运用运动变体教学促进学生认知发展_数学论文

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习题变式教学是高中数学教师经常应用的一种教学手段.变式教学能帮助辨析正误，从而达到举一反三的教学效果；变式教学能有效内化知识，从而形成知识网络；变式教学能提升数学思维能力，从而提高、升华数学思想方法；变式教学能有效节约时间，从而提高教学效率……但在实施变式教学时，切忌随意、盲目地进行变式，要结合教学内容和教学目标，适时适度地进行.那么，在何处进行变式教学更加适宜呢？下面以几个案例浅谈如何把握变式教学的时机.

一、在易错易混处变式，促知识生成

学生的知识背景、解题经验、思维方式、情感体验都和教师不同，解题时，他们不可能和教师考虑得一样全面，这就难免出现“解题误区”.因此，教师在例题教学中，若能以“易错易混”为生成点进行变式教学，则能“以误治误”，加深理解，从而达到事半功倍的效果！

案例1 普通高中课程标准实验教科书人教A版必修5“基本不等式”练习第1题：x＞0，当x取什么值，x+的值最小？最小值是多少？

本题主要考查的是基本不等式的简单应用，即：若x，y＞0，积xy是定值p，则当x=y时，和x+y有最小值2.如果就题论题，讲完此题就草草收兵，那么我们就不能充分发挥此题目的功能，学生对知识的掌握停留于局部，仅仅只能窥见冰山一角，暴露出来的只是知识内涵的一小部分，学生很容易对“基本不等式”的应用前提产生忽视，因此我们宜在此知识易错易混处进行适当的变式，以进一步促进学生知识的生成.

注意到“基本不等式”的应用前提条件是：一正二定三相等.因此我们针对此条件进行变式：

变式训练1 当x＜0时，求函数f(x)=x+的值域.

解题时，我们发现本题的函数解析式虽然与例题中的函数解析式一样，但是自变量的范围不一样，根据解题的前提要求：“一正”，所以我们必须先把自变量化为正数的区间进行求解.

注意到前提条件x＞2，这使得不等式应用时，等号无法取到，即“三相等”无法满足，所以只好另想他法，这里我们尝试研究函数的图象，利用单调性求函数的最值.值时，可以考虑利用分部分式的方法进行求解.

实践证明，这样的例题教学是成功的，这对于提升学生的运算能力是大有帮助的，尤其是在运算的合理性、准确性这两个方面都有极大的提高.

二、在方法生成处变式，促知识内化

内化是学生理解、掌握数学知识必不可少的一个过程.要想掌握好一个知识点，就必须研究这个知识点的一些常见的解题规律、思维方式，以促进知识的内化.为了帮助学生数学知识内化，我们可以在数学规律、方法的生成处进行变式教学.

本题主要考查的是两角差的余弦公式，解题时套用公式即可，但为了揭示研究三角函数恒等变换的一般规律，我们宜借此题进行适当的变式训练.我们知道三角函数是以“角”为变量的函数，因此，研究角度之间的关系是一种重要的解题规律，因此，我们选择“角的构造技巧”作为变式的方向.

三、在拓展延伸处变式，促知识深化

“拓展延伸”可以使所学的知识内容得以深化，同时也能充分培养学生“从特殊到一般，从具体到抽象”的数学思维，它让我们了解了事物的实质及发展趋势，也是数学学习中最常用的一种学习方法.数学教材中的“拓展延伸”也常以阅读材料、变式探究等方式出现.因此，在数学知识的拓展延伸处进行变式教学就显得尤为重要了.

案例3 普通高中课程标准实验教科书人教A版选修2-1“圆锥曲线”介绍了这样两个问题：

第2.2节例3：如图1，设A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）.直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是-，求点M的轨迹方程.

第2.3节探究：如图2，设A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）.直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状.与2.2例3比较，你有什么发现？

观察课本的例题和探究，我们引导学生猜测“平面中一个动点与两个定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆或双曲线”，接着给出变式：

观察斜率之积的符号规律，结合上述的猜测，更进一步地，我们猜测“平面中一个动点与两个定点连线的斜率之积为定值（定值小于0）的点的轨迹是椭圆”.为了验证这一猜测，我们把问题一般化，可得：

当斜率之积这一定值小于0时，这样的点的轨迹是椭圆.那么斜率之积大于0呢？从课本的探究内容及上述变式，我们可证明：

这两个命题有人称为圆锥曲线的“第三定义”，在近年的高考试题中屡屡涉及该性质的考查.为了更深入掌握了解该性质，给出下面变式：

变式训练3 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线4P与BP的斜率之积等于a，求动点P的轨迹方程.

从变式训练3我们可得：

（iv）当a=0时，方程①表示两条直线（除去四个点）；

（v）当-1＜a＜0时，方程①表示焦点在x轴上的椭圆（除去四个点）；

（vi）当a=-1时，方程①表示圆（除去四个点）；

（vii）当a＜-1时，方程①表示焦点在y轴上的椭圆（除去四个点）.

知识的拓展延伸变式，就是要从学生的实际需要出发，基于学生已有的知识水平、认知能力、知识结构，以问题或探究的形式适度拓展、延伸数学教学内容，从而使学生真正获取知识，并使新知识在学习中得以深化.

四、在知识交汇处变式，促知识迁移

课标版“考试大纲”指出“高考命题应从学科整体意义的高度去考虑问题，强调知识之间的交叉、渗透和综合，体现综合性，以检验学生是否具备一个有序的网络化的知识体系，在知识网络交汇点处设计试题，对数学基础知识的考查达到必要的深度.”因此，在主干知识之间的交汇处进行变式，能有效地促进数学知识、方法的迁移应用，培养学生的数学应用能力.

案例4 普通高中课程标准实验教科书人教A版选修2-1“椭圆”例2：如图3，在圆=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D是垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？

课本例题的“分析”过程告诉我们：点P在圆上运动，点P的运动引起了点M的运动.我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程.我们把这种方法称为“相关点转移法”，“点M与点P”即为“相关点”，“由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程”即为“转移法”.为了使学生能准确识别不同情境下的问题模型，我们宜在知识的交汇处进行问题变式，通过变式使学生掌握此方法的精髓，并有效迁移应用.

变式训练1 如下页图4，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x'Oy'（其中y'与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx'=45°.平面B内的曲线C'的方程是，求曲线C′在平面α内的射影C的方程.

本题是立体几何与平面解析几何交汇考查的典范，要求学生把平面中的“相关点转移法”迁移应用到空间中.

变式训练2 定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为平面斜坐标系；在平面斜坐标系xOy中，若（其中分别是斜坐标系x轴，y轴正方向上的单位向量，x，y∈R，O为坐标原点），则有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标.如图5，在平面斜坐标系xOy中，若∠xOy=120°，点M的斜坐标为（1，2），求以点M为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.