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物之生也，若骤若驰，无动而不变，无时而不移。——《庄子·秋水》
伴随着新课程改革向纵深的发展，高中数学课程的功能、内容、结构、评价都发生了根本性的改变，这些改变都是以达成一定的数学素养，促进学生的智慧发展，提高学生的综合素质为目标，是一种生成智慧的教育。英国大哲学家怀特海说：“尽管知识是智育的一个主要目标，但是知识的价值还有另一个更模糊、但更伟大、更居支配地位的成分，古人把它称为‘智慧’。没有某些知识基础，你不可能聪明；但是你也许轻而易举地获得了知识，却仍然缺乏智慧。”可见，智慧不是简单的知识累加。如果一个人通过学习，记忆了一些东西，只会重复别人的思想，却不善于独立思考，更不会主动去探究和创造，那就不能说拥有智慧。当下我们的数学教师应改变课堂教学方式和学习方式，从“知识课堂”，走向“智慧课堂”，确立“让智慧引领教育，让智慧伴随教育；让教育充满智慧，让教育生成智慧”的智慧教育基本理念，掌握有效的教学策略，引导学生有效学习。变式教学作为一种传统和典型的数学教学方式，不仅有着广泛的经验基础，而且也经过了实践的基础。无论是数学新授课的教学，还是数学复习课教学，选择变式教学，都是非常必须的。教师通过变式教学有意识地把教学过程转变为学生的思维过程，让学生多角度地理解数学概念（定义）、数学定理（公式），层层深入的进行数学学习，培养学生学习数学的积极性和主动性，进而培养了他们独立分析和解决问题的智慧，著名学者顾泠沅先生喻之为“促进有效的数学学习的中国方式”。然而，目前我们的一些数学教师的教学还缺乏“变式”的意识，热心于“题海战术”，教师讲解多，学生思考少；一问一答多，研讨交流少；操练记忆多，鼓励创新少；强求一致多，发展个性少；照本宣科多，智慧活动少；显性内容多，隐性内容少；应付任务多，精神乐趣少等等。智慧被淹没在知识的大海里，在学生眼里一个数学概念就是一个数学概念，一个数学公式就是一个数学公式，一个数学例（习）题就是一个数学例（习）题，智慧被知识挤压了、吞噬了、赶走了。结果导致知识堆砌，而智慧贫乏，学生成了应试（分数）的奴仆。即使少数教师实行“变式教学”，也往往存在着变式缺乏知识的基础性、层次性、思考性、综合性、开放性等，变式教学的作用和功能没有能够充分的发挥出来。那么，怎样的“变式”才有效呢？笔者认为：于概念（定义）的引入、定理（公式）的发现处有效变式，于概念辨析、易混易错处有效变式，于网络梳理、整体构建处有效变式，于纵横联系、发散思维处有效变式，于联想引申、类比拓宽处有效变式，可以实现为数学课堂生成智慧的目标。
一、于概念引入、定理发现处有效变式，为数学课堂生成智慧溢彩
数学概念（定义）是数学大厦的基石，定理（公式）的实质，也是人们对于概念之间存在的本质联系的概括。概念（定义）与定理（公式）教学是数学教学的重要组成部分。教学中，教师一方面必须重视概念（定义）的背景介绍与对学生认知结构的分析，使学生从多个侧面、多个角度去理解概念，真正理解数学概念的本质属性与非本质属性。另一方面必须重视掌握定理（公式）的关键在于正确理解定理（公式）中概念的联系。因此，要重视概念引入与定理发现的变式教学，能让学生多角度地理解概念，吃透概念的外延与内涵，让他们掌握其内涵发展与外延变换，掌握定理的条件与结论之间的逻辑关系。
1.于概念（定义）引入处有效变式
数学概念是反映一类事物本质属性的思维形式，具有相对独立性。在讲授一个新的概念时，将概念还原到客观实际（包括变式题组）中，通过实例、模型或已有的经验等进行引入，运用变式移植概念的本质属性，使实际现象数学化，达到展现概念形成过程，促进学生概念形成的目的。
案例1 等差数列概念引入中的变式设计。
一位教师的等差数列概念引入中的变式设计如下：
在现实生活中，经常会遇到下面的特殊数列。
情境1 我们经常这样数数，从0开始，每隔5个数一次，可以得到数列：0,5,＿＿,＿＿,＿＿,＿＿,…
情境2 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18 m，自然放水每天水位降低2.5 m，最低降至5 m，那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18,＿＿,＿＿,＿＿,＿＿,5.5。
情境3 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：
本利和=本金×（1+利率×存期）。
例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内务年末的本利和组成的数列是：＿＿,＿＿,＿＿,＿＿,＿＿。
问题 上面的数列有什么共同特点？你能用数学语言（符号）描述这些特点吗？
（设计意图：通过对以上3种情境的分析，激发学生学习的探究知识的兴趣，引导揭示数列的共性特点。同时，由学生归纳和概括：以上3个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数的特点，然后提炼出等差数列的定义。）
于概念（定义）引入处变式的方法很多。可以是联系实际、典型实验、历史故事、学科横向联系等各种方法。当然新课的引入既要注重教学的本质，又要注意适度形式化，引入合情合理，要注意直观性、趣味性、有效性、启发性和铺垫性原则，达到启迪智慧的目的。
2.于定理（公式）发现处有效变式
定理（公式）的引入通常是复习旧知识而进行的，但是单从知识点的引入往往会使学生停留在知识的表面上，因此得不到应有的复习效果。“引入发现型”变式是通过一系列的题目，让学生从动手、动脑的过程中复习与本节相关的原有知识要点，从而类比发现新知的。
案例2 余弦定理教学中的变式设计。
余弦定理的发现与证明是教学的一个重点和难点，学生已有知识主要包括正弦定理、平面向量的数量积、三角函数的定义及坐标法的初步知识等。下面是一位教师的设计：
问题1 正弦定理给出了三角形边角的数量关系，正弦定理是怎样证明的？正弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？
问题2 在三角形中已知两边及夹角，怎样求第三边？
问题3 在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c。
（Ⅰ）若A=90°,b=3,c=4，则a=?
（Ⅱ）若A=60°,b=3,c=4，则a=?
（Ⅲ）若A=150°,b=3,c=4，则a=?
问题4 一般地，在△ABC中，已知b、c和A。怎样求a?
问题5 你发现了什么结论？你能用文字语言与符号语言表述你的发现吗？能给出证明吗？
问题6 若已知三角形的三边，如何求它的三个角？
问题7 在上述结论的证明方法中，何种证法更简洁？
上述问题是有效的。问题1提供了“先行组织者”，为学生发现并证明余弦定理提供了研究方法的指导。问题2体现了目的性，问题3体现了直观性，问题4、问题5及问题6体现了开放性，问题7体现了体验性。问题2和问题3从学生现有发展水平提出问题，通过这些问题达到一种可能达到的新的发展水平，即潜在发展水平，再在此水平上提出问题4和问题5，引导学生达到另一个潜在发展水平，如此形成余弦定理的发现和证明的问题链，引领学生自主探究，获得新知，发展了学生的智慧，加深了对数学的理解。
二、于概念辨析、易混易错处有效变式，为数学课堂生成智慧溢彩
心理学家维果茨基关于“最近发展区”的理论认为，学生有两种发展水平：一种是现有发展水平（已经达到的发展水平），表现为学生能够独立地、自主地完成教师提出的智力任务；另一种是潜在发展水平（可能达到的发展水平），表现为学生还不能独立地完成教师提出的智力任务，但是在教师的指导下，通过自己的努力才能完成的智力任务。在现有发展水平与潜在发展水平之间存在一个“最近发展区”，教学要在“最近发展区”围绕数学的概念、公式、例（习）题，变换同类事物的非本质特征，让学生经历适当的困难，体验探究的过程，帮助学生达到更高的潜在水平。
1.于概念（定义）易混易错处有效变式
引入数学概念后，针对概念的内涵与外延设计辨析型问题，通过学生对这些问题的讨论与解决，达到明确概念本质、深化概念理解的目的。要理解数学概念的本质属性，往往可以列举具有本质属性的事物（称为概念的肯定例证）或不具有该本质属性的事物（称为概念的否定例证）的辨析来获得，让学生在“似曾相识”但却“似是而非”的概念问题中激发思维，生成智慧。
案例3 双曲线概念教学中的变式设计。
2.于定理（公式）易混易错处有效变式
数学定理（公式）的实质，是人们对于数学概念之间存在的本质联系的概括，掌握定理（公式）的关键在于明确理解定理（公式）中概念的联系，对于这种联系的任何形式的机械的理解，是不能熟练、灵活应用定理（公式）的根源，它是缺乏多向变通思维能力的结果。因此，在定理（公式）的教学中利用变式，展现相关定理（公式）之间的联系以及定理、公式成立依附的条件，培养学生学会辨析与定理（公式）有关的判断、运用。
案例4 等比数列的求和公式应用的变式设计。
均值不等式是高中数学的一个重要知识点，但学生在使用时，很容易疏忽定理使用的条件“一正二定三相等”。因此在教学中由课后习题出发，利用条件特殊化即将原题中一般条件，改为具有特定性的条件，使题目具有特殊性。设计三个变式练习的解答，使学生加深了对定理成立的三个条件“一正、二定、三相等”的理解与掌握，为定理的正确使用打下了较坚实的基础。
3.于例题习题易混易错处有效变式
在例（习）题的设计中，教师可针对一些似是而非的数学问题，编拟变式题组进行专项训练，让学生真正弄懂这些形同质异或形异质同题的解法，以发挥变式题组的更大功效。
案例6 恒成立及有解问题的教学变式设计。
设计以上变式，目的让学生在问题的解决中，让学生区别恒成立与有解的问题，这样的问题设计纠错效果是行之有效的。
三、于网络梳理、整体构建处有效变式，为数学课堂生成智慧溢彩
教材中知识体系尤其是数学思想方法、怎样解题的程序性知识的体系时隐时现，我们在单元（期中、期末）复习中，必须对知识重新整合，使之形成完整的知识结构体系，呈现给学生。教学中，通过加强纵向的联系，精心设计富有启发性的“好问题”，帮助学生重构知识体系。
1.于概念（定义）整体梳理处有效变式
概念的深化变式就是要深入挖掘概念的内涵与外延，进一步发现概念的本质属性，要把概念放到一定的系统、关系和结构中来学习，使获得的新概念与原有的概念产生非人为的联系，不断完善认知结构，促使数学概念迁移，从而可以灵活应用数学概念。
案例7 椭圆概念复习教学中变式设计。
在高三复习椭圆定义时。一位教师先给出下面的变式：
试指出下列各方程表示何曲线？
有些学生或者从化简方程入手或者从表面形式上得出(1)～(6)是椭圆的结论。经过分析点拨，不仅使学生准确掌握了椭圆的定义，而且提高了运用定义解题的自觉意识，同时也有新奇感。
2.于定理（公式）整体梳理处有效变式
许多数学定理（公式），可以有多种表述形式，而这些不同的表述形式，又可以快捷解决不同的数学问题。在数学教学中应激发学生去发现这些不同的表述形式（俗称变形公式），从而更好的掌握所学定理（公式）。
案例8 正（余）弦定理教学中的公式变式设计。
定理（公式）的变式教学有利于学生发现规律并掌握规律，减少解题的盲目性，使学生感到许多数学问题是很有趣味的，有利于培养学生数学的学习兴趣。
3.于例题习题整体梳理处有效变式
例（习）题的选编和教学是课堂教学的一个重要组成部分，由于升学和高考指挥棒的作用，许多学生整天沉浸在题海之中，思维定向、思想僵化，并不能掌握数学知识，更谈不上生成智慧。为此，教师必须精选例（习）题有效变式，网络梳理，整体构建，用集约化的问题将知识串联起来，用最少的问题，来获取学生会解无限个问题的数学智慧，既训练思维，又减轻负担。
案例9 一道线性规划题的变式设计。
一位教师复习线性规划时设计的变式：
以上有限的变式几乎可以涵盖线性规划内的所有知识点，并且在解决这个问题的过程中将方法加以区别，将知识加以纵横贯通，题量虽少，思维量却很大，提高了课堂的容量和复习的效能。
四、于纵横联系、发散思维处有效变式，为数学课堂生成智慧溢彩
数学的“变式教学”即有目的、有计划地对命题进行正确的变化，有知识形成过程中的定理（公式）的深化变式、多证变式以及变式应用，也有例题习题的一题多解、一题多用、一题多变、多题归一等等。这样的变式可以帮助学生做到会学、活学，激发学生学习兴趣，发展学生智慧。
1.于开拓思路一题多解处有效变式
一题多解，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题。教学中，积极、适宜地进行一题多解的训练，有利于激发学生思维，开拓学生的思路，促进学生知识与智慧的增长。
案例10 一道不等式应用题解法的变式设计。
在a克蔗糖溶液中含有b克蔗糖(a＞b)，若再加入m克蔗糖，则糖水变得更甜了，请根据以上叙述写出其中蕴涵的关系式，并加以证明。
这是每个学生在生活中都经历的事情，学生看到题后，对问题既觉得新鲜又贴近生活，欣喜过后又陷入深思：到底蕴涵着什么样的关系？糖水变甜的含义是什么？设置了这样的问题情境，学生自然就有了兴趣，并试图拿出自己的结果来，总有跃跃欲试的心情。经过思索学生不难得出：“糖水变得更甜”与“糖水的浓度增大”有关，蕴涵的关系式：
。这时教师在肯定答案的同时，用充满信任和激励的目光给学生提出一个问题：如何证明？学生经过一番讨论、比较、归纳，主动把答案写在黑板上。
方法1 作差比较法证明即可。
方法2 作商比较法证明即可。
方法6 斜率法，构造点(a,b)与(0,0)和(-m,-m)两点连线的斜率，借助数形结合即可。
这样，通过学生自己的主动思考和动手解题，既达到了巩固知识的教学目的，充分体现学生的主体作用与参与意识，又把能力的培养实实在在地落实在基础知识上，提升了学生的动脑、动手的智慧。
2.于揭示思想（方法）多题一解处有效变式
对一种类型的题进行归类整理，能使学生真正从题海中解脱出来，起到事半功倍的作用。教师应根据教学的要求和学生的实际，深入挖掘一些习题的潜在功能，引导学生深入探索和发现试题的规律，不但能诱发学生的解题欲望，提高学生学习兴趣，又能培养学生的发散思维与创造性思维能力，起到触类旁通的效果。
案例11 重要不等式“逆代”思想应用的变式设计。
这样，学生通过解一道题学会解一类题，达到举一反三、触类旁通的目的。
3.于问题开放一题多得处有效变式
对结论的发散是指确定了已知条件后没有现成的结论。让学生自己尽可能多地探究寻找有关结论，并进行求解，这是一种创造性思维活动，是一种生成智慧的数学活动。
案例12 一道三角开放题的变式设计。
开放型题目的引入，可以引导学生从不同角度来思考，不仅仅思考条件本身，而且要思考条件之间的关系。要根据条件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论，有利于思维起点灵活性的培养，也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。
五、于联想引申、类比拓宽处有效变式，为数学课堂生成智慧溢彩
联想与类比是数学研究和数学教学中常用方法，通过联想引申，类比拓宽的变式教学，可以增强学生的创新意识。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，进而发展学生的智慧。
1.于类比拓宽创新思维处有效变式
变式教学确实有其独特的作用，在数学教学中充分运用变式教学可以帮助学生学好基础知识，能有效地培养学生的归纳能力和分析问题解决问题的能力。在数学教学中我们要适当地运用变式教学，降低教学难度，充分拓展学生的思维，以达到更好的教学效果。
案例13 一道等比数列和等差数列的类比变式设计。
2.于联想引申归纳经验处有效变式
在概念（定义）或定理（公式）的学习中，运用各种不同的变化形式揭示其内涵，可使学生能准确分辨，灵活应用。在由递推关系式求通项的数列问题教学中，发现学生对此类题型不知该如何下手，缺乏化解能力。教师可以通过联想引申，设计变式题来引导学生思考与练习。
案例14 一道递推数列题的变式设计。
通过以上变式题练习，归纳出数列中利用递推关系式求数列通项这一类题型的通法。如叠加、叠乘、迭代等方法，化归为等差数列、等比数列来解决。学生对教学内容与练习保持浓厚的兴趣，在主动参与的实践中去认识问题的本质，体验灵活运用知识与技能解决问题的乐趣，从而促进能力的提高和智慧的生成。
结束语 教学是一门艺术，更是一种智慧。数学问题千变万化，在教学中如能依据知识的特点，结合学生的具体实际进行有效变式，对优化学生思维品质，减轻学生负担，提高教学质量都是十分有益的。一方面能培养学生灵活多变的智慧，另一方面又能让学生从整体上把握知识的内在规律，拥有学习的智慧。有一个形象的比喻：拥有知识的人只能看到一块石头就是一块石头，一粒沙子就是一粒沙子。同样，而拥有智慧的人却能在一块石头里看到风景，在一粒沙子里发现光辉。有效的变式教学有利于拓宽学生的学习视野，有利于优化学生的思维品质，有利于遏制“题海战术”轻负高效，有利于激发学生的学习兴趣，有利于培养学生的应变能力，有助于完善学生的知识结构，提高学生的综合能力。我们通过有效变式教学，让学生在一个数学概念里寻觅灵魂，在一个数学公式里追索真理，在一个数学例（习）题里发展智慧……我们从内心发出呼唤：有效变式，为数学课堂生成智慧溢彩！