论数学精神与数学教育，本文主要内容关键词为：数学论文,精神论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
科教兴国是我们国家在20世纪末提出的一项具有深远意义的战略决策.但如何进行科学教育，怎样更有效率地提高国民的科学素养，却不是很容易回答的问题.有关专家指出：科学普及分为3个层次：最浅的层次是普及技术，包括实用技术、新技术和高技术；第二个层次是普及科学，包括科学知识、科学方法；第三个层次是普及科学思想、科学观念和科学精神.其中科学精神具体表现为探索精神、实证精神、原理精神、创新精神和独立精神，它所表达的是一种敢于坚持科学思想的勇气（注：顾卫临.科学普及走出低层次徘徊.新华文摘，1999.12）.
数学是我国在校学生学习时间最长的科学知识，因为它是所有科学的基础.相应地，数学精神也是科学精神的基础.探讨与数学精神有关的问题，对更好地弘扬科学精神，更有效地进行科学研究与教育，都具有重要的现实意义.
一、数学精神的界定
“精神”的一般含义主要有两点，一是指人的意识、思维活动和一般心理状态：二是指事物的内容实质、宗旨或主要的意义.数学精神也可以从这两方面来界定：（1）人类从事数学活动（包括数学学习、数学研究、数学应用等）的意识、思维活动和一般心理状态：（2）数学科学本身的内容实质、宗旨或主要意义.
从第一个方面来说，由于数学科学具有的一般性和普遍性的特点，数学精神可以秉承所有科学精神的要旨.数学科学的一般性和普遍性是任何其它科学不能比拟的.早在古希腊，人们就称数学为“一般知识”，其解释有两种：一是数学本身优于其它知识领域；二是作为一般知识性的学科，数学在修辞学、辩证法、语法和伦理学等之前结构就已经完整了（注：塞路蒙·波克纳.数学在科学起源中的作用.李家良译.长沙：湖南教育出版社，1992）.“Mathematics”一词派生于希腊语，意为“学习”，这意味着在所有学科中，数学是一门必须首先学会的学科.数学发展也一再证明：“数学把现实世界量的关系的一切新领域包括到自己的范围之内来”，这是现代数学家的结论（注：黄光荣.对数学本质的认识.数学教育学报，2002.11）.实际上，现代数学的一般性表现得更为明显，数学不仅成为科学研究中必不可少的工具，还成为技术创新的必由之路.高技术本质上是一种数学技术已得到学术界的公认（注：中国科学院数学物理学部.今日数学及其应用.新华文摘，1994.1）.
从第二个方面来说，由于数学科学的特点.数学精神还有其特殊的表现形式，集中反映了数学科学本身的内容实质、宗旨或主要意义.归纳起来，主要有3点：崇尚理性的思维方式，追求统一的体系结构，符合实践的求真原则.
二、数学精神的特殊体现
1.崇尚理性的思维方式
首先，数学科学与其它科学的一个重要区别在于它们的理论基础不同：一为公理，一为假说.数学科学的理论基础是公理，而公理是绝大多数人认可的道理.例如欧几里得《几何原本》就列出了“等量加等量，其和仍相等”、“整体大于部分”等公理，因而，早期数学就反映了人类普遍的理性思维结果.相比之下，其它科学的基础多为假说，而假说只是极少数人提出的理论.例如古希腊人提出的地心说和后来哥白尼等人提出的日心说等.假说常不被一般人理解，如现在的宇宙大爆炸学说，大陆漂移学说等.并且，旧的假说常被新的假说所取代.德国数学家汉克尔（Hankel，1839—1873）对此曾有一段精彩的论述：“在大多数学科里，一代人的建筑被下一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人所破坏.惟独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼.”（注：Moritz R E.Memorabilia Mathematica.New York：The MaCmillan Company，1914）
从数学认识论角度讲，数学研究对象的特殊性在于研究事物量的规定性而不研究事物质的规定性.而“量”是抽象地存在于事物之中的，只能用思维来把握.因此，数学采用了特殊的认识方法——公理法和演绎法（注：林夏水.数学本质·认识论·数学观.数学教育学报，2002.11）.
抽象方法是理性思维的特征，也是形成概念的必要手段.这一方法并不是数学独有的，但数学中的抽象却是独特的.一方面数学被认为是研究概念及其关系的学问；另一方面数学中的概念不是现实中存在的物质，无论是“数”还是“形”，都不是自然界的产物，而是人们头脑中“想象”出来的，叫做“抽象概念”.另外，数学理论的解释不惟一，每一种解释都是一个自然科学、社会科学或其它科学的理论.所以数学的方法和理论比其它科学方法和理论有较少的规定性，因而也更抽象.
在数学中，因为抽象的多层次性，以至有数学家专门研究“数学抽象度”，试图将抽象量化，以便于计算，得到许多有启发性的结果（注：徐利治，郑毓信.数学抽象方法与抽象度分析法.南京：江苏教育出版社，1990）.这种情形在别的学科中是没有的.
数学理性思维的抽象性也体现了一般科学的探索与创新精神.因为抽象，需要特别探索其内部规律，探索它与现实世界的关系，探索其应用的方法与价值：因为抽象，需要专门创新其理论体系，创新其研究的具体方法，创新其符号体系等表达方式.探索与创新有各种不同的表现形式，理性思维的抽象是它们的根本原因和集中体现.
2.追求统一的体系结构
数学的统一性精神有两方面的表现：一是数学对其它科学的统一，二是数学本身的统一.
自古至今，数学在科学中一直扮演着“领衔主演”的角色.古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前560—公元前480）学派信奉“万物皆数”的观点，并将当时的学习课程分为4大部分：算术、音乐、几何、天文，认为它们都是数学的组成部分，分别对应着数的绝对理论、数的应用、静止的量和运动的量.柏拉图（Plato，公元前427—公元前347）更是在自己的学园门口刻上“不懂几何者不得入内”的铭文，说明数学对其它科学的作用.17世纪法国科学家、哲学家笛卡儿（R.du P.Descartes，1596—1650）建立自己的知识体系时，提出了以数学为楷模的理性演绎方法.实际上，数学方法的普遍应用，早就揭示了各门科学都具有数量关系的特征.现代数学又深入一步，揭示了构成事物或过程各要素间的联系和整体性.例如，爱因斯坦相对论以数学为工具揭示了时间、空间、物质、能量之间的联系和整体性；量子力学以数学为工具，揭示了波和粒子、连续和间断的统一性和整体性（注：滕福星.现代科学的数学化思想.百科知识，1988.7）.数学模型还揭示了各种现象的统一性，成为处理这些实际问题的有力工具.
数学本身也一直在寻求统一.算术发展成代数，为的是可以统一解决不便逐个计算的问题.笛卡儿发明解析几何的动机是要建立一种普遍的数学，并可以解决一切事物的次序和度量性质.稍后的莱布尼兹（Leibniz，1646—1716）决心把逻辑表示成一种演算，这种演算研究非数量的抽象关系或形式关系，也称之为普遍的数学.德国数学家克莱因（C.F.Klein，1849—1925）提出用群的观点统一整个数学，并通过群把几何学、代数学、分析学连接成一个统一的数学整体.
20世纪上半叶，数学上的突出进步主要在学科内容的充实及深入，以及由此产生各学科之间的相互关联，互相促进.例如产生大范围分析、微分拓扑、几何拓扑、几何分析、同调代数、算术代数几何、范畴及函子理论等.法国布尔巴基学派还提出用结构来刻画整个数学的观点.20世纪中叶以来，数学愈发显现出一个统一整体的特点，一方面表现在分属不同分支，看起来完全不相干概念之间的联系不断被发现，而这些联系又成为数学科学进一步发展的基石.例如霍奇（Hodge）定理，阿蒂亚—辛格（Atiyah—Singer）指标定理等揭示了流形的拓扑不变量及其上微分算子的分析不变量之间的关系；另一方面，表现在不同分支的交织与渗透形成解决问题的强有力的工具，尤其是一些重大问题的突破往往来自意想不到的不同分支的结合.例如，在四维流形上存在着不同的微分结构这一发现，竟来自物理学规范场论中的高度非线性的偏微分方程的解，费马（Fermat）大定理的解决几乎要依靠由所有经典数学的分支，包括数论本身、代数几何、李群和分析等所发展出来的思想.这两方面既是数学内在的统一性的集中体现，又是数学在更高层次上走向统一的反映（注：张恭庆.国际数学家大会和我们.中国数学会通讯，1999.4）.
3.符合实践的求真原则
对数学家而言，数学理性思维的严谨是相对的，现代数学更是证明了“不完全性定理”，即数学系统内存在着不可判定的命题.对一般人而言，数学的这种严格自律有点“吹毛求疵”，实质上，这正体现了数学精神符合实践的严格求真性.
首先，数学本身的理论体系是严格定义、严密推理的，即数学的逻辑是严格的.数学从一些初始概念（不定义概念）和一些初始命题（不证明的命题、公理）出发，按一定的逻辑规则，定义出所有需要的概念，推导出所有需要的其它命题（定理）来.推导是一种严格的证明，其依据只能是初始命题（公理）或已由它们证明了的命题（定理）.数学的公理化趋势表明了数学注重逻辑的严密.非欧几何学、抽象代数学等分支之所以能在缺乏实际背景的情况下被人们接受就是因为其逻辑推理是严格的.
其次，数学发展的目标是追求真理.真理是客观事物及其规律在人的意识中的正确反映.理论的真理性问题就是理论是否正确反映了客观实在的规律性问题，而数学真理实际上是人类对于数学对象的规律的正确反映.古希腊人使用真理这一术语具有确实、符合事实的意思，柏拉图和亚里士多德都认为数学概念既是物的性质，又是思维的产物，因而是符合事实的，所以有必然的真理性.中国古代数学强调应用某算法的合理性和计算结果对实际的符合性，因而也是正确的理论.这些观点符合“实践是检验真理的唯一标准”这一科学论断.由于数学科学的特殊性，数学证明是数学理论成为真理的必要条件，数学理论的实践检验对逻辑推理有较大的依赖性.数学理论的真理性检验既通过人们在实践活动中的直接应用得到检验，又通过人们在其它科学中的应用与有关科学理论一同得到实践的检验.微积分创立后曾有一百五十多年逻辑上缺乏严密性，但由于在实践中有广泛的效能，被认为是最好用的数学工具之一，因而也被认为是“真”的.对数学家来说，微积分的严密基础建立起来后他们才能松一口气.微积分的逻辑展开成为精确思维方面最大的技术上的进步（注：冯·诺依曼.论数学.朱水林译.世界科学，1982.2）.
数学严格的求真性表现了一般科学的实证精神和原理精神.现代数学的发展一方面在数学基础领域追求逻辑上的严密，另一方面又尽最大可能揭示自然界的奥秘.突变理论、模糊数学、混沌理论、分形几何等新兴数学分支的建立，其目的都想使数学更好地解决实际问题，即更加符合客观真理.英国著名数学家哈代干脆认为：“数学实在存在于我们之外，我们的作用是去发现它或观察它，那些被夸张地描述成我们的‘创造物’的定理，仅仅是我们观察的记录.”（注：哈代GH.一个数学家的辩白.李文林详.南京：江苏教育出版社，1996）虽然现代数学的某些分支被认为是“丧失了确定性”，但这只是说它的逻辑方面存在一定的问题，并不否认其客观真理性，而逻辑的缺陷也只是暂时的，数学的求真努力定会使这些分支在理性思维方面同样得到回报.
三、现代数学教育中的数学精神
实际上，以往的数学教育中也有数学精神的内容，如数学教学中自然培养了学生的理性思维能力，数学知识的不断深化体现了数学统一的特点等.但这些多是无意识的，且不系统.一个好的教员要能讲出数学小的‘道理’和‘意思’，还数学以生动活泼的本来面目，才会消除学生由于抄黑板、背定理和做机械重复性习题而产生对数学不应有的厌烦情绪（注：冯克勤.我们应当如何教数学.见：严士健.面向21世纪的中国数学教育.南京：江苏教育出版社，1994.64）.现代数学教育应注意以下两点.
1.数学教育应倡导数学精神
时至今日，我们已经认识到科学普及中除了要普及科学知识外，更重要的是普及科学思想和科学精神.数学同一般的科学技术不同，是人们必须学好的基础知识之一.例如，不必要人人都掌握炼钢或种菜的技术，却都需要掌握一定的“数学技术”，这样，数学本身已经有了普及的现实.九年义务教育规定，每一位入学者自始至终都要学习数学.但数学知识也是无穷无尽的，任何人都只能学习数学中的很少一部分知识.如何更好地理解数学，运用数学，单靠知识本身解决不了这一问题，需要进行数学思想和数学观念的灌输，进行数学精神的普及.即数学教学不仅要讲授数学知识，更要倡导数学精神，使学生不但学到相应的数学基础知识和技能，还应掌握数学的精神实质，更好地在实践中应用数学.
素质教育改革之前，人们惊呼我们的学生不会日常生活中出现的概率、利息等基本计算，例如识不破街头简单的扑克牌骗术，列不出复利计算的数学模型等等.现在教材改革后强化了这方面内容.但现实世界是千变万化的，目前新出现的电脑算命、变相传销等骗术仍有很多人上当，对大量实际问题的解决多数人还是一筹莫展.素质本身并不是换一些知识内容就可以提高的，需要在讲授方式和授课内容上都有变革.数学精神可以教给学生“活”的数学，不仅知其然，而且知其所以然，授学生以“渔”的技能.数学史在这方面可以提供很好的帮助.
数学是积累的科学，它本身就是历史的记录.或者说，数学的过去融化在现在与未来之中.由于这一特点，学习数学史就显得格外重要.实际上，数学史本身就是数学的一部分，它讲述的是历史上的数学.数学精神可以通过过去和现在丰富多彩的事例来体现.例如，通常所说数学史上有3次数学危机（这一提法本身就令人关注），实际正是数学求真性的具体实践，人们通过不断修正已有的理论、或创立新的理论来解决危机中提出的难题.现代数学基础研究中数理逻辑等学科可以以此作为导言，使学生明确所学分支的意义.这样的教学能使数学思想融会在数学理论曲折发展的历史进程中，对学生有潜移默化的影响.关于未来数学的走向，更需要结合过去与现实的状况去推想，方能得出科学的结论.数学史已经反复证明了这一点.
2.数学教材修订应融汇数学精神内容
数学教材是学生学习数学的知识载体，也是教师从事数学教学的知识依据.毫无疑问，教材的好坏直接影响到教育质量的高低.目前学校的各科教材中，数学教材无疑在不受欢迎之列.这里，不仅有知识陈旧，脱离实际的原因，也有知识引入等方面的不足.
数学教材应该展求动态的数学.数学教材几十年一贯制早已不是新闻.尤其对中学教育而言，相对其它科目日新月异的内容，教材会给学生以很大的误导，认为他们所学的就像克隆和超导一样，是很新的数学知识.教材编写者们会为此找出许多理由，如数学的逻辑性太强，基础知识缺一不可，学习必须循序渐进等.如此看来，随着人类文明的进步和数学内容的扩展，数学学习必有学不完的那一天.其实，任何知识都需要更新，数学也不例外.欧洲中世纪大学里学的数学无非是有理数的四则运算和简单的几何证明与作图.随着计算方法的改进和几何教学的变革，这些内容有些已成为现在小学的内容，有些则被替换为更为实用的知识.我们的教材应该紧随时代的步伐，不断删减和增补，使学生见到“活的数学”、新鲜的数学，进一步了解数学的过去和现在，以及在未来的发展趋势，为更好地理解、掌握数学创造条件.
现行数学教材内容的编写是分科目进行的，但在同一数学分支的教材中却经常出现颠倒历史发展顺序的现象.例如，历史上先有了对数，后来作为其逆运算才引进了指数.而现在的教材是先讲指数，再讲对数：历史上先发明了积分运算，后来才有了微分运算，现在却先讲微分，再讲积分.同样的情形还有球面三角与平面三角，圆锥曲线与二次方程等.数学教材之所以“倒行逆施”据说是为了便于理解，或是为了逻辑上的需要.其实这两点都值得商榷.以指数与对数概念而言，中学教材指数的引入是从底数的连乘开始的：a·a…a=a[n]，这样只能得到自然数指数.由此再引申出分指数与负指数，而后者已不好解释，况且还有一般实数做指数的指数函数.但教材中的应用题却都使用正整数，学生根本见不到一般指数的应用例证.教材后面的对数则是作为指数的相反运算引入的.实际上，如果先讲对数，再讲指数就可得到指数为一般实数的情况，这样的引入就自然多了，逻辑上也更好理解.教材里这些与历史发展逆序之处恰是教学的难点，教材编写者的良苦用心并没有得到相应的回报.
数学的发展是为了解决问题，历史上问题出现的先后是不以人的意志为转移的.数学精神的求真原则正是为了符合实际.抛弃历史往往导致事倍而功半.
数学教育的目的在于培养全面领会数学功能的人才，使他们既会应用数学知识解决实际问题，又能掌握科学的精神、思想和方法.例如，学过数学的人们中的大多数，一生中可能很少使用已学过的专业知识，但这不等于说他们的学习没有效用.很可能他们最大的收益在于掌握了数学的精神、思想和方法，提高了自己的思维能力（注：徐利治，王前.数学哲学、数学史与数学教育的结合.数学教育学报，1994.3）～（注：吴国建，沈自飞.数学教学与人文教育.数学教育学报，2003.12），而且终生受益.不仅如此，数学研究水平的提高也需要深厚的思想基础，只有深刻理解和掌握数学精神和思想的人，才有可能取得数学理论和应用上的卓越成就.