追寻“三角”的发展史，理解主编的意图，澄清教学的困惑_数学论文

追寻三角发展史，领悟主编意图，理清教学困惑，本文主要内容关键词为：发展史论文,意图论文,困惑论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      一、问题的由来

      章建跃先生在文[1]中指出不少网络上刊载的文章，甚至一些正规教辅资料，大多数认为任意角三角函数是锐角三角函数的类比、推广，或者按照锐角三角函数教学模式来开展任意角三角函数教学.其实这是不了解三角学发展史，也没有领悟主编意图，更没有理解教材本质而导致的.笔者有幸多次应邀作为评委聆听了不少教师的公开课及同课异构活动（与三角函数相关），华丽的课件、娴熟的操作、规范的板书、和谐的氛围、互动的场面精彩纷呈.遗憾的是不少教师依然认为任意角三角函数就是锐角三角函数的延伸及拓展.出现这种情况既不是偶然，也不在个别教师，甚至是一种普遍现象.本文从三角学发展史的视角来理清人教A版必修4教学中暴露的一些误区.

      二、追寻三角学发展史

      1.三角学萌芽

      三角的英文是trigonometry，来自拉丁文tuigonometuia，是由三角形（tuiangulum）和测量（metuicus）组合而成.最先使用该词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯（Pitiscus，1561—1613），他在1595年出版的著作《解三角形的简明处理》中首创了这个词.

      三角学最早发源于古希腊.泰勒斯（Thales，公元前624年—公元前546年）的理论被认为是三角学的萌芽，但历史上都认为著有12卷三角学并制作成弦表的古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparkhos，公元前190年—公元前125年）才是三角学的创始者.

      三角学的起源、发展与天文学密不可分，它是天文观察结果推算的一种方法，最初的三角学内容总是依附于天文学著作.早在1450年以前的三角学主要表现为球面三角，尤其阿拉伯地区的数学家热衷球面三角.因为伊斯兰法律要求穆斯林在祈祷时必须面朝麦加方向，这就涉及球面三角学知识，并且平面和球面三角形的解对于确定祈祷的正确时刻也十分重要.不仅因为天文观测、海洋航行、历法推算及宗教活动等实践的需要，而且也缘于宇宙奥秘对人类巨大的吸引力，这种诱人的量天学问催化了三角学的启蒙与发展.

      2.三角学独立于天文学

      德国数学家雷格蒙塔努斯（Regiomontanus，1436—1476）于1464年完成的《论各种三角形》是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作，其标志着三角学从天文学中独立出来.这部巨著首次对三角学做出了完整、独立的阐述，其中前2卷论述平面三角学，后3卷论述球面三角学.他的卓越贡献为三角学在平面与球面几何中的应用奠定了牢固的基础，对16世纪的数学及数学家产生了巨大震撼，同时也对哥白尼等一批天文学家产生了极大的影响.

      3.平面三角学脱离球面三角学

      哥白尼的学生、奥地利数学家雷提库斯（Rhetucus，1514—1576）将雷格蒙塔努斯借用印度人的弧与弦的关系改进为角的三角函数关系，把三角函数定义为直角三角形的边长之比，从而使得平面三角学从球面三角学中独立出来.同时他还采用了六个三角函数（正弦、余弦、正切、余切、正割及余割函数），制定了更为精确的正弦、正切、正割表，这些工作极大地推动了三角学的发展.17世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算，制作三角函数表已不再是很难的事，于是数学家们将注意力转向了三角学的理论研究.

      4.平面三角学系统化研究

      法国数学家韦达（Vieta，1540—1603）所做的平面三角与球面三角系统化工作，使得三角学得到进一步发展.他总结前人的三角学研究成果，并于1579年面世的第一部三角学专著《应用于三角形的数学定律》中，系统论述了平面三角学与球面三角学，将解平面直角三角形和斜三角形的公式汇聚在一起，还补充了新发现的公式.例如，正切公式、和差化积公式、积化和差公式等，因此韦达被誉为第一位三角公式的集大成者.他将解斜三角形问题转化为直角三角形问题，对球面直角三角形问题，他也给出了计算方法和一套完整的公式及记忆法则，并将这套公式表示成代数形式，这是非常重要的工作，对近代三角学的诞生起着极大的推进作用.

      5.近代三角学的诞生

      瑞士数学家欧拉（Euler，1707—1783）撰写的被誉为数学七大名著之一的《无穷分析引论》是一部划时代的著作，标志着近代三角学的开始，宣告三角学从原先静态研究的解法中解脱出来，成为反映现实世界中某些周期运动变化的一门具有现代数学特征的学科.欧拉首先在直角坐标系中定义了单位圆，以函数线与半径的比值定义了三角函数，并圆满解决了三角函数在四个象限中的符号问题.欧拉从最初的少量三角公式推导出所有三角公式，还获得许多新的公式，使得三角学成为比较完整的数学分支学科，更为可贵的是其发现了著名的欧拉公式：

将原来人们认为互不相干的三角函数与指数函数有机结合起来，为三角学的发展注入了新的生机与活力.

      6.三角学传入我国

      在我国数学家艰辛的努力下，历经漫长的岁月，三角学于1631年传入中国.三角学在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”.其中“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线.随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学模型与工具.

      追寻三角学发展史，不难看出三角学也与其他学科一样，都经历了萌芽与兴起、发展与改进、完善与深化及应用与研究四个阶段.

      三、领悟主编意图，理清教学困惑

      追寻三角学发展史，不仅仅是为了回顾历史，更是为了沿着三角学发展足迹还原三角学本来面目，准确领悟教材主编的真实意图，吃透教材精神实质，理清教学中的困惑与误区.

      1.采用单位圆定义法不仅是出于简捷

      不少教师认为，新课标教材之所以采用单位圆定义三角函数，而摒弃旧教材中利用终边定义，完全是出于简捷的目的.其实，追寻三角学发展史就不难看出这种想法的片面性.

      雷提库斯将三角函数定义为直角三角形边长之比，即人们常说的终边定义法的“毛坯”.欧拉以函数线与半径的比值定义了三角函数，即单位圆定义法.事实上，它们本质是等价的.既然本质一致，那为何新课标教材采用单位圆定义法呢？主编有何目的？

      （1）从知识源头.必须明确从“锐角”到“任意角”是由“射”到“转”的扩充过程.与圆的定义相同，其最能体现三角函数的最显著特性——周期性.在周而复始的现象中，最本质的是圆周运动.其实三角学发展史告诉我们三角函数的研究曾经长期在圆中进行，数学史上曾经把三角函数称为“圆函数”，故采用“单位圆定义法”可以说是名正言顺，实至名归.

      （2）从全局观念.单位圆定义法有利于站在全局的视角来构建三角函数的整个知识体系.如果说单位圆定义法是三角函数的代数形式，那么单位圆中的三角函数线则是三角函数定义的几何形式.三角函数的代数形式与几何形式高度融合于一体，为后面所学的同角三角函数关系式、诱导公式、三角函数性质及三角恒等变换奠定了坚实的基础.

      （3）从思想方法.单位圆定义法充分凸显了数形结合、转化与化归、特殊到一般及具体到抽象等数学思想.正如日本数学家米山国藏所言，无论对于科学工作者还是数学教育工作者，最重要的是数学思想和方法，而数学知识是第二位的.因为数学思想与方法是以基础知识与基本技能为载体，总是隐性地存在于数学概念之中，它是对数学知识的本质认识，是对数学知识在更高层次的抽象和概括，是数学内容的精髓，是知识转化为能力的桥梁.

      （4）从发展眼光.学生已经熟练掌握直线、圆及其方程，因此“单位圆定义法”不仅符合学生已有认知水平，而且有利于大学深造微积分，实现中学与大学的无缝对接.

      2.任意角三角函数不是锐角三角函数的简单推广

      从三角学发展史不难看出，任意角三角函数与锐角三角函数有一定的渊源关系，某种意义上可以把任意角三角函数看作锐角三角函数的进一步发展，但是它们最原始的研究出发点确实是不同的！锐角三角函数是为研究各种几何量之间关系而发展起来的，是解决三角形问题的工具，而任意角三角函数则不限于此，它是最本质、最给力的周期函数，是为了研究周期现象而发展起来的，是研究现实世界中周期变化现象最典型的函数模型.因此，既不能把任意角三角函数看作锐角三角函数的简单推广，也不能把锐角三角函数看成任意角三角函数在锐角范围内的限制，这一点必须引起一线教师的高度注意.

      3.把“三角函数”单独编成一章的用意

      教师要用好一套教材就必须理解整套教材的编写意图、知识体系、结构特点及呈现方式.没有宏观意识就没有全局观念，就不可能全面理解教材，更不可能与主编意图碰撞出智慧火花！

      我们知道，函数是刻画客观世界变化规律的重要模型.学生进入高中后立即学习文[2]中的指数函数、对数函数及幂函数，那为何主编没有把三角函数合并在一起，让学生集中学习呢？按理说，新课标教材按模块编排，将三角函数与其他函数放在一起顺理成章，可以系统、完整、全面地学习函数，这样不是更好吗？其实，深入研究过教材的教师一定会发现：文[2]中的指数函数、对数函数及幂函数的主要目标是为了建构递增的数学模型，所以主编在文[2]中特意安排“函数模型以及应用”一节，其目的就是为了凸显几类不同增长的函数模型.不仅把指数、对数及幂函数，而且将初中的一次及二次函数整合于一体并进行比较，以此提醒我们关注增长函数模型的选择与拟合.历来惜字如金的教材为了亮明主编意图，特意在文[2]中整整花费三大页的篇幅（第98～101页）集中采用图形语言、符号语言及文字语言专门阐述递增模型，这在教材中还是第一次如此浓墨重彩，足以显示主编的用心良苦！与此同时，主编特别强调，它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，这正是人们描述有关增长的速度时经常说“直线上升、对数增长、指数爆炸”缘由.

      由上述分析便知文[2]中的指数、对数及幂函数主要是为了构建增长函数模型，从某种意义上可以说文[2]是增长函数模型的集合.而三角函数则是周期函数模型.为了凸显各自特点，主编特意将三角函数单独编成一章.然而不少教师强行将它们安排在一起，不但冲淡了指数、对数及幂函数的增长特征，而且淹没了三角函数周期的本质特征.

      4.新、旧教材中三角函数的本质差异

      （1）内容上.新课标教材只要求掌握正弦函数、余弦函数、正切函数，而删去余切函数、正割函数及余割函数，同时教材删去了反三角函数.为了凸显三角函数独特的性质，即周期性，新课标教材专门增加了“三角函数模型的简单应用”一节，而旧教材则将其分散在各节中，这是新课标教材的点睛之笔.

      （2）编排上.文[3]特意将“平面向量”横贯在“三角函数”与“三角恒等变换”之间，这是主编的精心安排，凸显了向量的强大功能.

      （3）理念上.新课标教材折射出删减繁琐复杂的计算、摒弃人为技巧化的难题，及弱化细枝末节的追究的理念.文[3]将11个公式（即两角和差的正弦、余弦、正切及二倍角公式）作为“母公式”，将积化和差、和差化积等作为“母公式”的应用.意在警示教师放弃“冷战”思维，不要一味加深、加大三角恒等式、不等式的证明，不要反复操练所谓的特法、特技试题.侧重凸显数形结合、转化与化归、函数与方程、一般与特殊等数学思想.

      文[3]第61～62页中的例3涉及较多且复杂的地理学、天文学中专业名词.例如，太阳直射纬度角、太阳高度角等，不少教师一带而过，甚至个别教师任性地删除例3，要知道三角学源自天文学.因此，反过来利用三角知识来解决天文、地理学中的问题是“乌鸦反哺、羊羔跪乳”！例4是本节的高潮，也是三角函数模型应用的最高境界！收集数据、分析数据、整理数据，描散点图，寻觅最佳拟合函数，将潮汐问题转化为数学问题，构建三角模型，运用三角知识解决问题，最后将结果反馈于实际问题，并根据结果与实际问题进行适当的调整、改进，最终完美解决问题.这种过程与方法正是人教A版必修3第一章“算法初步”、第二章“统计初步”中思想、方法的具体体现，再一次凸显了算法思想、统计方法渗透到了数学的每一个角落，体现了生活是数学的舞台，这正是数学教育的出发点，更是归宿地.

      5.将“平面向量”安插其中的目的

      领悟主编意图是为了深入研究教材.研究教材就是将教材看作活生生的人，与教材深度对话就是与一位知心朋友的心灵交流.钻研教材是高效备课的前奏，正如著名的特级教师白金声所认为，在备课上多花点时间，如根上浇水；在讲课上增加学生负担，似叶上施肥.

      不少教师讲授完三角函数之后撇开平面向量而直奔三角恒等变换，认为这样安排紧凑，趁热打铁地将三角知识集中学习，更有不少教师认为若中间讲授平面向量会冲淡三角的氛围，其实这种安排是不科学的.

      教材及主编在用向量作为工具证明两角差的余弦公式之前，故意用前面学过的三角函数线以及直角三角形等知识来推导两角差的余弦公式，主编在文[3]第125页指出，上述推理是在α，β，α-β都是锐角，且α＞β的前提下得到的，并强调，要说明此结果是否在α，β为任意角时也成立，还要做不少推广的工作，并且这项推广工作的过程也是比较繁难的.奇怪的是教材到此戛然而止！主编这样安排有何目的呢？

      （1）尽管“半途而废”，但是教材安排是顺其自然.因为前面学习了单位圆、三角函数定义、三角函数线，尤其在初中集中学习了解直角三角形，应该说这样处理符合教育教学规律，在学生已有认知基础上，在最近发展区开展推理是符合逻辑，是合情合理的.

      （2）体现了从特殊到一般、简单到复杂的规律，这是任何科学研究的普遍方法.

      （3）当推广工作遇到困难，应该学会变通，学会变换思维方式，主编借此表明本章不仅仅是在三角形式上需要变换，而且暗示师生在学习过程中需要变换自己的思维方式.

      （4）向量不仅有大小，而且有方向，这意味着向量兼具代数、几何特征于一体.向量进入数学并得到发展，是从复数的几何表示开始的.1797年，丹麦数学家威塞尔（Wessel，1745—1818）利用坐标平面上的点（a，b）表示复数a+bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题.由向量的发展史不难看出，向量是沟通代数、几何与三角的桥梁与纽带.

      （5）将平面向量安插在三角函数与三角恒等变换之间的最重要的原因就是其体现了向量强大的功能，即利用向量数量积来论证两角差的余弦公式简单明了.正如爱因斯坦认为，数学美，本质上终究是简捷.向量与三角本身都是功能强大的工具，所以主编将它们编排在一起构成模块文[3]，从某种意义上来说文[3]就是展示强有力工具的大舞台.

      6.三角恒等变换与三角函数一起构成文[3]的原因

      我们知道转化与化归是七大数学思想之一，可以说数学史就是转化与化归的历史，没有变换就没有数学！文[3]第三章三角恒等变换是第一章三角函数的延伸，更准确地说是从第一章第二节同角三角函数关系式深化而来.因为同角三角函数关系式的着力点在于同角，也因此而得名.事实上，三角问题中遇到更多的是不同角、不同名之间的关系，这正是文[3]第122页章头图中情境引入求电视塔高度的原因所在.如何将不同角、不同名变换为同角、同名是摆在我们面前的一个课题，由此可以看出三角恒等变换是顺势而生，其既是实际情况所需，也是完善知识系统必然，这正是主编全局观的突出表现.学习三角函数的目的就是为了解决实际问题，而解决问题需要工具和手段，这个强有力的工具就是11个母公式（这11个母公式就是前面所学的诱导公式的推广与延伸），这个手段就是三角恒等变换.没有三角函数，三角恒等变换就成为无源之水、无本之木！没有三角恒等变换，三角函数就只是光开花不结果的花瓶而已.由此说明三角函数与三角恒等变换是不可分割的，其与工具性知识，也就是平面向量一起构成模块必修4，既是必需的，也是必然的.

      7.解三角形没有编入文[3]而另立门户编入必修5的原因

      我们知道解三角形主要解决斜三角形的边角之间的关系，似乎是初中解直角三角形的延伸、拓展，是文[3]第一章三角函数、第三章三角恒等变换的具体应用，至少名字上都有三角的字眼，似乎同宗同祖，其实不然！三角函数既不单纯是初中锐角三角函数的推广，也不是仅仅为了解决斜三角形中的边角问题而生，而是专门为了解决现实世界中普遍存在的周期现象，三角函数与解三角形没有什么关系，因此解三角形与三角函数并不是“亲兄弟”，充其量是“远房的表兄”而已，其密切程度远不及三角恒等变换，因此将三角恒等变换放在文[3]而将“解三角形”归入另一个模块必修5便不足为奇.主编在文[3]第一章“三角函数”中特意用月相变化和简谐振动的组合图作为章头图，意在用图形语言凸显本章的核心就是研究现实世界中无处不在的循环往复、周而复始的周期现象！主编担心师生没有领会其图形语言，又特意在章头图的下方用文字语言注明“大到宇宙天体的运行，小到质点的运动，现实世界中具有周期性变化的现象无处不在！”主编如此煞费苦心就是为了说明，三角函数与解三角形没有什么关系，其使命已经从静态转变为研究动态现实世界中某些周期运动变化现象.

      四、追寻发展史，培养情感、态度、价值观

      1.用数学家的精神激励学生

      雷格蒙塔努斯28岁完成欧洲第一部独立于天文学的三角学著作《论各种三角形》，标志着三角学从天文学中独立出来.韦达39岁完成第一部三角学著作《应用于三角形的数学定律》，系统论述了平面三角学与球面三角学.欧拉42岁撰写著作《无穷分析引论》标志着近代三角学的开始.这些伟大的数学家年轻有为、求真务实，经过艰苦卓绝的奋斗取得了举世瞩目的成就，为数学的发展做出了巨大的贡献.以他们为榜样，提高学习积极性，激发学生创造力，使其树立远大抱负并为之而努力拼搏，则将来续写辉煌数学史的可能就是我们的学生.

      2.用数学之美熏陶学生

      数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前580年—公元前500年）认为平面图形中最完美的对称图形是圆.正是因为在单位圆中定义三角函数，所以三角中处处闪耀数学之美.单位圆定义法结合向量知识充分展现数学的简洁之美；单位圆及诱导公式（二）～（六）分别关于原点、x轴、y轴、直线y=x，y=-x对称，这样的“全家福”对称，显示了几何图形的对称之美；角之间关系：（π+α）-α=π，

，凸显了诱导公式（二）～（六）之间的代数结构和谐之美；诱导公式（一）～（四）的“偶不变——遗传”及诱导公式（五）与诱导公式（六）的“奇变——变异”，完美演绎着遗传与变异的对立统一.遗传中有变异，变异中蕴含着遗传，诠释着数学的理性之美；数学家欧拉与数学教师汤姆生建立弧度制并给出换算公式π=180°，凸显了数学的奇异之美.正如文[4]所说，π是圆周率，怎么可能与角度发生关系呢？风马牛不相及！学生刚开始时有疑问是正常的，这是由于我们将“π”后面的单位（弧度）省略而导致的.巧合的是，单纯看180°，我们还可以将其视为温度，π等于温度180°，那就成为笑话！（由此说明刚开始接触弧度制时，教师应尽量有意识地强调“弧度”二字，以帮助学生度过不适应期！）这也正是数学的奇异性的具体表现！

      我国著名的数学家谷超豪指出，别看数学表面上枯燥，其实只要深入进去，你就会发现奥妙无穷，简直是开发不尽的宝藏啊！由此告诫数学教师要引领学生在数学的海洋中漫游，同时应充满好奇心和兴趣思考数学之真谛.数学教育的根本目的就是育人！数学育人就是以数学的内容、思想、方法、精神来影响学生的思想、观念、行为、态度和精神，从而培养学生求真、求善、求实、求美的精神，让学生在探究数学的过程与方法中不仅获得知识与技能，熟练掌握过程和方法，而且利用美的启示，发掘美的因素，认识美的结构，追求美的形式，发挥美的作用来培养高尚的审美情操及热爱科学的品格，优化学生思维品质，追求魅力课堂，享受数学之美，激发学生创新意识和创造能力，这才是我们追求的数学教育极致境界.

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