题及其伴随谱问题,通过非线性化方法,找到了位势与特征函数之间适当的约束关系(Bargmann约束或Neumann约束),进而导出了几个新的有限维系统(Bargmann系统或Neumann系统)和一个辛映射(离散的有限维系统)。随后,利用Lax矩阵给出守恒积分的母函数,进一步证明了所得到这些有限维系统的Liouville可积性。最后作为应用,孤子方程的求解问题被分解成求解两个相容的常微分方程系统(对于离散情形,被分解成求解一个常微分方程系统和一个可积辛映射的简单迭代过程)。在论文的最后一章中,我们对耦合可积无散射方程进行了研究,利用相应的驻定演化方程和椭圆坐标,将方程的解用两个相容的常微分系统的解所表出,随后,引入超椭圆Riemann面与Abel-Jacobi坐标,拉直相应的流。作为应用,流的相容解在Abel-Jacobi坐标下被精确给出。
张玉峰[5]2001年在《孤立子方程求解与可积系统》文中认为本文研究的主要内容包括：C-D对的构造方法与孤立子方程的精确解，包括行波解、周期解；Backlund变换的求法与孤立子间的关系；相似约化与古典Lie群和非古典Lie群方法；孤子族的生成和Lie群结构方程，Hamilton结构及Lax对表示；可积耦合的各种不同构造方法等多个方面。 第二章介绍了C-D可积系统及其在孤立子方程精确求解中的作用，求得了许多有物理意义的非线性演化方程的精确解、奇性解、周期解和有理式解；同时还讨论了生成C-D对的各种方法；研究了利用C-D对(Lax对)构造Darboux变换的方法，作为应用得到了一类Duffing型方程的孤子解。本章最后，给出了含叁个位势的等谱问题对应的叁类Darboux变换。 第叁章主要综述了Backlund变换(BT)的构造方法，包括不含参数的BT和含参数的BT的构造方法。以Benjamin方程为例，给出了含参数的BT的迭加公式以及无穷守恒律的构造方法。 第四章介绍和研究了非线性发展方程的相似约化，以热传导方程为例，说明了非古典Lie群的构造方法；给出了利用非线性变换法求微分方程的相似约化的方法，得到了着名的Boussinesq方程的相似约化；特别地给出了直接约化的方法(CK方法)的改进，求得了广义Burgers方程的各种形式的相似约化，包括行波约化、对数约化、幂形式约化、有理分式约化等，并用非古典Lie群方法一一验证。 第五章介绍和研究了非线性演化方程族的生成及其可积性问题。内容包括几个方面：(1)扩展了屠格式的应用范围，将在loop代数(?)上的屠格式延拓到loop代数(?)上，由此得到了高阶对称约束条件下的约束流的Lax对变换、Hamilton结构、Darboux变换；(2)构造了一个新的loop代数(?)，得到了KN族等的可积耦合；(3)给出了构造Lax对的一般方法，再由loop代数(?)，求出了TD方程族、广义AKNS族的可积耦合；(4)构造了一个不同于loop代数(?)的另一个新的loop代数(?)，由此求出了着名的BPT族的可积耦合。
尤福财[6]2008年在《非线性可积系统及其相关问题》文中研究表明本文的主要内容包括:1.从一个3×3矩阵谱问题出发,推导出广义MKdV方程族,构造此方程族Hamilton结构,证明在Liouville意义下是可积的.通过对称约束得到有限维Hamilton系统。通过Lie代数半直和构造可积耦合系统,利用变分恒等式得到可积耦合系统的Hamilton结构。由拟微分算子技术构造非等谱非交换的KP方程族。2.首次给出两类变系数非线性演化方程的Frobenius可积分解,包括变系数KdV方程,势KdV方程,Boussinesq方程,Camassa-Holm方程等。把(2+1)维广义KP,cKP,mKP方程分解为(1+1)维可积方程,研究2阶复AKNS方程和3阶复AKNS方程的相容解与广义(2+1)维KP,cKP,mKP方程的解之间的关系,并利用Darboux变换得到它们的孤子解,进而将解表示为双Wronskian行列式形式。3.分别利用Hirota方法与Wronskian技术给出五阶KdV方程及其约束方程的精确解,并证明两种解的一致性.将双Wronskian元素满足的条件推广到矩阵情形,导出等谱Levi方程广义双Wronskian行列式解,其中包括孤子解、有理解、Matveev解、complexiton解及混合解。给出非等谱Levi方程的双Wronskian行列式解。研究等谱与非等谱Levi方程孤子解的动力学行为包括单孤子的特征以及双孤子的散射。
吴勇旗[7]2005年在《若干（2+1）维孤子方程的有限参数解》文中进行了进一步梳理(2+1)维孤子方程的显式解的求得是困难问题。近几十年已经取得了不少进展，但各自的方法都有一定的局限性。本文主要是用非线性化方法来研究困难的(2+1)维孤子方程的显式的有限参数解的。本文详细讨论了四个(2+1)维孤子模型，它们是(2+1)-SG方程，两个mKP方程，一个与Boiti-Pempinelli-Tu(BPT)谱问题相应的(2+1)维可积方程。首先，从相应模型的谱问题出发，利用对易条件建立基本恒等式，找出Lenart算子对和Lenart梯度的显式表达式，由此得出(1+1)维孤子方程族，并从两个(1+1)维孤子方程的相容条件构造出有兴趣的(2+1)维孤子方程。然后，经过非线性化手续，由谱问题得到有限维Hamilton系统，用Lax矩阵及守恒积分母函数方法证明它的Liouville完全可积性，由此得到一族相容的完全可积的有限维Hamilton系统，它们给出(2+1)维孤子方程的可积分解。文中运用代数曲线方法，通过恰当引入椭圆坐标和Abel-Jacobi坐标，将Hamilton相流拉直，并直接求积。最后，通过反演到原来的坐标，将孤子方程的解显式地表出。另外，本文还就(2+1)-SG方程和mKdV方程二者之间的关系做了进一步的研究。
于发军[8]2007年在《孤子方程族的可积耦合系统和分数阶Hamiltonian结构》文中认为本文研究的主要内容包括：运用李代数，首先给出一些方程族的可积耦合系统的构造模式，并且给出了非等谱情形的离散可积耦合系统。进而讨论了连续和离散方程族的零曲率表示的李代数结构。另外，还介绍了孤子族的生成及Hamiltonian结构，Liouville可积性。最后利用分数阶微积分给出了孤子方程的分数阶Hamiltonian结构。其具体内容为：第一章介绍了孤立子理论，可积系统，非线性发展方程精确求解，分数阶微积分的历史发展及研究现状，同时介绍了国内外学者在这方面取得的成果。第二章简要的介绍了Kac-Moody代数，Hamiltonian函数的概念及相关的性质。详细的阐述和介绍了AC=BD理论中的一些相关的定理和性质及其在这个框架下的一些重要应用。第叁章首先从新的谱问题出发导出一族矩阵Lax可积方程族，并获得它的Hamiltonian结构。另外从Lax对出发，采用提出的谱扩张方法得到了许多新的可积耦合方程族，在此基础上，把这种方法推广到高维空间，并获得了一系列的多分量可积耦合方程族。但是利用这种方法不能得到可积耦合方程族的Hamiltonian结构(尤其是多分量可积耦合方程族的Hamiltonian结构)，针对此问题，文中给出广义的killing内积，并且运用广义的二次迹恒等式获得了多分量耦合系统的Hamiltonian结构。其中给出了多分量Jaulent-Miodek方程族，多分量2+1维GJ方程族和耦合Dirac方程族的Hamiltonian结构。另外利用一个广义的矩阵谱问题，得到了耦合方程族的R-矩阵。其中以AKNS族为例，得到了耦合AKNS方程族的R-矩阵。第四章从loop代数(?)_1的一个子代数出发，利用屠格式求出了一类离散情形Lax可积耦合的系统，并且得到非等谱的离散可积方程族和耦合系统，另外我们还提出了2+1维非等谱离散可积耦合形式，利用谱参数λ满足的非等谱条件，得到了Blaszak-Marciniak晶格方程的耦合系统。国际着名杂志《Physics Letters A》的编委A.R.Bishop对此种方法给出了很好的评价“The method gives two kinds of classification to a soliton equation，itis an interesting and important work”。另外，进一步考虑了离散系统Darboux变换。最后讨论了离散可积方程与连续可积方程的联系，通常人们采用的是对势函数作变换，而文中采用对算子作变换，利用计算机软件通过比较算子的系数，得到了很好的结果，并且把一个新的离散方程转化成AKNS方程。这样做不仅可以建立离散与连续方程之间的关系，更重要的是可以通过连续型方程的精确解(解析解)获得相应的离散方程的数值解，这样就可以得到更多，更好的数值解。第五章在整数情形可积系统的基础上，进一步考虑分数形的Hamiltonian结构，文中运用了外微分与分数阶微积分结合，给出了分数空间和分数形式的Hamiltonian形式。在这里主要考虑要把整数情形的结论发展到分数情形，建立一套分数阶Hamiltonian结构和可积系统。我们已经完成了分数阶零曲率方程的构造，得到了分数阶情形的AKNS方程和C-KdV方程，并且给出了它们简单形式的Hamiltonian函数。另外利用Riemann-Liouville分数阶算子和分数形式的Possion括号，把Hamiltonian结构的辛形式推广到分数阶情形。
马琳琳[9]2008年在《非线性可积系统与可积扩展》文中提出本文主要研究离散和连续可积系统及其可积拓广。第一章,介绍了孤立子理论的产生与发展、研究概况及其研究的意义。第二章,引入一个离散的特征值问题,利用屠格式导出了一族离散的可积系,建立了它们的Hamilton结构,其次,利用扩展的等谱问题得到一族离散扩展可积模型;接着,研究了一个3×3的矩阵谱问题,利用离散的迹恒等式,导出了一族具有4个分量的离散的可积系统,建立了其Hamilton结构,并且进一步的证明了它的Liouvielle可积性;第叁章,主要研究的是连续可积方程族及其扩展可积模型。基于一个4×4的矩阵谱问题,利用零曲率方程,导出一族连续的可积耦合系统,证明了它们是Liouville可积的Hamilton系统。
孙业朋[10]2003年在《有关非线性可积系统的研究及孤立子方程的Darboux变换》文中研究表明本文分别构造了具有2个位势和3个位势的等谱特征值问题。从等谱问题出发，利用屠格式导出了着名的广义Burgers方程族和一类新的MKdV-NLS方程族，及一族离散的非线性演化方程，且证明了它们均是Liouville可积的广义Hamilton方程族。其中MKdV-NLS方程族还具有双Hamilton结构。同时，应用非线性化技巧，证明了在Bargmann约束下，MKdV-NLS方程族的Lax对可被非线性化为两个有限维Liouville完全可积系。又通过构造Loop代数，分别得到了广义Burgers方程的可积耦合、MKdV-NLS方程族的可积耦合及Dirac方程族的一类扩展可积模型。最后利用Darboux变换方法，通过构造不同的Darboux矩阵，分别得到了混合的非线性Schrdinger方程的N-波Darboux变换，WKI方程的Darboux变换和一族新的离散孤子方程的Darboux变换及精确解。
参考文献：
[1]. 一族耦合的KdV方程及其对应的有限维可积系统[D]. 李春霞. 郑州大学. 2002
[2]. 非局域对称和双线性方法在非线性系统中的应用[D]. 陈俊超. 华东师范大学. 2016
[3]. 非线性波与可积系统[D]. 闫振亚. 大连理工大学. 2002
[4]. 与高阶谱问题相联系的孤子方程的分解与有限维可积系统[D]. 李芳. 郑州大学. 2009
[5]. 孤立子方程求解与可积系统[D]. 张玉峰. 大连理工大学. 2001
[6]. 非线性可积系统及其相关问题[D]. 尤福财. 上海大学. 2008
[7]. 若干（2+1）维孤子方程的有限参数解[D]. 吴勇旗. 郑州大学. 2005
[8]. 孤子方程族的可积耦合系统和分数阶Hamiltonian结构[D]. 于发军. 大连理工大学. 2007
[9]. 非线性可积系统与可积扩展[D]. 马琳琳. 山东科技大学. 2008
[10]. 有关非线性可积系统的研究及孤立子方程的Darboux变换[D]. 孙业朋. 山东科技大学. 2003
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