超级画板：获取数学基本活动经验的优秀认知平台，本文主要内容关键词为：画板论文,认知论文,优秀论文,数学论文,经验论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引言
波利亚曾指出，形成过程中的数学看上去是一种实验性的归纳科学，形成后的数学看上去是以欧几里得方式表现出来的一种系统演绎科学.数学具有双重性.教学既要充分体现数学内容形式化、抽象化的一面，又要体现数学发现、创造过程中具体化、经验化的一面.所以弗赖登塔尔说，与其说是学习数学，还不如说是学习“数学化”；与其说是学习公理系统，还不如说是学习“公理化”；与其说是学习形式体系，还不如说是学习“形式化”.因此，于数学而言，演绎证明已知的结论固然重要，可能更重要的是形式证明之前一系列的带有实验和猜想性质的思考探索过程，包括结论的发现过程和证明思路的探求过程.数学活动过程中的基本经验是数学教学的应有之义.故弗赖登塔尔主张教师不必将各种规则、定律强行灌输给学生，而是应该创造合适的条件，提供很多具体的例子，让学生在实践的过程中，自己“再创造”出各种运算法则，或是发现各种定律知识.技术的进步为学生自己动手、动脑再现数学的发现过程，获取“做数学”的基本活动经验提供了更多便利的支持.如，运用超级画板研究数学问题，能使抽象的数学问题具体化、模型化、直观化，让人先从感观上得出相关结论，这对进一步学习与探索无疑有很大的帮助，能激发想象，驱使人们在变化中寻找不变，发现数学规律，印证数学猜想，诱发直觉思维，揭示数学本质.所以，超级画板被认为是“做数学”的虚拟实验室，是培养创新能力的优秀认知平台[1].使用这个认知平台有利于学生经历数学发现的全过程：从实例出发——利用超级画板进行实验——发现规律——提出猜想——验证猜想，获取数学基本活动经验，从而推进新课程理念的实施.文章先阐述数学基本活动经验的含义，然后从学理上阐明超级画板何以是获取数学基本活动经验的优秀认知平台.
二、数学基本活动经验的涵义
在通常意义下，所谓经验就是按照事实原样而感知到的内容.“经验”是杜威教育思想的核心.杜威认为教育是经验继续不断的改造或改组，教育是“属于经验、由于经验和为着经验的”.经验供给形成知识的资料，理性提供形成知识的结构[2].让学生获取直接的或间接的经验——基本活动经验，已成为我国基础教育课程标准的理念之一.孔凡哲认为，基本活动经验通常是相对于具体的学科而言，数学基本活动经验，其实质在于，围绕特定的课程教学目标，学生经历了与数学相关的各类基本活动之后，所留下的直接感受、体验和感悟[3].学生学习数学的目的，不仅仅是获得一系列凝固的信息，而是要把知识作为思考的焦点激发各种水平的理解，从而最终成为知识的“开发者”，而不是知识的“消费者”.因此，数学基本活动经验，是指学生获得了这种活动经验之后，积累了开展数学活动的一种或几种基本策略、基本模式和基本方法.
APOS理论认为数学知识是个体在解决所感知到的数学问题过程中获得的，在这个过程中，个体依序建构了活动（actions），程序（processes）和对象（objects），最终组织成用以解决问题情境的图式结构（schemas）[4].与此过程相对应，数学基本活动经验可以分为4类.“活动”是指个体通过一步一步地外显性（或记忆性）指令去变换一个客观的数学对象.在此过程中获得的是行为操作的经验.当“活动”经过多次重复而被个体熟悉后，就可以内化为一种称之为“程序”的心理操作.在此过程中虽然也可以获得行为操作的经验，但更多的是获取心理操作的经验.当个体能够把“程序”作为一个整体进行操作时，这一程序就变成了一种心理“对象”.把程序看作一个“心理”对象，也就是能从“心理成像”[5]角度理解概念，这需要学习者充分地运用类比、对比及反省抽象等一系列思考的经验；最后是“图式”，是由“活动”、“程序”、“对象”以及与某些一般原理相联系的其他“图式”所形成的一种个体头脑中的认知框架，用以解决类似的或异类的问题.在这个阶段要充分地综合运用行为操作的经验、心理操作的经验和思考的经验，可以称之为复合的经验.由此，数学基本活动经验，大致可以分为这4种类型.
学问是经验的积累.具体的概念、定理等知识会随着时间的流逝而逐渐淡出学生的头脑，而在提出问题、分析问题进而分析问题、解决问题的全过程中所获得的数学基本活动经验却能深深地烙在头脑中.学数学的最好方式是“做”数学.在“做”数学的过程中全面积累数学基本活动经验，有助于学生学会数学的思考方式，领会数学的精神实质.而在积累数学基本活动经验的过程中，不只是有成功的喜悦，更多的是失败带来的情意上的不愉快.在这个过程中，不仅要有认知上的努力，还要有情意上的砥砺.认知和情意是心理活动的两大支柱，认知和情意是对称的.在获取数学基本活动经验的过程中，真正实现了数学教育的育人功能：启迪了学生的数学精神，激发了学生的数学思维，让学生更有自主性和能动性，进而成为一个思考着的人.
三、数学基本活动经验的获取
数学研究中的数学活动是为了探索未知的事实和规律，要的是创新.工程技术中的数学活动是为了得到实用的数据和方案，要的是结果.教学中的数学活动既不是为了获取新的数学结果，也不是为了解决实用问题，它是为了说明思想概念、阐述道理方法、指导操作训练[6].因此，一个好的平台用以实施数学活动是非常必要的.超级画板，即“Z+Z”智能教育平台，将动态几何、符号演算、自动推理、编程环境以及课件制作等进行有机地集成，发展成集动态图形与动态计算于一体的逻辑动漫平台，这一基于动态几何的平台，能画、能算、能动、能变、能测，是实验探索得心应手的环境.超级画板为教学中的数学活动的展开提供了一个崭新的方式.超级画板考虑了学生认识数学的过程，能展示几何体的运动和变换过程、代数的运算过程、曲线的变换过程、轨迹的运动过程、概率试验的过程以及数据生成过程，在动态过程中为学生获取数学基本活动经验提供了技术的支持.由于超级画板不是普适软件，是深入数学学科的信息技术[7]，能够满足数学教学活动的需要，且不加重教师制作课件的负担，在课堂教学中大有用武之地.为了有效促进超级画板在数学教学活动中的推进，迫切需要从学理上阐明超级画板何以能成为学生获取数学基本活动经验的优秀认知平台.
数学知识是人类对“数”和“形”的一种“认识”，这种认识是一种“建构”，这种建构是在一定的经验背景中，在认识者所认识到的事物和其关系中产生的，即是在一定的情境脉络中产生的.为学生营造一定的认知情境，让学生浸润其中是很有必要的.超级画板是实现上述想法的有效认知平台.如，虽然圆被认为是最美的平面图形，圆也是学生非常熟悉的几何对象，但圆的本质属性却不一定为大多数学生所领悟.车轮为什么要做成圆形？学生可能回答：“为了车子平稳”.但为什么做成圆形车轮的车子行走起来就平稳呢？如果做成三角形、正方形等，道路却是“平”的，情况会怎么样？学生没在现实生活中见过这样的情境.借助超级画板能创设令人兴奋的虚拟情境.拖动变量尺上的滑块可以改变正多边形的边数.学生可以深刻地认识到，当圆形车轮在水平地面滚动时，车轴离开地面的距离总等于车轮半径的长度是车子行走平稳的原因.还可以启发学生提出下列问题：是否只有圆才具有这种特性呢？如果车轮做成正三角形、正方形、正多边形，要车子行驶平稳，该怎么办呢？利用超级画板不仅创设发现圆的属性的问题情境，而且还在“做数学”的过程中培养了学生发现问题、提出问题的经验.本来太阳底下无新鲜事，等宽曲线、莱洛三角形却在不经意中进入了学生的视野，数学的面目不再可憎，生活处处有数学，欠缺的是数学发现的眼光.
超级画板是数学学习、发现的“眼睛”.如，与北师大新世纪版（七上）配套的课件库中的“亭子”“房屋”和“金字塔”等课件，通过选择课件按钮使颜色逐渐淡化，抽出一个由立体图形构成的“骨架”，继而拆分出简单的立体图形：圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、长方体.这反映了从现实世界中的物体图形开始，逐步抽象的过程.超级画板把几何图形概念的抽象与理想化变为“可视”的，使学生“看”到了从直观到抽象的过程.这正是弗赖登塔尔所倡导“数学化”的过程，学生从中获得了“粉笔加黑板”所不能获得的数学活动经验.虽然数学的研究对象是抽象的，逻辑演绎是其重要的研究方法，但是逻辑和直观、分析和构造、一般性和个别性等对立要素之间形成的张力，却是数学发展重要的原动力.利用超级画板处理数字和图形的优势，在可视化的过程中，凸现了数学的背景和过程，使抽象的过程变得容易些了.
教育的任务不是促进学生如何适应既定的心理发展图式，而是要从历史累积起来的人类文化中汲取有益的认知工具，改变我们的思维方式、思维过程.图像的、具体的、事实的内容不是达到概念的、抽象的、理论的目标的工具或手段，概念的、抽象的、理论的目标只有栖居图像上、具象上、事实内容上，学生才能生动、充分地理解所要学习和研究的事物.数学家格雷希尔说得更直白：“数学家的每一项工作都需要直觉的帮助……还应注意不要使自己变为符号的奴隶，面对思维，应当经常联系直观背景和实际图像.”[8]这里所说的图像，应该这样来理解，不一定是指具体画面，而是指概念的心理成像能力，是把某一事物想象成其他事物的能力，或者是把某一事物想象成可能变成那种样子的能力；或者甚至可以把它看作“虚拟语气”[9].由于数学有逐级抽象的特点，前面学习的知识可以看作后面学习的知识的“图像”，只有达到这样一种“直观上的显然程度”，才算学通了.在可视化技术的支持下，超级画板努力营造一种直观形象的学习环境，是提高学生“心理成像能力”的认知平台.
数学中充满了“变”，但却是研究变化中的不变量和不变性.教育中的变异学习理论认为，为了认识某个事物，就必须注意到这个事物与其他事物之间的不同，为了注意到这个事物与其他事物在某个属性上的不同，这个属性就必须在某个维度上发生变化.在所有其他属性都保持不变的情况下，这个差异才可以被识别出来.变异学习理论指导下的变式教学也是通过变化，让学生掌握变化中的不变，所以在数学教学中实施变异学习理论及变式教学，切合了数学学科的特点.超级画板正是实施变异学习理论一个理想平台.这个智能教育平台就是要让学生在基本的数学活动如计算、抽象、假设（猜想）、证明、应用、验证、建模、提出问题并解决问题的过程中实现“变异”，抓住数学最本质的东西，看到数学活的灵魂，最终使学生学会做数学.虽然美国学者史密斯提出了人们广泛接受的五阶段学习论：初级和高级获得阶段、熟练阶段、保持阶段、迁移阶段、调整阶段，但还是不能解决学生“懂而不会”的老大难问题，从意义建构到能力生成的过程需要学生不断地“建构”，特别是在变式的环境下不断地“建构”.数学理论，不过是一种假设一演绎体系，若在学习数学知识的过程中，不变式，要达到迁移和调整阶段就较为困难了，这已为“青浦实验的新世纪行动”所证实[10].超级画板有强大的动态功能，能够让静态的数学对象动起来，能够很好地实施变式，能让学生在变式中学习数学，在“建构”中学习数学，获得“做数学”的活动经验，从而达到迁移和调整阶段，学到活的数学.
四、结语
在超级画板动态功能和可视化功能的支持下，数学已经或多或少地具有实验科学的一些特点，观察、实验和计算，几乎和逻辑与证明同等重要了，形成了以经验积累、直观领悟为基本框架的认知方式，同时也不排斥以形式逻辑为内核的认知方式.这正是新课程理念所要求的，同时也是完整的数学过程所要求的.利用超级画板“做数学”，能营造孕育数学发现的可视化环境，为情境建构物理的、模拟的模型是建立心理概念的具体对应物的一种有效方式，改变了概念的呈现方式，于其中获得了发现问题、提出问题的经验；在变式中，凸现变化中的不变，于其中获得了分析问题、解决问题的经验.诚然，这些经验不用超级画板也能获取，但是学生在制作软件、操作软件的过程中，历经了行为操作的经验、心理操作的经验、思考的经验和复合的经验，更重要的是于直观中培养了“心理成像能力”，在变式中体验到了“做数学”.用超级画板学习数学，学到了的是完整的数学过程，同时开发了左右大脑，在认知中砥砺了情意.时代的进步，文化的发展迫切要求我们能把超级画板之类信息技术有效地用之于课堂教学.