基于互模拟的模态逻辑与非良基集合论之间的关系，本文主要内容关键词为：集合论论文,与非论文,逻辑论文,关系论文,模态论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号8815.1 文献标识码：A 文章编号：1673-7059(2012)1-0033-07
一、互模拟与模态逻辑语义
如果把a作为模型M的点w的装饰，那么定理1.1恰好同于定义1.4。这说明集合论语义是克里普克语义的一个推论。
（三）两种语义之间的关系
我们知道，模态公式是互模拟不变的，所以两个具有互模拟关系的克里普克模型的状态满足相同的模态公式；并且如果两个克里普克模型是互模拟的，那么它们就是模态等价的，即具有相同的模态理论。那么我们能否简化克里普克模型，使得互模拟的克里普克模型同一化呢？埃泽尔1988年提出的进程代数的模型就是这样的简化模型，[1]格布兰德1999年提出的多主体认知逻辑模型也是这样的模型。[2]那么非良基集合模型是否也是这样的模型呢？
假设埃泽尔的反良基公理AFA，我们先证明如下结论。
(1)每个点克里普克模型是一个唯一集合的图像。
(2)每个集合有一个模型作为它的图像。
(3)两个点克里普克模型是互模拟的当且仅当它们是同一个集合的图像。进一步，两个克里普克模型是互模拟当且仅当装饰它们的集合是相同的。
既然集合和它们的图像满足相同的模态公式，这意味着我们可以使用集合代替克里普克模型作为模态逻辑语义：不使用互模拟等价的整类克里普克模型，仅仅使用与该等价类相对应的一个集合作为模态逻辑的模型。上述证明了非良基模型描述了互模拟等价的克里普克模型类。
二、集合上的互模拟与模态等价
（一）集合上的互模拟和模态等价的含义
证明：见《恶性循环》[3]135-137。
此定理告诉我们，在基本模态语言Form（◇，Φ）中，集合上的模态等价性不蕴含互模拟性。那么能否作一定的限制，使得在一定条件下模态等价性蕴含互模拟性呢？答案是肯定的。我们可以从两个方面进行限制：模态语言和集合模型的类型。我们先对集合模型的类型进行限制，首先考虑遗传有穷的集合。
综上所述，a和b是Φ－互模拟的。如果假设AFA，那么a=b。
这个定理和定理2.1一起说明：对于遗传有穷的集合类来说，集合上的模态等价性与互模拟是一致的。现在证明在语言
中，一致性也成立。
综上所述，a和b是Φ－互模拟的。如果假设AFA，那么a=b。
这个定理和定理2.1一起说明：对于无穷模态语言说，集合上的模态等价性与互模拟是一致的。
三、模态逻辑系统与集合论的对应
（一）非良基集合论语言
如同从模态语言到一阶语言的标准翻译一样，我们可以仅仅使用两个变元x和y就可以把上述所有的模态语言的公式翻译成集合论公式，并因此我们知道模态语言公式对应了集合论语言的只含两个变元的公式部分。有了这里定义的标准集合论翻译，我们可以得到语义对应结果。
（三）模态公式与集合论公式的对应
前面已证，基本模态公式和无穷模态公式在集合上的互模拟下是不变的，由定理3.1 (1)可以得出如下两个定理：
证明：与上一个定理的证明类似，这里略。
这两个定理是说：Form（◇，Φ）－公式和－公式的标准集合论翻译在集合上的互模拟下也是不变的。有了这两个定理，我们可以把所研究的模态逻辑的对应范围定位在集合上互模拟不变的集合论公式类中。反过来，所有集合上互模拟不变的集合论公式都是某个模态公式的标准集合论翻译吗？
收稿日期:2011-10-19