在实践研究型开放课程教学中注意“衔接”_数学猜想论文

践行与研究公开课教学要注重“联系”，本文主要内容关键词为：课教学论文,注重论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      公开课（包括评优课）是普通教师教学成长的重要锻炼、展示、研究平台——在打造课堂、发展学生的同时，教师成就了自身发展，教师们正是以这种典型的教学与研究层面的“做中学”作为获取专业知识和智慧的重要途径，借此破专业发展瓶颈，追寻教学梦想.本文选取区域教研中的公开课、同课异构中的公开课、系列教例中的公开课作为案例，从三个角度谈公开课教学的促教促研效能.笔者认为践行与研究公开课教学要注重“联系”，在联系中对比分析，引起反思，生成智慧.

      一、联系“旧课”，看是否有教学深加工的空间？

      如今，区域教研中安排公开课已成常态化.以区域教研中的公开课为实践园地，让教师“整顿衣裳起敛容”，推动教学走向优化，这是区域教研追求的目标之一.在区域教研活动中，教研主题往往表明课堂教学的价值取向，公开课教学则承载着对教研主题的实践性诠释作用，为研讨提供物质基础.为此，活动授课教师往往会根据主题，重新审视“旧课”，看是否有教学深加工的空间？面对教学中的困境，主动“设计”行动情境，着力寻求自我突破的办法，在对教研主题的理解中有意识地进行优化改进实验.所以，公开课教学虽在呈现形式上异于普通的家常课，但归根结底，它应只是常态教学的一种公开，实实在在解决以往教学中面临的问题、推动教学走向优化才是公开课教学的回家之路.

      案例1 2014年的“百位名师百节好课百乡行”活动直接指向三星级高中的课堂教学，突出“在充分自主中让学生动起来”的教研主题，探讨实现生“动”的策略、途径、方法.笔者作为该活动的授课教师被安排上苏教版《数学4》（必修）“两角和与差的余弦”一课，在反思自身“旧课”教学的缺憾之后笔者选择了两个点进行突破：如何尽快引出对问题“cos（α-β）能否用α的三角函数与β的三角函数来表示”的思考？如何把课文中“余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α-β≤π的情况”向学生讲清楚？考虑到本课学习涉及的预备知识比较多，针对生源特点，笔者在课前先安排了几个导学问题（回顾任意角的三角函数定义、三角函数的诱导公式；回顾向量的数量积的定义及坐标表示；重做苏教版《数学4》（必修）90页第22题）作为新课学习的先行组织者，又考虑到保持新课教学的新鲜感，要求学生在课前只完成这几个导学问题.接着，在实际课堂教学过程中笔者设计了两个“从特殊到一般”的教学片断进行改进优化.

      教学片断1：为认知需要的制造提速.

      

      （学生中应和者寥寥无几，一脸茫然）

      师：看来是不同于诱导公式的新问题，请同学们先来尝试猜想一下两角差的余弦的一般结论！

      此时，学生给出了诸如“cos（α-β）=cosα-cosβ”等的猜想，猜想的结果都涉及用α的三角函数与β的三角函数来表示cos（α-β），笔者不仅肯定了这一合理的猜想方向，而且还引导学生通过反例否定猜想.至此，学生虽不能猜出具体的公式，但在对猜想的肯定与否定中激发了学生的探究欲望.当然，也自然地引发了学生对问题“cos（α-β）能否用α的三角函数与β的三角函数来表示”的思考，而为了解决这个问题，笔者直接定向引导学生在单位圆中两次计算任意两单位向量的数量积：在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α，β，其终边分别与单位圆交于点A，B，则你能给出点A，B的坐标吗？向量

，

的坐标呢？若设向量

，

的夹角为θ，则你能从向量数量积的定义和坐标表示分别求得向量数量积

·

吗？

      当学生得到cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ时，问题就转化为探讨角θ，α，β之间的关系了，对于这样的一般化问题如何研究呢？再看教学片断2.

      教学片断2：为一般问题的解决支招.

      师：我们得到了结论cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ，那么角θ，α，β之间有什么关系呢？你能从必修4教材90页第22题的解题过程初步了解这个问题吗？

      生1：画出单位圆，设α=75°，β=15°，从画图中发现α-β=θ

      师：很好，生1从无“圆”处发现“圆”，但对角θ，α，β之间关系的猜想正确吗？

      生2：不正确，比如，当α=15°，β=75°，这时α-β=-θ.

      师：换成其他特殊角呢？比如，当α=80°，β=10°或α=10°，β=80°呢？

      生3：其实角α，β的终边状态没有实质性的改变，所以依然还有α-β=θ或α-β=-θ.

      师：是巧合吗？从终边相同的角的集合角度还有其他可能吗？（讨论后提问）

      生4：当α=370°，β=80°时，有α-β=360°-θ；当α=80°，β=370°时，有α-β=-360°+θ.

      生5：还有α=440°，β=10°或α=10°，β=440°情况，当α=440°，β=10°时，α-β=360°+θ；当α=10°，β=440°时，α-β=-360°-θ.

      师：你们回答得很好！从以上特殊化的探索过程，我们可以归纳猜想出角θ，α，β之间有什么关系呢？

      生6：α-β=k·360°±θ，k∈Z.

      师：太好了，猜想正确，事实上，我们还可以通过先做一做书后习题3.1（1）中的第7题，从中感悟对角α，β进行一般化分类的一种方法，这些工作留给大家课后尝试完成，老师期待与你们的交流.不过，到这里，同学们能理解课文中表述“余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，只需考虑0≤α-β≤π的情况”吗？

      生7：根据诱导公式有cos（α-β）=cos（k·360°±θ）=cosθ，诱导公式反映了余弦函数的周期性和奇偶性，并且当0≤α-β≤π时，α-β就是向量

，

的夹角θ这就是课文中“余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，只需要考虑0≤α-β≤π的情况”这句话的具体意思.

      设计意图：教学实质上是师生为了达成教学目标，围绕课程资源所进行的交往活动，但根本上还是学生的活动，学生的活动决定教学的质量.上文教学片断1降低提问起点，以学生最近发展区“诱导公式”为课堂暖场，创设发现情境，浅显而较快地引发了认知需要，明确了学习任务取向；教学片断2从方法论角度引导学生解决一般化问题，通过特殊化探索，归纳猜想，形成结论，增添课堂思维含量.本课还通过课堂留白，让课堂探究延伸到课外，让师生在各自课堂角色中动起来，让师生坚信“动起来，就拥有精彩未来”.

      有人说，上公开课就像家中来客必定要洒扫庭院、准备盛宴一样，其中有准备的紧张，更有展示的兴奋.这就像过日子，如果没有客人，可能会终年粗茶淡饭、散淡随意，正是经常光顾的客人，使得主人的“家政技艺”一日千里.为此，践行公开课教学常需要联系“旧课”，并从中挖掘其教学深加工的空间，以此历练教学水平，提升创新意识.正如一位全国知名的中学校长所说，公开课不是寻常的一饭一蔬，而是教师教学生活中的英雄梦想.在公开课上振翅高飞的教师，那一刻的铭心体验，必将伴随他（她）的整个教学生涯，公开课凝结而成的那一粒可贵的盐，必将成为他（她）每一堂“家常课”不可或缺的调味剂；曾在公开课上颓然坠落的教师，是向一个“旧我”敲响了丧钟，他（她）会“向死而生”，会在一番卧薪尝胆之后迎来一个“新我”的呱呱坠地.

      二、联系“同课”，看是否有“异构”的教学理解与处理？

      从教师即研究者的视角，教师应当在教学中发现问题，研究问题，解决问题；教师应当通过教学工作来检验自己对教学问题的看法是否正确，检验自己解决问题的设想和办法是否有效；教师研究的内容应当是自身在教育教学实践中发现的各种问题.如，文[1]从一节公开课中发现了一个“不易为同行觉察”的问题，并对此作了一些探讨.其实，由于不同的教学思维碰撞、比对，所以通过一组不同教师的同课题公开课，更能促进我们发现“同”中有“异”的一面，即便是在相同的教学法运用中也会感受到授课教师对课程资源组合及教材处理的不同方式与影响.

      案例2 对于“两角和与差的余弦”一课，案例1教学片断2与文[2]都使用了特殊到一般的教学方法，但笔者注意到具体教学中两节课变换特殊量的“序”不一样，特殊量呈现的系统化程度也不一样：文[2]按向量的终点所在象限的不同，先固定向量

（令

=（cos7°，sin7°）），后不断变换向量

（让

分别取（cos67°，sin67°）、（cos110°，sin110°）、（cos260°，sin260°）），而这三组特殊向量只相当于案例1教学片断2中α-β=-θ、α-β=-360°+θ情形，正因为这样较“随意的特殊化”，导致当教师问学生“向量

与

的夹角等于α-β吗？”时，学生立即错误地归纳出“不等于”的结论；而教学片断2则依托课本题寻找特殊角，从“随意的特殊化”中了解当前面临的问题、发现可能的解题途径，后又从角α，β的大小、终边相同的角的集合角度变换对应向量中的角，让学生寻找、体会本质的“序”，以此建立“系统的特殊化”，为归纳出一般化结论“α-β=k·360°±θ，k∈Z”提供素材、方法.基于这样的分析，笔者认为文[2]当中学生8回答“不等于，但根据诱导公式，向量

与

的夹角的余弦值仍等于cos（α-β）”后，教师应顺势引导学生思考：一定不等于吗？向量

与

的夹角与α-β到底是什么关系呢？教师应通过引导学生再给出几个特殊向量来完善较“随意的特殊化”，以此建立“系统的特殊化”，并归纳出一般化结论“α-β=k·360°±θ，k∈Z”，这也是对学生8的回答“但根据诱导公式，向量

与

的夹角的余弦值仍等于cos（α-β）”的补充说明，“让学生看到过程”.至此，才能算给出了文[2]王老师所说的归纳基础上的“推理很严谨”的一般性证明.

      对不同教师执教同一教学内容的教学案例进行充分比较、多方探讨，是提高教师专业水平、提升校本教研实效性的一条有效而便捷的途径.特别是通过研究，你会持续改进教育教学行为，使日复一日、年复一年的教学工作充满着创新的乐趣.为此，教师的专业发展，不仅要积累丰富的教学经验，而且还要养成对教学实践的理性思考和深层研究的品质，要充分激发“希望感到自己是发现者、研究者、探寻者”（苏霍姆林斯基）的内心需要，这是教师专业成长的动力之源.

      三、联系“异课”，看是否有“同构”的教学运作规律？

      著名心理学家林崇德教授从认知心理学、教师心理学的角度提出了“教师教学监控能力”的概念，强调教师的教育工作，多一份反思和监控，就多一份提高，就与优秀教师更接近了一程.公开课教学作为反思和监控的一个重要内容，教师不仅要反思和监控自身及同行的便于比对分析的同课题公开课，而且还特别需要反思和监控系列教例中看似不同的不同课题公开课，以此作为充盈个人专业发展蓄水池的又一有效途径.

      案例3 近年来，笔者有意考察了2003年参加工作的三位青年教师的教学成长情况，他们曾获得过江苏省青年教师优秀课评比一等奖，在赛前磨课中他们以青年教师的好奇心、探究心进行着一次又一次的教学设计与演练，但他们都曾绝望地说过：“我怎么越讲越不会讲啊！”这样残酷的自我否定，伴随着整个的试讲过程，其中的“山穷水尽”与“柳暗花明”，密集降临的忧与喜，也让他们在短时间内迅速完成了对自我执教能力的苛刻审视与更高期许.笔者作为他们的赛前磨课团队主要成员之一，在赛后对他们最终的教学设计进行了复盘式研究分析，发现这三位青年老师对概念（规律）的生成都是在学生活动的思维生惑点处（在问题情境中令人困惑而又希望明白的地方）进行设计，以此创造学生想做、乐意做又能做的课堂氛围，激发了学生的探究欲望，都充分凸显了认知冲突的教学法价值.再有，他们的公开课为了清晰地理解现在的相关问题，激发学生解决问题的欲望，提升课堂教学的德育、智育感染力，教学过程中无一例外地融入了数学史.不过，两位老师对数学史的融入侧重促进学生“过程与方法”的有效达成，一位老师主要从实现“情感态度与价值观”的角度设计教学，增强课堂教学感染力.

      面对不同教师、不同课题、不同时空的三节公开课，我们更多地惊讶于其中的相同因素：同一个参赛学校、同一个磨课团队，同样的专业态度、同样的教学法运用、同样的赛课活动、同样的赛课结果.“行是知之始，知是行之成”，跨越时空、有意汇集、用心联系才会发现不同背景下的同样精彩，才能体悟孕育其中的教学运作规律，才能捕捉到教师成长发展的机会，

      总之，公开课教学是我们可以依托的丰厚土壤，我们应努力寻找其中的教育教学问题，并面对问题追问：

      如何运用或解释收集的数据以及记录的文字？如何依此数据来建立明确的努力目标？如何对大量的文字记录进行归纳、概括和推论？因此，“教师成为研究者”的一个重要前提就是教师在“做中学”，这就需要教师经历确认问题、形成想法、设计教学、观察课堂、评价反思等行动研究的基本流程.通过研究，你将会使反思成为自觉，更为可贵的是，通过研究，你将静悄悄地发展着自己的教育理解力、教育批判力和教育建构力，成为一名优秀的教师.

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