CPFS结构理论视域下的公式教学，本文主要内容关键词为：视域论文,公式论文,理论论文,结构论文,CPFS论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
喻平教授提出，CPFS结构是指数学学习中个体头脑中形成的知识网络，它包括概念域、概念系、命题域、命题系四个方面，分别是指关于一个概念的一组等价定义图式、一组具有数学抽象关系的概念图式、一组等价命题图式、一组存在“推出”关系的命题图式.相关研究指出，CPFS结构对学生的数学理解、学习迁移、探究问题能力、解决问题能力都会产生直接的正面影响.因此，CPFS结构理论对数学教学具有很好的指导意义，它要求教师努力完善学生的知识网络，帮助他们形成完备的认知结构. 数学知识主要包括数学概念和数学命题.数学命题通常是由数学概念组成的，是对数学概念之间关系的判断.数学公式是数学命题的一种重要表现形式.高中数学中的“两角和与差的正切公式”看似不重要，其实是三角公式命题网络乃至三角函数知识网络中的重要结点，而且具有非常丰富的应用价值.下面，以“两角和与差的正切公式”为例，谈谈如何运用CPFS结构理论指导数学公式的教学. 一、教学思考 根据CPFS理论，命题教学的重要目标是努力完善学生的命题域和命题系，乃至相关的概念域与概念系.这就要求教师引导学生以所学的命题为中心，自由联想、深入推理，充分挖掘与之相关的命题及概念，凸显、强化命题的演变过程，梳理、理解不同命题及概念之间的关系（注意上位、下位、并列和同位学习）. 因此在公式教学中，教师既要引导学生追溯公式产生的过程，寻求公式生长的“根”，即激活已有相关的公式与概念，并“结点连线”（发现相互关系），以形成一条到达公式的“通路”；又要引导学生发现公式的要素、结构等特点，对公式进行变式，即推测有可能产生的形式与表征，并“辨认推理”（理解相互关系），以形成一张联结公式的“网络”；还要引导学生发散思维，对公式进行应用，即广泛联系知识背景，提出问题、解决问题（沟通相互关系），以强化发现，加深理解，稳固“通路”和“网络”.而且，在上述过程中除了要保证知识与问题（变化结果）的呈现，还要注意思想与方法（联系方式）的渗透，以提升学生知识网络的广度与强度. 为此，笔者在教学中抓住两角和与差的正切公式的获得、证明、变式、应用四个环节以及数、形两种表征，引导学生尽可能地发现与之相关的多种命题与概念，认识它们之间的联系，并提出和解决一些相应的问题. 二、教学过程 （一）公式的获得与证明 无论是两角和与差的余弦、正弦公式，还是两角和与差的正切公式，都很难通过直觉猜测，而只能通过逻辑推理，获得正确的结果.因此，其获得的过程和证明的过程往往是结合在一起的.苏教版高中数学教材通过具有同化与形成意义的思考过程，提出求两角和与差的余弦、正弦、正切公式的问题，符合知识内容的特点和学习心理的规律.笔者以同样的方式引出求两角和与差的正切公式的问题后，便把教学的重点放在了公式的证明上. 通过之前“两角和与差的余弦、正弦公式”的学习，学生很容易发现：两角和与差的正切公式是属于同一命题域的两个等价命题，只要证明其中一个，就能通过简单的相反数代换证明另外一个.笔者顺应学生的思考，引导学生联想正切与余弦、正弦的同角三角函数关系，在两角和的余弦、正弦公式的基础上推导两角和的正切公式：
，将其分子、分母同时除以cosα·cosβ，得到
然后，提醒学生注意cosα·cosβ≠0这一适用条件，要求学生直接得出两角差的正切公式.在此基础上，笔者还引导学生厘清两角和与差的余弦、正弦、正切公式之间的推导关系，使得学生发现：余弦和正弦公式之间很容易互相推导；而由正切公式推导余弦和正弦公式理论上可行，实际上有困难（相应的同角三角函数关系比较复杂）.由此，学生理解了教材将“两角和与差的正切公式”放在“两角和与差的余弦、正弦公式”之后的编写意图，也初步完善了头脑中相关的命题域与命题系. 虽然公式得到了证明，但是，学生很自然地会想到：公式的证明只有这一条路径吗？于是，笔者引导学生思考正切概念的其他表示方法.学生很自然地想到了正切的定义，即三角形或单位圆中的几何表示.在此基础上，笔者指出：证明两角差的余弦公式时，除了基于坐标表示的向量方法，人教版教材还给出了基于单位圆的几何方法；而同一个角的余弦、正弦和正切之间具有等价关系.在学生认识到三角函数具有形（几何）和数（解析）双重表征的基础上，笔者引导学生得出两角和的正切公式的几何证明（解释）：锐角的正切是直角三角形中的两条直角边之比，从而拼接出如图1所示的四个直角三角形.至此，学生体会了数形结合的思想，也进一步激活了头脑中的概念域与概念系，完善了头脑中的命题域与命题系.
（二）公式的变式与应用1：从代数形式入手 在这一环节中，笔者重点引导学生从公式
的代数形式出发，在认识公式
的结构特点的基础上，发现其可能的变化与联系，并进行较为基础的应用. 首先，从运算的角度，让学生发现，公式
涵盖了代数运算中最基本的和、差、积、商运算，且之间的加、减符号呈现对称结构，这“归功于”公式
和
以及tan（-β）=-tanβ. 其次，从变形的角度，让学生发现，公式
可以变成“角的正切的和、差或积等于角的和、差的正切”的形式，即tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanα·tanβ），tanα-tarβ=tan（α-β）（1+tanα·tanβ）等.在此基础上，笔者呈现两道计算题：
由此，引导学生发现，上述变形可以将两个非特殊角的正切转化为一个特殊角的正切，从而帮助解题. 再次，从联系的角度，让学生由
中出现的角的正切的和、差与积的形式，联想到一元二次方程的根与系数的关系.在此基础上，笔者呈现一道求值题： 已知tanα、tanβ是方程
的两根，求tan（α+β）、tan（α-β）的值. 由此，引导学生打通不同知识之间的联系，发现解决一类问题的方法. 接着，从联系的角度，让学生由
变形中出现的tanα+tanβ-tan（α+β）和-tanα·tanβ·tan（α+β），联想到三角形内角和以及诱导公式，从而得到
的一个强抽象命题：在△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.在此基础上，笔者呈现一道证明题： 已知x、y、z为实数，且xy≠-1，yz≠-1，xz≠-1，求证：
由此，引导学生进一步打通不同知识之间的联系，体会三角换元和三角公式的解题“威力”（使复杂的问题得到巧妙地解决）. 公式
的代数形式相对简单明确，其变化与联系相对容易把握.因此，笔者在教学中更多地引导学生发散地发现可能的变化和联系，然后通过基础的应用来巩固、拓展. 这里，笔者也特别注意了思想方法的渗透，让思路展开得有依据、更自然. （三）公式的变式与应用2：从几何表征入手 在这一环节中，笔者重点引导学生从公式
的几何表征出发，在认识公式
的要素特征的基础上，发现其可能的变化与联系，并进行适当综合的应用.
其次，从平面几何的角度，在学生注意到公式
中角的正切还可以表示为直角三角形的两条直角边之比后，笔者引导学生关注“两个直角三角形中一组直角边重叠”这一两角和的正切公式应用的基本模型（如图3所示）.然后，笔者通过引导，与学生一同提出并解决了一组与之有关的变式问题：
变式1 （1）如图4，五个相同的正方形相接，求证：
（2）如图5，五个正方形相接，求证：
变式2 如图6，长方形ABCD中，BC=2AB，且AB+BP=PD，求tan∠APD.
变式3 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m）.如下页图7，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使得∠DEB较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m，则d为多少时，∠DEB最大？
变式4 如图8，在正方形ABCD中，P、Q分别在BC、CD上，PB+QD=PQ，求证：
变式5 如图9，开发商欲对边长1km的正方形地段进行市场开发，拟在该地段一角建设一个景观，需要建一条道路PQ（P、Q分别在BC、CD上）.根据规划要求，△CPQ的周长为2km，试求∠PAQ的大小.
这里，变式1通过正方形的拼接，直接给出了两个直角三角形中直角边的比例关系（角的正切），是上述模型的直接应用.变式2则通过一组边长的相等关系，间接给出了两个直角三角形中直角边的比例关系（角的正切），是上述模型的间接应用.变式3加上了现实背景，并且在进行了图形翻折的同时加入了变化因素（不确定的量），要求运用两角差的正切公式在变化中求最值，同时需要运用相似三角形和基本不等式的知识，使得问题的综合度和难度明显提高了.变式4则在进行了图形旋转的同时加入了变化因素（不确定的量），要求运用两角和的正切公式在变化中找不变（PB+QD=1-PB·QD），同时需要运用勾股定理的知识，使得问题的综合度和难度进一步提高了.变式5是在变式4的基础上加上了现实背景，并且以等价变换的方式给出了和变式4同样的条件. 好的题目和某种蘑菇有相似之处：它们成堆“生长”.当我们成功地提出和解决一道题目后，我们不应该忘记再改造、寻找更多的题目；改造、寻找一道题的基本方法是普遍化、特殊化、分解、重组、增加背景、改编要素以及类比、联想等.公式
的几何表征相对复杂可变，其变化与联系相对难以把握.因此，笔者在教学中主要地引导学生集中地对一个基本模型进行变化与联系，在解决问题的过程中体会一系列的变换关系.同样，笔者也特别注意帮助学生领悟提出问题、解决问题的思维方法. 最后，笔者让学生课后以课上发现、呈现的知识与问题为基础，进一步联想、联系、推理、变化，以获得更多的知识与问题，在下节课上作进一步交流、探讨.这样，在“两角和与差的正切公式”的教学中，笔者帮助学生以该公式为中心，建立了丰富而牢固的知识联系，有效完善了学生的命题域与命题系.
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