数学教学中化归方法的难点及其突破，本文主要内容关键词为：难点论文,数学教学论文,中化论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 化归教学的难点
在数学思想方法的教学中，化归方法的教学可算是个大热门，其普及程度远比其它数学思想方法为高，但是，其深入程度却未必高于其它的数学思想方法。这是因为，化归方法是将待解决的问题R 化为已经解决或较易解决的问题R[*]，然后通过求解问题R[*]而间接求解原问题R。对于较简单的数学问题，R[*]可以通过简单类比获得，这时化归极易实现；但对于较复杂的数学问题，R[*]则往往不能借助类比获得，这时，R、R[*]一个已知，一个待求，要实现化归就比较困难了，正因为如此，所以在《怎样解题》一书中，波利亚并未指出确切的化归规律，而只是罗列一些带有随意性与模糊性的解题经验，如：“这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决了的问题，你能不能利用它？你能利用它的结果吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？”“如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题，你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？……”[1]
上述解题经验对我们虽然也有一定的启示作用，但由于它过于笼统，过于随意，难以据此寻求确切的化归途径，因而也就不能有效地解决问题，于是寻求化归途径就成了化归方法教学中急需解决而又难以解决的一大难点。正是这个难点制约着化归方法的教学，使其难以深入下去，请看下面的例子：
例1 若a[,3]＞a[,2]＞a[,1]＞0，求证：
a[a[,2]][,1]·a[a[,3]][,2]a[a[,1]][,3]＞a[a[,3]][,1]·a[a[,1]][,2]·a[a[,2]][,3]。
分析：比较条件与结论，发现直接由条件入手去证明结论是不可能的。因此应想到将原题化归为易于证明的问题。为此，需要寻找与此题有关、且已经解决或较易解决的数学问题R[*]，但我们却不知从何下手去寻求这样的问题R[*]，于是思维受阻。
我们知道，化归方法教学的根本目的是为了有效地解决数学问题，并在解决问题的过程中培养学生的创新精神与实践能力，从而促进学生的发展。而如今化归方法的教学却远没有达到这个目标。
目前化归方法的教学，一般只是停留在培养化归意识的层次上，即是在遇到不易解决的问题时，能够想到将其化为已经解决或较易解决的问题。至于如何实现这种转化，化归教学却提不出任何有效的办法。如对例1来说，只能要求学生去寻求已经解决或较易解决的问题R[*]， 却无法告知学生如何去寻求这样的问题R[*]。于是，学生只能凭借自己个人的经验与灵感，在迷茫中摸索着前进。不仅耗时费力，而且难见成效，这就在很大程度上挫伤了学生学习数学的积极性，进而影响数学教育的普及与提高。为了彻底改变这种状况，我们有必要将化归方法的教学与研究提高到一个新层次上。
2 教学难点的突破
不可否认，培养化归意识对于解决数学问题是有所帮助的，但通常只能帮助我们解决一些较简单的问题；对于较复杂的问题（如上述例1），仅有化归意识就不够了。因为化归意识比较肤浅，缺乏深度，难以对付那些较复杂的问题，因此，必须加大理性思维的力度，提高理性认识的水平。由于理性思维的最高层次是辩证思维，因而我们有必要将辩证思维用于寻求化归的途径。
所谓辩证思维，就是用辩证唯物主义的立场、观点、方法去思考问题，其要点是用矛盾论的观点去观察问题、分析问题，再根据矛盾转化的规律去解决问题。这是一种哲学方法，我们称其为“矛盾分析法”。将矛盾分析法用于解决数学问题，首先需要揭示数学问题的差异，并在此基础上根据矛盾转化的规律寻求差异间的联系，再借助这个联系找出化归的有效途径，由于“逆向思维”反映了矛盾转化的这个规律，因此，借助“逆向思维”寻求化归途径就能使我们有所遵循，下面我们以例1为例来说明这一点。
比较条件与结论，不难发现它们之间的差异是：条件式简单而结论式复杂；条件式中不含指数幂，而结论式中含有指数幂。下面运用“逆向思维”去寻求差异间的联系，首先由结论式入手。
由于条件与结论均为不等式，而不等式的对立面是等式，因此由逆向思维可想到将不等式化为等式，但此举却一时难以实现，故先暂时搁置一下，这里的暂时搁置其实也是逆向思维的结果；再由结论式知，不等式中含有指数幂，而指数的对立面是对数，因此由逆向思维即可想到化指数式为对数式，此举则不难做到。
由于该式中出现了较多形式相同的对数式，所以由逆向思维又可想到“化多为少”，于是可想到构造通式将3个对数式统一起来， 并由此想到构造辅助函数y＝lgx。此举则为一举两得，既实现了“化多为少”，又实现了化指数式为对数式，但还无法实现化不等式为等式的初衷。由此可以想见，此举定是解决问题的关键，事实上也确是如此，y＝lgx既是差异间的联系，又是联系条件与结论的桥梁。通过它的沟通，我们即可找到化归的有效途径。
从而证得结论成立。
有时，凭借个人的灵感、经验与技巧，我们也能找到化归的途径，但那是盲目的，不自觉的，而且多少带点偶然性，因此不足为训。请看下面的例子：
借助于解这两个方程，即可较易地求出原方程的解。
上述解法虽然简捷，但该法技巧性较强，不是人人都能做得出来的。我们希望能有这样的解题通法，它既不需要直觉与灵感，也不需要经验与技巧，就能较易地找到化归的途径。矛盾分析法正是这样的一种解题通法。下面我们用矛盾分析法来解上述方程。
在原方程中，存在着高次与低次、已知与未知的差异。由高次与低次的差异应想到“化高为低”，即设法将三次方程化为一、二次方程；由已知与未知的差异则应想到“化未知为已知”，“化已知为未知”，于是可将未知数x
从而便自然、流畅地将原方程化归为一元一次或一元二次方程。这里基本上不需要直觉与灵感，也不需要经验与技巧，只要按照矛盾分析法的操作规程去做就成。正因为这样，我们不妨称矛盾分析法为“傻瓜”方法。
综上所述，用矛盾分析法寻求化归途径的过程，乃是近乎按“章”办事的一种操作规程，这个“章”就是矛盾转化的规律，就是运用逆向思维去寻求差异间的联系，并借助这个联系将待解决的问题化为已经解决或较易解决的问题。由于在上述转化的过程中，我们是遵循思维规律思考问题的，因此可以避免盲目的探索，使我们少走或不走弯路，这就大大提高了解题效率，降低了解题难度，从而使学生的解题能力大为提高。
3 突破之后的反思
下面我们剖析一下，运用矛盾分析法为什么能够使化归方法的教学有所突破。
前已指出，化归教学的难点在于如何教会学生寻求化归途径。难点之难，难就难在学生缺乏独立思考的能力上，难就难在不会分析问题、解决问题。因此，要突破化归教学的难点，就必须加强对学生数学思维能力的培养，关于这一点，人们早已形成共识，但究竟如何培养思维能力，却至今尚无定论。不过我们认为，培养数学思维能力，应重在向学生揭示数学思维的规律，以便让他们能根据思维规律思考问题，从而在动手、动脑时能够有所遵循，这将有助于提高自觉性，克服盲目性，充分调动学生的积极性与创造性，在分析问题、解决问题的过程中培养创新精神与实践能力。
为此，我们需要从研究数学问题的本质入手。众所周知，客观世界是充满矛盾的，矛盾无处不在，无时不有。因此，作为反映客观世界数量关系与空间形式的数学问题也就必然充满了矛盾，从而，矛盾性就是数学问题的根本属性，这种矛盾性通常表现为条件与结论、条件与条件之间的各种差异，如“已知”与“未知”的差异、“数”与“形”的差异、“多”与“少”的差异、“高”与“低”的差异等。此外，差异双方还存在着深刻的内在联系，这个联系就是差异之间的同一性。因此，数学问题就是差异与联系的统一体。从而解决数学问题的过程，就是借助条件与结论之间的联系，设法消除双方的差异，直至将两者完全化同，由于差异即是矛盾，因此，上述的转化过程就是矛盾转化的过程。而由对立统一法则知，矛盾转化是有规律可循的，这个规律就是矛盾双方依据一定的条件。各自向其对立面转化，直至最终消除差异，实现同一，由于解决数学问题的过程，同时也是进行数学思维的过程，因此，矛盾转化的规律也就是数学思维的规律[2]。 它在数学解题中的具体体现就是“逆向思维”，就是不停地反过去想，并不停地与对立面化为同一。从而进行逆向思维就是按照思维规律办事，就能有效地解决数学问题。如上述例1中，正是借助逆向思维，由不等式想到等式， 由指数式想到对数式，才会想到在结论式两边取对数；又由多个对数式使我们由多想到少，才使我们想到构造辅助函数，并由此找到了条件与结论间的内在联系。借助这个联系，我们再次逆向思维，就将代数问题化为几何问题了，从而借助几何直观便顺利地找到了证明的途径。再如例2， 也是借助逆向思维，由高次想到低次，从而想到将三次方程化为一元一次方程与一元二次方程；另外，也正是借助逆向思维，才使我们由已知想到未知，由未知想到已知，并通过这种转化将原三次方程化为关于
的一元二次“方程”，并因此导致原方程的简易求解。
矛盾分析法原来是辩证唯物主义的宏观方法，过去我们只知将其用于处理社会问题，而没有想到用于处理数学问题。如今我们将矛盾分析法成功地用于寻求化归途径，从而开创了应用哲学方法解决数学问题的先例，同时开辟了一条求解数学问题的新途径。
将矛盾分析法与波利亚的化归方法相比较，可以发现，矛盾分析法远比化归方法来得深刻而彻底。这是因为，化归方法是在已知系统R 与待求系统R[*]之间进行转化的，这种转化的不确定因素较多，因而难以揭示其转化规律，这是难以寻求化归途径的根本原因。如当待求系统R[*]不确定时，其相应的映射f：R→R[*]也就不确定， 也就无法进行有效的转换；即使R[*]确定，映射f：R→R[*]也确定，但其逆映射f[－1]：R[*]→R是否存在也不得而知，如果逆映射f[－1]：R[*]→R不存在，那么化归就是不可能实现的。而矛盾分析法就不同了，它从所给数学问题的矛盾差异入手，寻求条件与结论间的内在联系，并借助这个联系实现条件与结论间的转化。由于条件与结论同在一个数学系统，而条件本身又蕴涵着结论，因此两者之间一定存在着确定的、必然的逻辑联系。从而，寻求条件与结论之间的联系并实现转化就有坚实的逻辑基础。也正因为如此，矛盾分析法就比化归方法更能揭示数学转换的规律，更能找到有效的解题途径。