摘要：对于热防护服的数理研究，主要用数学模型描述三层织物材料防护系统的热力学规律，给出了在相应环境条件下假人皮肤外侧的温度变化函数，并通过该函数求解高温作业专用服装特定层材料的最优厚度。为防护服的设计提供理论参考。第一部分由实验数据，结合傅里叶定律和能量守恒定律建立热量传递方程，得到I层材料内侧温度变化函数。将I层内侧温度作为下一层材料的初始温度，迭代得出各层温度函数。IV层材料温度函数即为假人皮肤外侧温度变化函数。根据函数绘制出温度变化图像，将其与实验数据绘制的温度图进行对比，发现变化趋势一致，但是具体数值大小不匹配。考虑到假人内部恒温会对热量产生消耗，我们引入假人内部热损失率对原函数进行修正，得到了新的温度变化函数再次与实际图像进行对比，结果大致吻合。第二部分分析一维稳态导热，得到了各层达到平衡时的具体时间和温度，做出温度分布图表，建立双目标优化模型，在满足防护的基本要求下，以用料最小化，舒适程度最大化为优化目标，建立起双目标优化模型，进行求解，得出了II层最优厚度为11.4mm，IV层最优厚度为6.4mm。
关键词：多层防护服；热传递模型；单目标优化；多目标优化
引言
一些行业中，工作人员经常需要在高温环境下工作，他们会装着专用服装来避免灼伤。专用服装一般由三层织物材料构成，我们记为I、II、III层。I层是与外界环境接触的，III层与皮肤之间存在空隙，该空隙为IV层。为了设计专用服装，将体内温度控制为37度的假人放置在实验室模拟的高温环境中，测量假人皮肤外侧的温度变化情况，解决以下问题：
（1）由专用服装材料的部分参数值，我们对环境温度为75度，II层厚度为6mm，IV层厚度为5mm、工作时间为90分钟的情形展开实验，测量得到的假人皮肤外侧的温度，建立相应数学模型。
（2）在环境温度为80度时，求出满足假人工作30分钟时，皮肤外侧温度不超过47度，并且大于44 度的时间不超过五分钟的条件下II层和IV层的最优厚度。
1 问题分析
1.1 问题一分析
该问题主要是根据题目所给条件，查阅资料，找到有关的物理公式，建立自己的数学模型，得到假人皮肤外侧温度变化的函数。首先分析基本热防护服的数据，它给出了三层织物材料和空气层的密度、比热、热传导率和厚度。根据这些已知条件去查询相应的物理公式。
再对实验的数据进行分析，画出温度和时间对应的图像，可以观察出温度变化的趋势，以及温度趋于稳定时的对应数值。通过能量守恒，列出每一层靠内侧温度随时间变化的公式，把每一层所求函数作为下一层温度的初始值，第一层服装的外侧温度假定与室温75度相等，其他层内侧温度假定与体温37度相等。由迭代得出假人皮肤外侧的温度函数。为了与实验得到的假人皮肤外侧温度函数图相符合，需要考虑假人体内恒温在37度的前提条件，因为假人内部传热会导致系统误差，所以在最后的函数求解过程中加入假人内部能量消耗。
运用一维稳态导热分析通过多层平璧的导热，各服装层能量守恒，得出每层达到稳态的最大温度值和相应时间，根据这些值对先前得到的函数进行截取，列出温度随时间分布的图表。
1.2 问题二分析
该问题是对问题一所建模型的应用，根据问题一得到的温度变化函数，结合题目所给的新的条件，对函数进行相应修改，得出符合问题二的温度函数，进行线性规划。本题需要同时满足II层材料和IV层空气层的最优厚度。结合问题所给条件，列出该题的约束条件，建立双目标优化模型，利用问题一所解函数，在符合基本防护要求下，以成本最小化且舒适最大化进行求解。
2 模型假设
对于热防护服系统，本文做出如下假设：1）热传递是垂直于服装材料进行，所以视其传递过程为一维；2）热传递过程中，服装材料的结构几乎不变且为各向同性[1]；3）该系统只考虑热传导，不考虑热辐射，湿传递等；4）因该系统空气层的厚度不超过6.4mm，所以不考虑热对流现象；5）假设该系统各层材料间没有空隙；7）假设该系统最外层初始温度与室外温度相等，内部各层初始温度与人体温度相等。
3 符号系统
表1符号说明
4 模型建立
4.1 问题一模型及求解
4.1.1 求I层温度和时间的关系
对于I层来说，通过热量守恒公式可以得出以下等式[2]：
通过实验数据和题目1所给数据，带入(9)式中可以得到第一层温度T1和时间t的具体关系为：T1(t)=75−38e−0.006t。
4.1.2求其它层温度和时间的关系
研究II层情况，类比于I层情得出：
这里的T4(t)也就是假人皮肤外侧的温度变化函数。
4.1.3 分析实验数据
对实验的数据进行分析，通过Excel的图表功能，以温度为纵坐标和以时间为横坐标做图，结果见图1：
图1 实验假人皮肤外侧温度
我们根据上述T4的表达式作图，同时加入图1的曲线，结果见图2：
图2 修正前空气层温度与假人实测体表温度对比图
对比可得，两个图像变化趋势大致相同，但是具体数值对应方面有较大差距。因此，我们考虑产生误差的原因，对函数进行修正。
4.1.4 引入修正函数
按照本题的描述，假人体内温度一直控制在37度，根据热平衡原理可知，假人内部传热会导致误差。在假人实际设计制作中，采取一定的隔热措施，使其内外尽可能减少热传递。但无论如何，在任何情况下，假人经过一定时间都会达到热平衡。假人内部保持37º恒温，则皮肤外侧的热量将被假人吸收，而达到一个动态平衡，由能量守恒定律：qst∆ = cm∆T，可得：
将修正函数T加入原来的T4函数中，得出新的T4函数。将新的T4函数图像与图1的曲线图像再次对比，结果见图3: 可以发现，新的T4图像和图1图像大致吻合。
图3 修正后空气层温度与假人实测体表温度对比图
所以将新 T4 函数作为假人皮肤外侧温度变化函数。
4.1.5 计算温度分布
不难看出，皮表温度在一段时间后逐渐趋于平稳。由图1可以看出假人皮肤温度稳定在48.08ºC。由此我们可以推测，在一段时间之后该三层材料-空气-皮肤系统内的热能传递趋于稳定。在稳定的情况下，该系统可以看作通过多层平壁的导热。最外层温度可以当作48ºC计算。对经典一维稳态导热分析解得[3]：
4.2 问题二模型及求解
该题是最优化模型的求解，就实际情况而言，最优厚度应当在满足防火要求的情况下，使衣服尽量纤薄，方便穿戴者行动，并降低成本。需要考虑II层材料和空气层的两个厚度因素，因此，我们将单目标优化模型转化为双目标优化模型，双目标函数表述如下：
2.绝对约束：由题意要求当环境温度T为80时，确定第二层织物和空气层的最优厚度，确保t≤30min 时，假人皮肤外侧温度T≤47º，且超过44ºC的时间不超过5分钟。因为由模型可知，T4的变化趋势是递增的，所以只需25min≤t≤30min时，T4<=44，即：
联立至此建立起新方案的双目标优化模型。
4.2.2 模型求解分析
新的方案模型是在全面考虑约束条件下，建立的基本双目标优化模型。模型的解为p2和p4的两个准确值，是通过热传递模型，温度变化，时间变化等约束条件的限定，得到的满足目标函数的全局最优解。约束条件并不复杂，如时间t是线性变化，只有温度变化是通过模型迭代出来的。但是由于参数较多，数据量较大，直接求解较为困难。所以从算法考虑，为了得到最优解，需要对厚度p2和p4在一定范围内进行遍历并且作为最外层循环，在同时内部有时间作为内层循环，编程求出最优解[5]。
4.2.3 求解结果
在对模型求解时，得到一组p2和p4的值，即：P2min=11.4mm P4min=0.6mm，代入第一题模型，可以绘制出T4随时间变化图：
图4 第三题T4随时间变化图
但是我们发现由于空气层的密度仅仅为1.18(kg/m³)，而第二层织物的密度为862(kg/m³)，两者其他参数差异在一个数量级，所以在进行热传递时，空气厚度改变对于整个热交换过程影响不大。而考虑到实际情况，我们发现若空气层太薄，服和消防服贴合过紧会导致舒适性下降。根据天津工业大学雷中祥的研究，在动态条件下，考虑一套消防服的热阻，湿阻，透气性能，透湿性能，对真实情况进行大量的实验。基于主观真人实验结果得到了空气层厚度在6.4mm左右时，消防员体感最佳[4]。综上，我们解得：P2min=11.4mm P4min=6.4mm，代入第一题模型，经过验证结果依然符合题意。
结语
问题一建立模型过程中，结合傅里叶定律和温度与能量关系式等物理知识，运用拉普拉斯变换解出I层的温度与时间的函数，层层递进。充分利用了附件中的数据，同时具有一定的创新性。问题一模型建立途中，加入了假人内部能量消耗率函数，使其符合真实情况，大大提高了模型的准确度。问题一模型矫正过程中，部分数值来源不唯一，可能导致最后结果产生差异。问题二模型求最适温度中，使用枚举方法使得到的，程序想法思想简单易懂，但是不能保证自变量的连续变化必然会产生误差。本模型运用的算法简单易懂，程序易于实现。本模型就时间对温度的影响有着很好的拟合性，但是厚度对于温度的影响不够精准。对于问题一建立的模型，所使用的傅里叶定律和温度与能量关系式等物理知识是物理学热学的基础，所以可应用于类似多层热传导的情况。多层热传递过程是一个迭代的过程，后一次的初始值是前一次的终止，这种迭代思想也可用于水在岩层中的渗透，以及其他多层传递问题。对于问题二使用的枚举方法，虽然简单通俗，但是可以适用于变化范围较小的情况，同时得出的值可以认为设定其精确度。
参考文献
[1]卢琳珍.多层热防护服装的热传递模型及参数最优决定[D].浙江理工大学，2018.
[2]朱利军，张渭源，卫兵.暖体假人内部热损失率的试验研究[J].中国纺织大学学报，2000(02):14-16+28.
[3]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京: 高等教育出版社，2003.
[4]原思聪.MATLAB 语言及应用[M].国防工业出版社，2011.
[5]雷中祥.基于动态条件下消防服热防护性能与舒适性能评价[D].天津工业大学，2017.
论文作者:蒋林志 钱宇珊 施润华
论文发表刊物:《新材料·新装饰》2018年8月下
论文发表时间:2019/3/13
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