“学数学有什么用”——对数学教学如何渗透数学的价值的认识，本文主要内容关键词为：数学论文,什么用论文,数学教学论文,价值论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出
曾有不少学生提出了这样一个尖锐的问题：学数学有什么用？对我校学生进行抽样调查后发现，学生对数学价值的认识非常模糊，总的感觉是“为了高考而学习数学”。我们又对已参加工作的学生进行了一次调查，情况更是糟糕，大多数人认为数学在其生活、工作中确实没有什么用，故而认为数学是数学家们的专门游戏，或许在他们所不知道的领域有用，但他们无法感受。对“数学对你的个人素质的发展有何帮助”这一问题的回答也很令人失望，大多为“没有感到”。
我们不是已经重视了对学生数学应用意识的培养了吗？教材中不是已有了很多应用问题吗？我们的中考、高考不是一直在考应用问题吗？为什么学生还是感到数学无用呢？
二、对现行数学教学的反思
1.何为“数学应用意识”？
为了“强化数学应用意识”，这些年来，作为中学教育指挥棒的高考加强了对应用问题的考查。可结果是人为编造的、不合实际的所谓的“应用题”，更增加了学生对数学是否真正对现实生活有用的怀疑，对于进一步强化学生的数学应用意识，没有起到明显的作用。
何为数学应用意识？请看下面的例子：
应用数学家波拉克曾介绍过他在超市的经历，他从不同超市的“快速付款通道”购买的商品数想到如何用数学方法对其进行研究。我们也逛过大型超市，琳琅满目的商品，熙熙攘攘的人群，我们关心了些什么呢？
舍恩菲尔德这样评价：波拉克是以一种数学观点来观察世界的。别人可能根本不会注意的东西，在他看来却是饶有兴趣的数学问题，具有内在的数学意义。他所使用的语言是一种数学语言。他对这个问题进行概念化的方法，运用了数学推理模式。
这种用数学的眼光看问题的意识就是数学应用意识。当然，这里的问题不仅是生活中、现实中的问题，也可以是其他学科，甚至数学内部的问题。我们需要培养的就是这样的意识和这种能力。
2.数学的有用性是否就能解决应用问题？
长期以来，我们将数学的应用（而且仅限于实际应用）作为数学有用的标记，因此，在数学教学中就是以“理论联系实际”作为培养数学应用意识的评判标准。数学的有用性是否仅仅体现在能解决实际问题上呢？
斯图尔特这样评价数学家、物理学家和哲学家在对待微积分的态度上的差异：在微积分发明后200多年的时间里，物理学家关心的是继续寻找能够用变化率解释自然现象的自然定律，这使他们在热学、声学、光学、流体力学、弹性力学、电学、磁学直到现代最深奥的基本粒子理论方面都取得了巨大的成功，微积分成为物理学家用来认识自然和预言自然的某种行为方式的有力工具；而数学家操心的是耍弄清变化率的确切含义和如何给它下定义，使它成为可靠的数学理论，或像可靠的数学理论一样管用；哲学家（以贝克莱主教为代表）则认为微积分毫无意义。
这说明，同一数学知识，其价值的定位与审视价值的视角密切相关，数学的价值取向是丰富多彩的，只有持全面、科学的价值观，才能正确地认识数学的有用性。
三、数学有用性的科学认识
1.对数学本质的深刻的认识
要弄清数学的价值，首先应该弄清数学的本质，也就是明确什么是数学。
对数学的本质有着多种理解，其中主要的观点有以下几种：数学是量的科学，数学是一种方法，数学是一门艺术，数学是人类思维的表达形式（M·克莱因），数学是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学（恩格斯），数学是无限的科学，数学是对结构的分析：结构可能是数系的、代数的、经济、语言的或生物系统的，数学是模式的科学。其中将数学作为模式的科学是大多数数学家的共识。
这些观点分别从一个方面或几个方面揭示了数学的本质，都有其合理的方面。综合起来看，数学是对现实世界进行抽象、概括而形成的形式化的模式，或由数学家按照一定的原则建立的、具有一定结构的模型。无论是来源于现实世界还是人为构造的这些模型，最终都将被运用于解释客观世界，或解决客观世界中的问题。比如，非欧几何完全是由数学家按照公理化方法构造的数学模型，并且在其孕育初期并不为人们所接受，但爱因斯坦将其运用于物理学的研究，大胆地提出了相对论，这一理论在其后的天文观测中得到了证实。
2.对数学价值的全面的认识
哲学家康德曾这样强调数学的重要性：在任何特定的理论中，只有其中包含数学的部分，才是真正的科学。法国著名数学家傅立叶认为：数学的主要目的是服务人类、解释自然现象。雅可比的看法是：一个关于数的问题与一个关于宇宙体系的问题具有同样的意义。
数学的价值究竟是什么呢？对这个问题应该综合认识。
首先，数学既来源于自然，用于解释自然现象，同时，数学又不是被动地依赖于自然，而是认识自然的工具。一个典型的例子是物理学家菲涅耳按照光的波动说研究光的衍射，提出了严密解决衍射问题的数学方法。当时的另一位法国科学家泊松是光的波动说的反对者，他按照菲涅耳的理论计算了光在圆盘后的影的问题，发现如果菲涅耳的理论是正确的，那么，对于一定的波长，在适当的距离上，影的中心会出现一个亮斑！泊松认为这是非常荒谬可笑的，并认为这样就驳倒了光的波动说。但是，菲涅耳在实验中观察到了这个亮斑，这样，泊松的计算反而支持了光的波动说。
我们完全可以这样设想，如果泊松不是有先验的观点，而带着研究的意识进行理性的计算，并通过实验对数学分析所得的结果进行检验，而不是轻易地否定所得的结论，那么，数学就会成为其探索自然的强有力的工具。
其次，数学是培养理性精神的载体。
什么叫理性精神？爱因斯坦是这样谈他的感受的：在12岁时，我经历了另一种性质完全不同的惊奇，当我得到一本关于欧几里得几何的小书时所经历的。这本书里有许多断言，比如，三角形的三条高交于一点，它们本身虽然不是显而易见的，但是可以很可靠地加以证明，以至任何怀疑似乎都不可能，这种明晰性和可靠性给我造成了一种难以想像的印象……
数学追求一种完全确定、完全可靠的知识，数学的对象必须是明确无误的概念，作为推理出发点的命题必须明确、清晰，推理过程的每一步骤都必须明确可靠，整个认识过程必须前后一贯而不容许自相矛盾，正因为如此，数学方法成为人们的一种典型的认识方法，帮助人们正确地、客观地认识宇宙和人类自己。因此，M·克莱因说：在最广泛的意义上来说，数学是一种精神，一种理性精神。正是这种精神，使得人类的思维得以运用到最完善的程度，也正是这种精神，试图决定性地影响人的物质、道德和社会生活，试图回答有关人类自身存在提出的问题，努力去理解和控制自然，尽力去探求和确立已经获得的知识的最深刻和最完美的内涵。
再次，数学的文化价值也同样是值得重视的。A.N.怀海特曾这样评价：纯数学这门科学，就它的现代发展而论，可以说是人类精神最独特的创造。从整个数学发展史不难看出，数学对推动社会发展，对人类文明的发展起到巨大作用的同时，社会的发展也促进了数学的发展。数学科学的思想体系，数学的美学价值，以及数学家的创新精神都是数学文化价值的组成部分。数学教学有机渗透其文化价值是让学生感受学习数学的必要性的有效途径。
当然，数学研究过程中的思维训练的功能，数学的方法论价值等，都体现了数学的不同层面上的价值，这些都是众所周知的，就不赘述了。
3.对数学研究过程的正确认识
数学的学习过程给学生一个错误的印象：数学家的工作就是做难题目，数学研究的过程就是找到解决难题的技巧。要使学生提高对数学的价值的认识，就必须让其了解数学研究的真实的过程：从现实世界或数学内部提出问题的过程，提出猜想、假设等，构建数学模式的探索和发现过程，运用数学形式描述客观世界、解决实际问题的过程，等等。而要让学生了解这些方面，不是通过“告知”的方式就可以实现的，而应该通过经历数学研究的真实的过程而体验。
四、数学教学渗透数学价值的途径
1.将数学的科学价值与人文价值作为选择课程内容的标准
在选择数学课程内容时，应全面考虑其科学价值、人文价值，以便在教学实践中充分发挥其应用价值和教育价值。
《普通高中数学课程标准（实验）》对中学数学的教学内容作了较大调整，其中很多内容的选择是很恰当的，如微积分的增加、概率统计的加强、推理与证明的分章专列、矩阵与变换的补充、球面几何和欧拉公式与闭曲面分类的引进等，都很有必要。它们从不同侧面体现了数学的科学价值、人文价值和教育价值。
2.协调数学教育的目标与学生自我需求的关系
正是因为数学的科学价值、教育价值的多样性，《课程标准》在“课程目标”中提出：高中数学课程的总目标是：进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展和社会进步的需要。将个人发展与社会进步的需要放在同等重要的地位，这在我国的课程目标中是第一次，这是教育的一大进步，体现了以人为本的教育理念。
同样，《课程标准》的总体目标与学生的需求的相互协调也是教育的实施者应该认真考虑、切实落实的重要任务。不了解学生的需求，不适当考虑学生的需求，你的教学就无法使学生充分认识数学的价值，也就不能激发毕生学习数学的热情，当然也就不可能取得好的教学效果。
为此，我们应该弄清学生对“数学有用”的标准是什么，明确如何引导学生正确认识数学有用之所在。同时，还必须认识到，不同的学生对数学的需求是不完全相同的，对有用性的评价标准也不一定一样，也就是说，学生对数学的需求是有个性化的。《课程标准》已经根据这种需求的差异制订了不同的选修方案，尽管如此，在相同选择的情况下也还是有区别的。为了细化个性要求，教师的协调作用就不仅必要，而且很重要。
3.完善课堂教学的目标定位
作为教师，必须准确认识教学内容的科学价值、应用价值和教育价值，了解学生的价值需求，从而在进行教学设计时力求充分运用数学史实、数学的现实背景以及数学的内部过程，揭示数学本质，全面体现数学的价值。如改变由于数学的抽象性而产生的“数学枯燥、难繁”的误解，从抽象的形式中感受数学的形式美，从数学思维过程中感受数学发现的乐趣，进而自觉认识到学习数学是提高自身素养的需要，是自我发展的需要，同时也是适应社会发展的需要。
4.对数学学习过程的科学的设计
设计数学学习过程时必须考虑数学研究的过程（即数学研究的基本程序），既要借鉴数学研究的方法、操作的程式，也要考虑数学学习的心理过程与数学研究的思维过程的区别，从而全方位地体现数学的价值。
第一，在知识的生成过程中深层次揭示数学是刻画自然现象的科学语言。
如对“三角函数”的教学设计，应该定位在“建立描述周期性现象的数学模型”的层次上。如苏教版教材的处理：
日出日落，寒来暑往……自然界中有许多“按一定规律周而复始”的现象，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。这种现象一般与周期运动有关。一个简单而又基本的例子便是“圆周上一点的运动”。
如图1，P是半径为r的圆O上一点，P点的运动可以形象地描述为“周而复始”。那么，点P按怎样的规律不断重复出现？用什么样的数学模型来刻画呢？
附图
图1
为了回答上述问题，需要将点P表示出来。我们进行如下思考：
(1)如图2和图3，以水平方向作参照方向，有序数对(r,α），(r,l)都可以表示点P；
(2)如图4，以水平线为x轴，圆心O为原点建立直角坐标系，有序数对(x,y)也可以表示点P。
附图
图2
附图
图3
附图
图4
在表示点P的过程中，我们先后选用了角、弧长和直角坐标。
(3)α，l,x,y之间有着怎样的内在联系？
然后在揭示这些量之间的内在联系的过程中建立三角函数这一数学模型。这种以研究性为基础的学习过程还不能显示数学的有用性吗？
第二，在知识的运用过程中深层次揭示数学知识的应用价值。
数学应用不能停留在人为编造的、并无多大价值的所谓应用题上，而应该反映其真正有价值的应用。为此，一是要选择学生有体验或在其他学科中已了解的应用空间，如三角函数用于刻画简谐运动、无线电波、潮汐和血压变化等现象；二是要尽量让学生经历数学建模的过程，如线性回归方程的建立，用拟合函数进行预测等。
第三，在数学探索的过程中体现数学培养理性精神，提高思维能力等方面的功能。
一是要让学生经历提出问题的过程，即将实际问题数学化的过程，如上所介绍的三角函数的模型的建立过程中，从周期现象中提出数学问题的过程。如果学生能够数学地提出问题，也即能用数学的思想和方法认识世界，其对数学的价值必然会得到真切的体会。
二是要让学生逐步从以直觉、感性思维为主的认知模式向以理性思维，即逻辑思维为主（甚至向辩证思维的层次跨跃）的认知方式过渡。上述的三角函数的知识体系的建构过程就是以自主探索展开的，以理性思维为主的探究性学习过程。
三是通过思维过程中的监控所依据的价值判断的数学观念，使学生感受到数学思想方法、数学意识、数学观念对数学思维的作用，如对美的追求这一观念对数学思维的影响、数学观念对解决问题的概略性策略的促进等。
第四，尽可能基于数学发展的史实呈现数学背景，渗透数学的文化价值。
苏教版教材中的“欧拉公式与闭曲面分类”就是由简单多面体的欧拉定理开始，通过不断反思（反例）、不断完善的真实过程，让学生充分感受拓扑思想的发生、发展的过程，体验其重要应用（如布劳威尔不动点定理在经济学领域的应用）。又如“复数”也可以用数学史引入：
16世纪意大利数学家卡尔丹在讨论问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，认为把答案写成
表示什么意义呢？它可以作为数吗？
接着，引导学生回顾“数”的发展史，从无理数、负数的引入在数学史上引起的争议，到它们对数学发展所起的促进作用，再说明对数的认识与对自然的认识一样，与人的认识水平、文化观念是密切相关的，都有一个从不全面到逐步全面，不深刻到逐步深刻的过程。接着说明对虚数的认识同样经历了从拒绝接受到广泛应用的曲折的过程，从而提高学生的认同感，再逐步引导他们认识其理论和应用价值。
学习数学而不了解其价值是数学教育的悲哀，数学教育渗透数学价值是所有数学教育工作者的职责。让我们共同努力，让学生了解数学的价值，使数学教学完善价值教育的功能，全面提高数学教育的水平。