慎重对待“获得‘基本数学思想’”，本文主要内容关键词为：慎重论文,思想论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新课程标准”）提出的义务教育数学课程教学总目标第一条称，通过义务教育阶段的数学学习，学生能“获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”.这一目标被人们概括为“获得四基”.其中“基本思想”是指“数学的基本思想”.有专家解读说，从“双基”到“四基”，其中的重要之处有两点：其一是把过去在课程目标中处于“隐性”地位的数学思想“提升”到与“双基”（基础知识和基本技能）并列的“显性”地位；其二是把以往的“渗透”数学思想修改为“获得”数学思想，教学要求提高了，“把思想、活动经验这些‘软任务’提升为与‘双基’同等的‘硬指标’”.[1] 新课程标准颁布之后，“从双基到四基”受到人们的广泛关注，被很多专家解读为新课程标准最重要的变化，有学者说：“‘四基’是这一轮数学课程改革取得的最重要、最具成长性的标志性成果”[2]，有学者认为，“数学思想是数学科学发生、发展的根本，也是数学课程教学的精髓，数学课程并不仅仅以教会数学的概念、公式和计算程序、解题方法为目标，更重要的是让学生在学习这些结论的过程中获得数学思想”[3].在这样的氛围下，在数学教学特别是小学数学教学中，一股“数学思想”教学热悄然兴起.一些教科书随即加大了渗透数学思想的力度，称“在一年级每一部分知识的学习中都渗透了数学思想，如符号思想、模型思想、化归思想、推理思想、函数思想、统计思想、集合思想等”[4]. 倡导加强关于数学思想的教学与研究，是十分必要和重要的.但是，过分夸大“从双基到四基”的理论意义，过分夸大数学思想在现阶段义务教育中的作用，过度实施“获得数学思想”的教学，既不客观也不慎重，在小学阶段尤应慎重，以免对“双基”教学造成冲击.当小学一年级学生连整数都还没有完全认识的时候，就要对他们渗透那么多“数学思想”，这种做法实在是太过分了. 一、“关注数学思想的教学”不是新话题 首先，无论从时序的先后还是理论的深度来看，称“获得基本思想是教学理念的重大发展”都有些夸张. 我国中小学数学教学中关注数学思想已经有将近四十年的历史.1978年颁布的中、小学数学教学大纲同时把“适当渗透一些现代数学思想”列为各自确定教学内容的原则；1988年，《全日制初级中学数学教学大纲（初审稿）》更明确地指出：“初中数学中的基础知识包括初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理等，以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”[5].同年出版的《高中数学教学指导书》指出：“数学基础知识的教学不仅要求学生记住概念、性质、公理、定理、公式、法则，更重要的是要学生掌握由其内容所反映出来的基本数学思想和数学方法.”[6]也就是说，早在20世纪七八十年代，重视数学思想和方法的教学已经成为中国数学教育的一个重要标志. 随之展开的关于数学思想、数学思想方法的教学研究，至今已经有三十多年的历史，其中不乏大规模的系统性研究.例如，自1979年起，在教育部的主持下，以美籍数学家项武义规划设计的《中学数学实验教材》为蓝本的教学改革实验在全国范围内持续进行了13年，探索对学生进行数学思想方法的教学是该实验的目的之一.20世纪八九十年代有很多相关的研究报告发表，其中以人民教育出版社蔡上鹤先生的《数学思想和数学方法》最为精彩.蔡先生的文章针对中学数学不同年级的学习内容，把数学思想和数学方法的教学要求，细致地区分为“渗透”、“介绍”和“突出”三个层次.诸如此类的研究成果，今天仍然极具参考价值. 2001年开始的数学课程改革同样重视“数学思想”的教学，《义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称“标准实验稿”）已经明确把“数学活动经验”和“基本的数学思想”列入数学课程总目标之中，各种版本的中小学数学教材都尽力落实课程标准的这一要求.例如，人民教育出版社2003年版小学数学第三册下教师用书就有这样的说明：“和前几册教材的思路相同，本册教材除了在有关单元渗透相应的数学思想方法以外，还专门安排了‘数学广角’这一单元来介绍一些数学思想方法，使学生运用这些数学思想方法解决一些简单的实际问题或数学问题.本单元主要是结合实际，使学生初步体会集合和等量代换这两种数学思想方法.”这里表现出来的对“数学思想方法”教学的重视程度已经远远超出了改革以前所达到的水准. 二、“数学思想”的教学没有形成成熟的理论 数学教育界对“数学思想”的研究还不够成熟，目前还没有形成“标志性”成果，甚至对“什么是数学思想”都没有形成一致意见. 尽管前期的课程改革已经非常重视“数学思想”教学，但标准实验稿并没有对“数学思想”提出明确、具体的要求，课程标准研制组对此的解释是：“《标准》①在‘学习内容’中提到了若干重要的数学观念、意识和能力，但没有提及关于数学思想方法方面的要求.之所以如此，一个重要的原因是，在界定和刻画适于义务教育阶段学生领悟和掌握的数学思想方法方面，目前积累的研究成果还不够充分”[7].这是前期数学课程改革方案制定者非常明智、慎重的决定. 这表明，标准实验稿没有把数学思想提到与“双基”并列的高度，不是没有认识到它的重要性，而是理论研究和教学实践的经验积累都还不具备对数学思想提出具体要求的条件. 那么，在标准实验稿颁布十多年后的今天，具备提出这样高调的教学要求的条件了吗？没有，仍然没有. 据参与标准实验稿修订工作的专家透露，对于“基本数学思想”的研究是不充分的，专家说：“《课标》②在这里并没有展开阐述‘数学的基本思想’有哪些内涵和外延，这就给研究者留下了讨论的空间，而且由于它过去并没有被充分地讨论过，所以可能仁者见仁，智者见智，不同的学者可能会有不完全一样的说法”[8]. 事实确实如此.从现有的文献看，很多学者，包括数学课程标准修订组，在讨论数学教育中“数学思想”问题时，都以史宁中先生的《数学思想概论》为主要参考，但他们与史先生的意见就很不相同. 其一是对“数学思想”的认知不同. 有论者认为“数学思想”是一个包含许多“思想”的大集合，其中，“数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想”被称作“基本数学思想”；由基本数学思想发展、派生出来的数学思想还有很多，“例如，由‘数学抽象的思想’派生出来的：分类的思想，集合的思想，数形结合的思想，‘变中有不变’的思想，又如，由‘数学推理的思想’派生出来的：归纳的思想，演绎的思想……再如，由‘数学建模的思想’派生出来的：简化的思想……函数的思想，方程的思想”[9]等等，列举出来的“派生”思想有23种之多. 这里的“基本数学思想”如何界定，论者似乎有些含糊.他们说：“这里在‘思想’的前面加了‘基本’二字，一方面强调其重要，另一方面也希望控制其数量——基本思想不要太多了.”[10]也就是说，“基本数学思想”原本不只三个，把“基本数学思想”的数目限于三个，是出于“控制其数量”的教学策略上的考虑. 史先生对“数学思想”的论述则是另一样，他不认为“数学思想”有那么多，上述列举的那些派生出来的“数学思想”在史先生看来都不是“数学思想”.史先生认为，“通常所说的数学思想主要是指：等量替换、数形结合、分类、递归、转换；配方法、换元法、加强不等式等等.但是数学思想的本质不是这些”[11]，“我们需要给出什么是数学思想的标准.我想，这个标准就是：数学的产生和发展所依赖的思想，这是第一个标准；第二，我认为数学思想就是学过数学的人在思维上的根本差异.在这个意义下，我认为数学思想本质上有三个：第一个是抽象.第二个是推理.第三个是模型”[12]，“人们通常所说的等量替换、图形结合、递归法等，只是数学思想方法而不是数学思想”[13]. 其二是史先生对最基本的数学思想中的“数学建模的思想”“模型的思想”的解读也与其他人不尽相同. 一种比较流行的说法是：“对数学模型可以从两个层次去理解：广义的理解是把那些凡是针对客观对象加以一级或多级抽象所得到的形式结构都视为客观对象的模型；狭义的理解是指针对特定现实问题或具体事物对象进行数学抽象所得到的数学模型，在中小学阶段数学中的数学模型一般指后者.”[14]“所谓数学模型，就是根据特定的研究目标，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构.在义务教育阶段数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等都是数学模型.”[15] 而史宁中先生说：“数学模型与通常所说的数学应用是有所区别的.数学应用涉及的范围相当宽泛，可以泛指应用数学解决实际问题的所有事情.数学模型是指用数学的语言描述现实世界所依赖的思想.通俗地说，数学模型是借用数学的语言讲述现实世界的故事.在这个意义上，所有的数学表达，比如函数、方程、公式等，本身都不是数学模型，而是描述现实世界的数学语言.”[16]在史先生的文章里列举的“数学模型”是：“在气象学中：大气环流模型，中长期预报模型等；在地质学中：板块构造模型，地下水模型等；在经济学中：股票衍生模型，组合投资模型等”[17]. 在这里，笔者无意展开关于什么是数学思想、什么是模型思想以及应该怎样进行数学思想教学等问题的讨论，这些历经三十年的研究都没有能够解决的问题，朝夕之间难以得到完美的结论.笔者想说的是，通过上面的例子是不是足以说明学术界甚至数学课程标准研制者之间还没有在关于“数学思想”的基础性问题上达成共识.在这种情况下，倡导“获得数学思想”是不是应该慎重些？！ 三、“数学思想”的教学不应干扰、冲击“双基”教学 很多人误解“数学思想是数学课程教学的精髓”，认为“学生获得数学思想比掌握基础知识重要”.对此，新课程标准强调：从双基到四基不应以弱化“双基”为代价，“双基”仍然是中小学数学课程目标的重心. 知识和能力的关系，一向是课程改革的核心议题，更是本次数学课程改革着力解决的难题.经过最近十多年数学课程改革的实践，针对前期课程改革过程中“双基”教学被弱化的情况，数学新课程标准以“从双基到四基”的方式，为数学课程目标各要素的关系找到新的平衡点，既表达出数学课程目标各元素的重要性，同时也强调了“双基”在课程目标中的基础性地位.新课程标准以“注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握”为标题，用相当的篇幅对“双基”问题作了充分的论述，它说：“‘知识技能’既是学生发展的基础性目标，又是落实‘数学思考'‘问题解决’‘情感态度’目标的载体.”[18]《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》则针对“双基”教学的历史贡献，教学中落实“双基”的重要意义不厌其详地作了如下说明：“数学‘双基’教学的历史贡献是应该肯定的，《课程标准（2011年版）》继续保留了‘双基’，并且把‘双基’列为‘四基’的前两条，从而也强调了‘双基’”[19]“注重‘双基’，要求学生做到‘基础知识扎实，基本技能熟练’，是我国数学教学的传统，也是我国数学教学的重要特色.”[20]“数学‘双基’是学生数学学习的基础，是数学应用的基础，是学生后继学习的基础，是创新人才培养的基础，是一个人终身学习的基础.”[21]“学生对于基础知识和基本技能的掌握，应该尽量达到扎实和熟练的程度.”[22]“在课堂数学活动的时间安排上，大量的应该是教师启发式传授和学生在教师指导下独立思考、自主探究的时间.”[23] 数学新课程标准及其解读对“双基”的论述非常明确，非常重要.它阐明了这样一个观点：“数学思想”虽然与“双基”并列，但不等于在实际教学活动中“四基”之间没有差别；获得“双基”是获得数学思想的基础和前提；没有“双基”的掌握，不可能获得数学思想.新标准研制组称：“一个数学思想的形成需要经历一个从模糊到清晰，从理解到应用的长期发展过程，需要在不同的数学内容教学中通过提炼、总结、理解应用等循环往复的过程逐步形成，学生只有经历这样的过程才能逐步‘悟’出数学知识、技能中蕴含的数学思想.”[24]这是符合教学实际的精准的表述.正是由于这个原因，以往多个数学教学大纲对数学思想的教学要求一直使用“渗透”二字，其中隐含着对数学思想学习隐蔽性、长期性的认识.那种急于在学生对数学知之不多的情况下就“渗透”多种数学思想的愿望是难以实现的，那种从课程设计上把“获得数学思想”列为“硬指标”的意图，恐怕就更难以落实.那样做，最大的可能是学生会说一些莫名其妙的名词，徒然增加了学生的负担，模糊了教学的目标而已. 四、“数学思想”教学，欲速则不达 以往的经验表明，学生对数学方法、思想的认识、领悟，是随着对数学知识掌握的逐渐增多、深入而逐渐形成的.高中学生对数学思想的领悟会更好一些，初中学生对数学方法的掌握更具体、更明确一些，小学数学教学对数学思想的要求则应更慎重些.因为我们在这个问题上有过走回头路的经验教训. 20世纪五六十年代，欧美出现了一股数学教育现代化的新浪潮.在“文化大革命”之后，中国数学教育再次出发，数学教育现代化也成为我们数学教育的重要话题.精简并用“高观点、新观点”处理传统教学内容、增加新内容、渗透一些新的数学思想和方法，即“精简”“增加”“渗透”成为这一时期中小学确定数学教学内容的三大原则.在“有关数学思想教学”的具体实施上，中学的做法尚属平稳，小学则有些冒进，在渗透数学思想问题上作了一些硬性的过高的要求.1978年小学数学教学大纲要求“适当渗透一些现代数学思想.在小学，通过直观，使学生尽早接触集合、函数、统计等一些现代数学的思想”[25]，“现代数学思想渗透在各年级的教学内容中，集合思想从一年级认数起就开始渗透，以后，在认数、认识几何图形以及数的整除等内容中，陆续渗透‘子集’、‘交集’等思想，函数思想也从低年级起就注意渗透，高年级讲比例时继续加强.在百分数和统计图表等内容中，注意使学生接触一些初步的统计思想和方法”[26]. 经过几年的教学实践，人们发现这些教学要求难以落实.1986年颁布的小学数学教学大纲大踏步地后退，“修订了原（1978年）大纲中一些不适当的提法”，“删去了原大纲教学目的中提出的‘初步了解现代数学中的某些最简单的思想’，和教学内容的确定中的第三条.还把原大纲教学内容的安排中的第四条，‘现代数学思想渗透在各年级的教学内容中’，修订为‘结合基础知识适当渗透一些数学思想和方法’，并对如何渗透举例作了具体说明.删去了‘陆续渗透子集、交集等思想’，并且提出‘渗透要做到自然，不要加重学生的负担’”.[27] 对于以往课程改革中类似于上述情形的许多不成熟举措，数学新课程标准研制组的成员有很深的体会，他们说：“反思基础教育课程改革，我们觉得基础性研究做得不够，数学课程改革也是如此.有许多问题，没有经过认真研究，只从理论上论述是不够的，应当有实践的检验，许多改革的想法要经过实验，特别是基础性的实验研究，才能确定是否科学可行”[28].这是非常重要的经验之谈，也是对数学课程改革负责任的反思.要知道，在我们中国，一个不成熟的教育教学政策下面，受到不良影响的学生何止千万？ 义务教育阶段的数学思想方法教学问题对我们来说仍然是一个认知不充分的领域，在一个没有充分认知的领域摸索前行时，持慎重的态度是必要而且重要的，更不宜大轰大嗡，一哄而起. 前车之鉴不可不察. ①指《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》. ②指《义务教育数学课程标准（2011年版）》.