对物理学之几何化发展的哲学思考，本文主要内容关键词为：物理学论文,几何论文,哲学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
物理学与几何学的关系密切：几何不仅是物理学家描述物理的数学手段，而且是启发他们物理思想的源泉。当物理学家重新考察几何学与物理学的关系时，物理学就会发生一次重大进步甚至革命。伽利略、牛顿的物理学革命将欧几里得几何引入，确立了描写我们世界的数学法则，奠定了经典物理学的数学和逻辑基础；相对论的产生推进了几何与物理的关系，欧氏几何在物理中的几何优先权被消解，几何从物理的背景变成物理本身。无论是经典时期的欧氏几何学优先地位的确立，还是当代物理学中形形色色的现代几何学的引入，物理学的发展都可以说是一个几何学与物理学的互动史。
在物理学革命发生的前后，彭加勒对物理与几何的关系做了深入讨论，重新定位了几何学与物理学的关系。这一论题后被爱因斯坦总结为G+P论题，即几何学(Geometry，简称G)+物理定律(Physical Law，简称P)的论题。而爱因斯坦总结的G+P论题消除了物理学中几何学与物理学定律的绝对界限，为物理学的几何化消除了认识论的障碍。在20世纪前后基础物理学的发展中，现代几何学的概念和理论广泛渗透于基础物理学理论之中。笔者认为，正是G+P论题对几何学与物理定律在物理现象描述中的重新定位，解放了物理学思想，促进了物理学理论的几何化发展。因此G+P论题是理解当代物理学发展现状及其成果的一把钥匙，这一论题具有极其丰富的哲学涵义。
一、G+P论题前史
物理学之数学化的思想是由近代科学之父伽利略构建的。两千年前，关于数学的作用和本质问题已成为亚里士多德和柏拉图之间主要的争论话题。亚里士多德观念下的物理学在运动定律中不关心细节，也不追求数学上的准确；这种物理学满足于建立那些运动的重要分类(自然的、强迫的、直线的、圆周的)，和那些重要的定律(力和速度、力和阻碍的关系)。在当时的观念下，性质和形式不能被几何化。亚里士多德的信徒认为几何的实体是不动的，因此他们认为，不仅性质不能数学化(几何化)，就连运动也不能几何化，因此阿基米德的物理学只有静力学。伽利略之前，几何学与物理学的融合仅是一个“虔诚的希望”，还未有人去实现它。
而作为柏拉图信徒的伽利略则认为“几何形式和物质是同质的”。(柯依列，第236页)他赋予几何定律在物理学上的实际价值，这就有了那个伽利略《试金者》中的著名的论断：自然这本书是用数学语言写成的，符号是三角形、圆以及其他几何图形。科学史家A·柯依列认为：“这个概念就导致了一个关于物质的全新概念：它将不再是演化和性质的支撑物，相反，它作为不变和永存的存在的支撑物。我们可以说，此后，地球上的物质升级到了天体的行列。因此，我们已经看到了新科学，即几何的物理学或者物理的几何学，它在天体中诞生了，下降到地球上，再回升到天上。”(同上)伽利略用数学定律将时间和空间联系在一起：它不仅可以描述天体的运动，也可以描述地上的运动。柏拉图主义在笛卡尔手中获得了最终胜利，它将物理学上的亚里士多德主义驱逐掉，为牛顿经典力学提供了形而上学基础。几何学合理地成为物理学的描述语言。
几何学一旦进入了物理学，就可以给空间和时间概念赋予几何意义。牛顿仿照几何学的公理体系建立了经典物理学。用欧氏几何作为时空的描述框架，形成了绝对时间和绝对空间的概念。
在空间性质上，牛顿对“处所”的解释使用了“固体”的概念：“相等的固体其处所总是相等的”，并且认为整体的运动等同于各部分运动的总和，即整体离开其处所的迁移等同于其各部分离开各自的处所的迁移的总和。所以，他认为总体的处所等同于部分处所之和。(牛顿，第7页)而这一要求暗含着将“理想刚体”的概念作为物理学空间性质和欧氏几何的连接物。
由此，该约定所表述的物理关系——空间关系成为了流行的时空观。与直觉的符合及“简单性”，使欧氏几何的时空观不仅是人们看待世界的基本视角，也成为物理思维的基础和原理。物理学理论中“固化”了的欧氏几何被当作世界描述的“真的”几何。这种“真的”几何的论断不断地不被怀疑地应用于物理学。物理学不再关心几何论断在实在描述中的真假。由于该时空观的形而上学的特征，在物理学中，几何学与物理定律是独立的G问题和P问题。G问题和G问题暗含着的时空的物理特性被完全数学化了，仅保持它独立的数学地位，而P问题则是在G的框架下推演的。
二、G+P论题的提出
彭加勒发现“假设”在数学和科学理论中起着重要作用；假设不仅是必要的，而且是合理的。假设存在几类：一些是可以检验的，验证后会变成富有成效的真理；一类是为了坚定我们的思想避免误入歧途；最后一类表面上看起来是假设，实际上是伪装的定义或约定。(彭加勒，第3-4页)
而这些使得科学和数学获得严格性的约定是我们精神自由的活动的产物，尽管我们可以把这些约定强加于我们的科学，但却不能把它们强加于自然界。因此彭加勒开始重新考察这些约定在算术、几何学、力学和实验物理学中的地位及作用。几何学如何描述空间的关系成为其中的一个关键。
欧氏几何是否比非欧几何在空间描述上具有优先权？彭加勒认为：空间性质与几何学描述是一种约定性关系，欧氏几何并不会比非欧几何在空间描述上更加合理。(同上，第43页)
作为几何学体系的基础起点，公理预设是几何体系自身内部不用证明也不能证明的，同样，几何陈述处理对象的基本词项的性质也是体系内不定义的。它们的不同导致数学上可以“存在”着多种自洽的几何学。基本词项未被赋予物理属性与空间测量的物理对象相关联前，该几何是不能直接用于空间描述的。将空间排布规则与“理想的绝对刚体”的性质相关联形成欧氏几何性质的空间描述，这种“关联”并不是几何体系内含的，而是借助“外部”的特设定义的约定；几何学仅是对这些词项所代表的物理客体的逻辑关系加以说明，并不对为其所代表的物理实体的性质做任何说明。因此彭加勒认为几何学不是一种经验科学(同上，第59页)，不同的几何学公理加上这些基本词项的不同的物理定义就可以构造出许多对等的世界描述。经验者不能在空间经验中单独检验几何提供的陈述；必须加上应用于这些陈述下的基本词项的物理性质，才能检验这一描述的正确与否。
彭加勒认为几何学的对象是研究特殊的“群”，“在所有可能的群中，必须选择出的可以说只是标准的群，我们将把自然现象归属于它。在这一选择中，经验引导我们，而没有把它强加于我们；经验没有告诉我们哪一个是最真实的几何学，而是告诉我们哪一个是最方便的几何学。”(同上)选择欧氏几何作为空间描述，只是表明在我们的感觉中它是最方便的几何学，并不表明它对于我们的物理空间是“最真实的几何学”。
“最真实的几何学”在彭加勒看来是没有意义的，在空间描述中，各种几何学所处的理论地位是均等的；虽然我们的感觉不同，但并没有哪一种几何学可以在我们的知觉上获得优先地位。
空间概念的获得与感觉得到的物理性质有关。生活在一个特殊世界中的有知觉的生物，获得非欧几何的观念如同我们获得欧氏几何的观念一样，没有丝毫的困难和矛盾。
随着人类经验范围尺度的变化，物理上何种几何学是最方便的情况也产生了变化。
因此，在彭加勒的观点中，几何学作为“群”只是体现了所要研究的对象的一种相互关系。对于物理对象，实验也只是告诉我们物体相互之间的关系，几何学也只能描述这种物体与物体之间的关系，而并没有告知我们物体与空间的关系，也没有告诉我们空间各部分的相互关系。因此并不能将空间描述绝对等同于某种几何学。彭加勒通过仔细的分析，将描述对象“关系”的“数学的几何”同描述空间性质的“物理的几何”做了明确的剥离。
几何不能独立地描述空间，那么如何在物理上描述空间呢？爱因斯坦发现必须引入一种新的观念，即G+P的描述观念。他在分析了彭加勒的论述后说道：
彭加勒和别的研究者为什么拒不承认实际刚体同几何体之间的等效性(这种等效性是很容易想到的)呢？那只是因为经过进一步的考查后，知道自然界里实在的固体并不是刚性的，因为它们的几何性状(即它们相对排列的各种可能性)是取决于温度、外力等等的。这样，几何同物理实在之间的原始的、直接的关系显然被破坏了，我们不得不倾向于下面这个更一般的观点，这是彭加勒观点的特征。几何(G)并不断言实在事物的性状，而只有几何加上全部物理定律(P)才能做到这点。用符号来表示，我们可以说：只有(G)+(P)的和才能得到实验的验证。因此，(G)可以任意选取，(P)的某些部分也可以任意选取；所有这些定律都是约定。为了避免矛盾，必须注意的只是怎样来选取(P)的其余部分，使得(G)和全部的(P)合起来能够同经验相符合。从这个角度来考虑，公理学的几何同已获得公认地位的那部分的自然规律，在认识论上看来是等效的。(《爱因斯坦文集》第1卷，第139页)
自从伽利略、笛卡尔、牛顿将几何学应用于物理学，物理学与几何学(数学)就联系在一起，但是它们的结合方式却没有明确地被指出，彭加勒和爱因斯坦的研究指出几何学与物理定律在物理学中的结合是一个需要重新思考的问题。
在物理学史上，将几何学运用于物理并不是一种逻辑上的必然。爱因斯坦的上述论述有一个革命性的突破，即：除了指出现实的固体并不是满足欧氏几何排列规则的“理想刚性物体”，其几何性状取决于物理条件，也就是说不可能有几何同物理实在间的直接逻辑关联之外，他还指出：几何学公理和已获得公认地位的那部分的自然规律都是约定的：可实验检验的G+P，可以分解为G(约定的几何)+P 1(获得公认地位的那部分的自然规律)+P 2(选取(P)的使整体不与实验矛盾的其余部分)，而其中P 1部分和G部分的性质在认识论上是等效的。这就是说，既可以将几何公理看成为“获得公认地位的那部分的自然规律”，也可以将“获得公认地位的那部分的自然规律”看成为几何公理。这一论断既为几何学用于物理的合理性找到了根据，又为物理学定律的几何化提供了认识论的基础。
这种“约定”是任意的吗？不是，正如彭加勒对“假设”的分析，虽然约定是我们精神自由活动的产物，但却不可强加给自然。自由约定、任意创造也许可以使“科学”合乎逻辑，但却会使之失去意义；如果科学不能告诉我们实在的东西，它就不是公认的科学。所以，彭加勒、爱因斯坦在这个问题上提出的约定，都不是少数人的、短时间的内部约定，科学的约定实质上是科学共同体在长期的实践中所达到的共识。所以，这种共识性的约定是科学理论发展的一个重要基础。
如果说1902年彭加勒在他的《科学与假设》中是从数学上分析了G+P的观念，那么前文引述的爱因斯坦的那段文字，则是对彭加勒的观念进行了物理学的解释，并且也发展了彭加勒的观点。从时间上看，这一时期正是广义相对论提出的前后。由于经典物理学的时空观念赋予欧氏几何先验的优先地位，爱因斯坦的《几何学和经验》一文不仅在认识论上破除了上述“神话”，同时也对科学理论中基本定律的本质提出了思考，为用时空的几何性质揭示物“理”奠定了哲学基础。
G+P论题可以把被僵化在经典物理学框架下的几何学和物理学的关系和观念解放出来：欧氏几何不再具有物理上的神坛地位，数学上的各种几何学都可应用于物理；既然“公理学的几何”同“已获得公认地位的那部分的自然规律”“在认识论上看来是等效的”，那也就表明时空的几何性质即时空的物理性质；是运用几何手段还是物理手段，就要看理论的哪一个形式更加有利于理论发展的启示和推动能力。当代物理学的经验表明，几何化占据优势，所以，几何化的道路最终成为了当代物理学发展的一个主流方向。
对于经验来说，物理学理论在G+P模式下，明显地比具有固定的几何关系(欧氏几何)的经典模式有了更大的自由度。物理学家发现，采用不同的几何描述物理对象和现象，理论的复杂程度会有很大的不同，理论的解释能力和涵盖新证据的能力也不一样。因此在对等的描述的选择中，物理学家有足够的理由选择对理论有启发性的模式。例如，怀特海曾坚持时空关系的均质性，希望维护几何学和物理学的古老界限，提出了一种相对论。(内格尔，第323页)虽然哲学上无法在怀特海的相对论和具有可变曲率的爱因斯坦的相对论之间做出优劣选择，但是从物理学后期的发展来看，在G+P观念下，把力学系统视为一门不可分割的综合性的几何学的爱因斯坦的相对论，对于物理学理论的发展更具有理论上的优越性；而怀特海的相对论仅具有哲学思辨上的意义。
从相对论的发展上看，G+P观念的意义是巨大的，它直接影响着几何学的地位，而且一般地影响着理论的逻辑地位。(同上，第241页)从理论的结构上讲，对于作为科学实在论的倡导者爱因斯坦来说，物理学理论对于G的选择不仅是思维经济的要求，而且是客观实在的必然要求。就拿时空问题来讲，由于各种证据表明空间密度不为零，所以我们的宇宙是有限无界的。这要求物理学的空间描述应该采用适合这一条件的几何学。而对于G+P中G的选择，关系到我们对宇宙的性质的描述。
可见，G+P论题化解了物理学定律和几何学的绝对分界，为后来物理学思想的描述开辟了道路。
三、G+P论题的启示——对当代物理学几何化的解读
1.几何化是物理学的必然 当代物理学中几何术语已经成为物理学理论构建的基本词项，在时空性质、基本粒子特性和场的描述中充满了如度规、对称、高维这样的几何术学语，而物理特性则是这些几何性质的导出。这种几何化的深入是相对论、量子化观念揭示物理的必然。
在相对论体系中，参考系的概念有了质的变化，我们失去了那个永恒不变的背景。在经典的观念下，描述一个物理量需要建立它在所在时空的因果关系，而建立这样的关系需要参考系参数的描述。但是现在，建立一个全空间恒定的参考系已不再可能。在“场”的概念下，物理客体的分布和它们的演化过程改变着局部的和整体的时空结构，时空不能再作为一个不变的、不受物理过程影响的形而上的背景存在，我们需要建立跟随整个时空变化的局部的参考系。这个局部建立的参考系随着物理过程的变化也在不断地变化，而物理过程的变化则被这种局部参考系的变化所反映。所以，局部的物理性质的问题就转化成为在时空整体上描述局部参考系的几何度规问题。
同样，在量子力学体系中，根据海森堡的测不准原理，微观粒子的轨迹和速度的精确描述在量子水平上是没有意义的。量子力学发展了特有的新表述：量子数。这些量子数形成了一个特殊的“态”几何空间，各种粒子的物理特性和演化是由这些“态空间”表现出的“对称性”映射到时空中表现出来的，量子性质的问题转化成为量子态空间和时空的几何结构问题。
这种几何化正是G+P观念的体现。按照前引爱因斯坦的论述，只有几何加上全部物理定律(P)，才能断言实在事物的性状。因此，几何是能够揭示物理实在的性质和关系的。这就将经典的观点完全改变了：不是通过局部去揭示整体，而是从整体出发才能揭示局部。因为，无论在相对论体系中还是在量子力学体系中，局部的变化都是整体变化的结果，只有整体是自洽的局部才能存在。
数学家迈克尔·阿蒂亚爵士(Sir Michael Atiyah)对此作了很好的总结：经典物理涉及局部理论，这时我们写下可以完全描述小范围性质的微分方程，而当代物理学中这种局部研究已经不够了，必须研究一个物理系统的大范围性质。物理学涉及的全部内容就是当我们从小范围出发时，我们可以知道在大范围内正在发生什么，可以预计将要发生什么，并且沿着这些结论前进。(阿蒂亚，第2页)
经典物理的条件规定了不变的G——欧氏几何，而欧氏几何的均匀性得以保证局部的性质可以外推到整体，这一点正是当代物理学在G+P观念中必须放弃的。因此在这种新观念下，我们必须首先着手大范围的整体的性质，然后再在局部进行检验，再修正整体的认识，以达到正确。几何化是这种整体性研究所必需的，G+P观念反映了整体与局部相互作用的结果。
由此，我们看到，广义相对论将物质的运动规律转换成为时空的几何性质，通过对黎曼几何的应用改变了运动学的研究方法。物理性质来源于所在空间的几何性质，将物体间的引力约化到弯曲的时空中，然后由时空的度规这样的几何特性来表征引力的性质；并将引力现象通过该区域时空几何的内蕴性质来反映，而内蕴的性质是反映空间整体区域本性的东西，如时空曲面的曲率。将物理在此转化为几何，这是相对论的重大进步。
同样，量子场论中运用由彭加勒创造的拓扑几何描述量子态空间与时空联系间的几何特性。作为描述空间结构离散性质的拓扑几何，讨论了刻画几何物体最基本的一些特征，比如亏格(洞眼个数)等，而这种刻画的几何结论是分立的，可以与量子态空间作对应。
基本观念的改变和新数学工具的应用，使物理学的几何化的深入成为必然。物理学观念也从获得局部认识走向对整体的探索。内蕴性质、拓扑性质所反映的是所考察对象的几何空间的整体稳定性质，即所谓“变换下的不变性”。G+P观念认为，这种“不变性”才是物理实在的真正反映。物理学从发现时空背景下的物理特性走向了对特定物理现象的时空几何特性的发现。
2.几何化有更强的理论能力 G+P观念让几何以新的面貌重回物理，让G与P一样可以描述物理，这就使当代物理学几何化的深入找到了立足的哲学基础。G+P论题表明了物理中几何学和物理定律的一种强烈的耦合，在这种耦合下，定律描述和几何描述之间有着等同性。由于定律描述和几何描述的理论揭示出的直观性不同，几何化理论解决问题的能力具有明显的优越性。
以狭义相对论为例，闵科夫斯基的四维时空的描述不仅直观地解释了洛伦兹方程反映出的狭义相对论含义，而且还揭示出时空更深刻的本质。
几何上的高维数的引入，可以把被低维数子空间简并的性质揭示出来。
经典观念下，由牛顿确立的三维绝对空间+一维数学时间的框架是不能突破的。时间作为独立的一维，有着和三维空间不同的属性，它们是不能融合在一起的。当以太问题推动洛伦兹的相对论产生时，物理学只能试图在原有时空关系下通过特殊的假设去“拯救现象”。理论的困境导致“时”与“空”的分割的哲学基础和物理基础受到质疑。
爱因斯坦通过同时性的物理实质分析，揭示了时间的物理性质，将数学的时间归还物理，由此激发闵科夫斯基用几何的方法来阐述狭义相对论思想。
用G+P的观念来看，“时”与“空”的“分割”并不是物理本身给出的，它只不过是认识发展过程中理论的一个约定。这个约定在没有遇到“以太问题”时一直运行良好，但是现在它已不能满足新问题的解决了。这种固定的维数不仅不能使物理学理论精致化，而且也会遮蔽时空的物理本质。时空在这种框架下不能成为物理学的研究对象，而只能作为形而上学的背景。既然“时”和“空”的关系是一种理论约定，那么为了更方便地阐述时空问题，这种约定就可以解除，并重新约定。将时空作为整体几何化，用几何观念直观地阐述狭义相对论的时空观念，闵科夫斯基四维时空概念揭示了三维+一维时空概念无法揭示的时空性质。这使得当代物理学对时空本质的把握被大大地推进。
这种改变有着重要的哲学涵义。它使得对时空中运动的描述从一种复杂的动态变化图式，转化成为一种简洁的“静态”几何图式，扩充了几何图式下的“对称”概念在物理上的作用。
阿基米德的静力学将“力”在“三维空间”中用“静”的几何关系表现出来；伽利略和牛顿的运动学和力学将“运动”和“力”在“一维时间”+“三维空间”中用空间轨迹“动”的几何关系阐述出来；现在，闵科夫斯基的四维时空的相对论将“运动”用时空的“世界线”的描述重新恢复成为“静”的几何关系。这一“静”的回归的意义是巨大的：“运动”不再是“物理客体”的属性，而成为“时空”的本质。这一点后来在广义相对论将“力”转化为几何描述中，得到了进一步的推广，而且也使“时空”最终成为了物理学研究的“客体”。
原来在物理定律中描述“物的运动”的守恒量，都转化成为与表征这种守恒量相联系的物理概念“空间”的几何特性，G+P观念对同一现象的描述中，理论的形成表现出P(物理定律)向G(几何特性)转化的趋势。这种研究方法直接影响到后期物质结构的研究。将定律转化为空间的几何特性，有利于直观把握这一物理量的性质，因此在粒子物理的研究中，物理学家将电荷、自旋、同位旋等物理量都采用了几何化的手段，这为物质结构的研究带来极大的好处。
爱因斯坦在G+P论题中所认为的“公理学的几何同已获得公认地位的那部分的自然规律，在认识论上看来是等效的”这一论断，为几何化确立了认识论的基础。物理学理论的目的就是要为物理现象带来合理的解释，并把那些遮蔽在现象下的物理实质揭示出来。因此，理论的结构要“经济”，还要有较强的覆盖能力，而几何化在认识论上可以等同因果律表示的物理定律，而且它的能力和“经济性”更强。同时，几何化还可以从数学家那里获得更多的理论资源，因此，物理学家自觉与不自觉地走向几何化，将数学上的许多成果引入物理学。
在耶路撒冷爱因斯坦诞辰100周年纪念会上，杨振宁教授在回顾关于规范场的历史时感叹地说：“十分令人惊讶的是，人们发现规范场概念等同于叫做纤维丛的几何概念，它是由数学家完全独立地发展起来的，与物理实在没有任何关系”；并且认为，“像麦克斯韦场那样的规范场，不仅可以用纤维丛的几何语言来表示，而且必须这样来表示，才能表达它们的全部意义”。(杨振宁，第6页)
3.几何化引发实体性思维向关系性思维转化 从伽利略开始，几何学进入物理学理论，成为物理学精密化的工具，并用于揭示物理实体间的关系。G+P的观念和当代的物理学理论的几何化趋势表明：实体间的关系的重要性不亚于实体本身的性质，这使得人类思维方式产生了升华式的变革：实体性思维向关系性思维转化。
4.几何化：理性把握实在的利器 20世纪的物理学革命将物理学的研究范围推向了更宽的尺度，物质的基本结构和时空理论成为新物理学的基础。在这些研究中，理论的先导性成为了必然。物理学家不可能再像他们的前辈一样通过经验的综合获得线索，因此，他们必须充分发挥理性的作用。
1952年，爱因斯坦在给M·索洛文的信中用一个图示表述了他对思维和经验的关系观念。他指出，作为公理体系的A可以通过逻辑道路推出各个个别的结论S，S可以通过实验验证同经验E联系起来；但是这一步骤是超逻辑的(直觉的)，S中的概念与经验E不存在必然的逻辑联系。同时，从心理状态说公理系统A是以经验E为基础的，但它们之间却不存在任何必然的逻辑联系，只是一个不必然的、可以改变的直觉的(心理的)联系。(《爱因斯坦文集》第1卷，第541页)
爱因斯坦告诉我们，理论体系(思维)和经验不存在绝对的逻辑关联；同时，理论渗透观察，我们所持有的理论在一定程度上决定了我们可以看到的东西。
作为经验综合发展起来的物理学，到了当代，经验综合已无法再走下去了，因此物理学的思维方式发生了变化。
基础物理学的理论发展表现出一种思维和经验互动的方式，G+P论题表明理性思维的力量可以被大大提升，成为物理学发展的动力。例如，杨振宁博士在他《几何和物理学》一文中指出，与经典思维相反，爱因斯坦发现闵可夫斯基做出的重要的贡献：首先宣告对称性，然后寻求与它相符合的那些方程，并将对称性和等价原理作为20世纪物理学转向的基础。(杨振宁，第3页)
理性可以把握物理现象背后的规律的另一个例子是，在时空的研究中，广义相对论应用黎曼几何表现出的协变特性，对时空本性做了富有成果的揭示。在G+P的观念下，把时空的物理特性转换成为几何性质有着认识论上的对等性，而理性下的几何思维比经验下的物理定律的思维更加有效，能更有效地运用“纯粹的思维”把握物理现象的本质。
因此，爱因斯坦认为：“我们的经验已经使我们有理由相信，自然界是可能想象到的最简单的数学观念的实际体现。我坚信，我们可以用纯粹数学的构造来发现这些概念以及把这些概念联系起来的定律，这些概念和定律是理解自然现象的钥匙。经验可以提示合适的数学概念，但数学概念无论如何却不能从经验中推导出来。当然，经验始终是数学构造的物理效用的惟一判据。但是这种创造的原理却存在于数学之中。因此，在某种意义上，我认为，像古人所梦想的，纯粹思维能够把握实在，这种看法是正确的。”(《爱因斯坦文集》第1卷，第316页)
我们看到，经典时代初期，伽利略作为柏拉图的追随者，将几何学带入物理学，这是第一次几何化，确切地说是几何学的物理化；在当代，爱因斯坦及其追随者，应用G+P的思想将物理学带入几何学，这是再次的几何化，是物理学的几何化。两次几何化，都是通过理性的发扬，冲破现象的种种迷雾，去把握物理实在真实的内容。
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