多元波动率模型的一些新进展，本文主要内容关键词为：新进展论文,模型论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
0 引言
金融资产收益率序列的波动以及它们之间的相关性往往呈现出明显的时变特征，研究其中的动态规律对于资产定价、资产配置以及风险管理等各类金融决策都是极其重要的，可以说，对金融收益率序列二阶矩的动态模型的研究构成了近二十多年来金融计量学当中最为活跃的领域之一。
就单个资产的情形而言，对其波动率进行刻画的时间序列模型主要包括三类，一类是ARCH模型以及由此推广得到的一系列模型，包括GARCH、EGARCH、GJR-GARCH、TGARCH、APGARCH、FIGARCH等等；另外一类是随机波动率及其推广形式；第三类模型则是针对由日内高频数据得到的所谓实际波动率(realized volatility)序列而建立的各种线性和非线性时间序列模型。目前对前面两类模型的研究都取得了相对成熟的结果，对于一元的GARCH模型可以参照[1-5]等综述文献；对于随机波动率模型则可以参见[6-8]等给出的综述。近些年来，随着日内高频交易数据的获取越来越方便，人们对实际波动率的估计及其动态规律的研究日渐深入，有关的进展可以参见综述[9]。
由于在实际投资决策当中，往往需要同时考虑多个资产，因此，建立多维资产收益率向量的协方差矩阵或者称为多元波动率的动态模型就显得尤为必要。但是，与单个资产的波动率模型不同，考虑多元波动率模型的时候不可避免地会遇到如下的困难：首先一个问题就是维数的灾难(curse of dimensionality)，由于d个资产收益率的协方差矩阵当中就有d(d+1)/2个自由变量，原则上，对于每一个变量都可以构造一个时间序列模型，这势必会有大量的参数需要估计；其次，为了保证给出的协方差矩阵满足正定性的要求，对于模型中的参数加以适当的限制是必要的，显然，在参数很多的情况下，给出合适的限定条件并非一件容易的事情。
近些年来，关于多元波动率的研究取得了一些重要的成果。类似于一元波动率的模型，涉及多元波动率的时间序列模型也可以分为三个方面，分别包括各种多元GARCH模型、随机波动率模型在多元情形下的推广以及针对由高频数据得到的实际协方差矩阵(realized covariance matrix)序列的时间序列模型等，其中，关于多元GARCH模型的结果可以参照文献[10-12]给出的综述；多元的随机波动率则可以参考[13]以及[14]等给出的综述；对于多元实际波动率的研究目前尚处在初级阶段，主要的进展可参照[9]及[15]等。
值得指出的是，由于涉及的参数很多，目前绝大多数的多元波动率模型还仅适用于低维的情形，一个二维的vec-GARCH模型[16]就有21个参数（见后面第1节），因此在高维的情形对于这类模型参数估计的困难是难以想见的。比如在[12]中为了比较几种多元GARCH模型就只考虑了两个资产的一个例子。然而在实际应用当中，比如进行资产配置或者风险管理的问题中，动辄需要同时考虑数十个的资产，因此，为了真正能够对实际的投资决策有支持意义，必须要考虑真正适用于高维情形的波动率模型。
本文主要给出最近几年来关于高维GARCH模型研究的一些主要进展，特别是作者及合作者近些年来基于数据降维方法提出的一些模型和方法，因此，与前面列出的同类综述文献有明显的不同。目前对高维波动率模型的研究还处在一个比较初级的阶段，对于本文综述的一些模型在投资决策当中的应用是需要进一步探讨的问题，值得学界和业界的人们共同关注。这也是本文的一个主要目的。
本文的安排如下：第1节给出直接将一元GARCH模型的形式推广到多元情形下得到的模型；第2节则是围绕条件相关系数矩阵构造的各种多元波动率模型；第3节是基于数据降维技术提出的各种多元GARCH模型；第4节分析了目前针对多元GARCH模型的诊断技术和模型比较的一些结果；第5节专门讨论了协方差矩阵的预测问题。全文的结论在第6节给出。
1 GARCH模型的多维推广
最近，Pelletier从另一个角度也推广了CCC模型，即让相关系数矩阵遵循一个机制转换(regime switching)模型[30]，在不同的机制上相关系数矩阵是一个常数，而在不同机制之间则有差异。这样的模型称为机制转换动态相关系数模型，简记为RSDC模型。具体参见[30].
3 基于降维技术的模型
采用各种降维的技术来处理高维的波动率问题显然是很有吸引力的一个方向。一个基本的思想是把条件协方差矩阵中随着时间变化的内容归结为几个“因子”的动态波动，通过找到并且利用一维的GARCH模型来刻画出这几个“因子”的波动率变化，从而最终给出原始资产的条件协方差矩阵。
4 模型的诊断与比较
与一维的情形相比，针对多维波动率模型的诊断以及模型的设定检验结果比较少，而且现有的一些诊断方法往往也很难适用于高维的情形。不妨按照这些方法产生的背景粗略地将它们划分成两类，一类是从纯粹的统计学模型设定的角度给出的检验，包括传统的对于残差的混合检验(Portmanteau test)，Lagrange乘子检验，以及对残差进行的各种回归检验（参见[24]、[41]等）；另外一类检验则是从投资决策的角度给出的模型的诊断，比如说，从风险管理或者资产配置的角度来看，多元波动率模型设置的合适，那么给出的相应的VaR值就应该比较合理，或者得到的最优投资组合的方差最小等。
也可以采用其他更加肥尾的分布，比如t-分布[50]，那么可以得到该投资组合在1%水下平下的VaR值为
当然，通过对VaR的分析来判断条件协方差矩阵的模型也有值得商榷的地方，比如说毕竟为了得到VaR的值还要对投资组合收益率的条件分布做出假设，因此通过Hit检验拒绝了VaR模型在逻辑上并非直接能够说明条件协方差的模型出了问题，而且，这种检验对协方差矩阵做了很大的变换，很难判断这种检验实际的功效，另外这种检验依赖于权重w的选择。
除风险管理之外，条件协方差在投资决策中的另外一种重要的应用自然就是资产配置(asset allocation)。在给定预期收益率的条件下，为了得到方差最小的投资组合（称为最优的投资组合）需要对资产条件协方差矩阵进行准确的估计。利用了不准确的估计所得到的最优组合的方差应该大于使用准确的条件协方差时得到的最优组合的方差[52]。这是可以利用该方法来进行条件协方差模型比较的基础。当然，在实际中为了进行这样的比较必须要给出各个资产本身的预期收益率，而不同的投资者在不同的时期对于同一组资产可能有不同的预期收益率。Engle和Colacit[52]在处理这一问题时利用极坐标考虑了所有可能的预期收益率，但是他们的方法仅适用于两个资产的情形；Ledoit等[48]则是在没有考虑给定预期收益率的条件，比较了利用不同条件协方差模型所能够产生的方差最小的投资组合（即有效边界最左边的点）的方差。显然撇开了预期收益率，只比较全局最优组合的方差并非一个合理的方法，也缺乏理论的依据。
5 多元波动率的预测
前面一节中对模型的诊断和比较都是在样本内进行的，因此实际是对模型拟合程度的一种度量和分析。但是，建立条件协方差矩阵的一个主要目的还是为了预测未来资产的协方差矩阵。在一维的情形，这一问题得到了广泛的研究并取得了丰富的结果，例如Poon及Granger[3,53]曾经对于近二十年来的九十篇关于一维波动率预测的论文进行了综述和比较；另见[54]等。此外，随着对日内高频数据的获取越来越方便，通过所谓的实际波动率(realized volatility)来预测资产的未来波动率的思路也已经得到人们的重视，并取得了一些结果。
相比之下，对于多维波动率特别是高维的情形的预测研究目前还比较少见，其中的因素首先是对大多数模型的估计本身就比较困难，正如前面提到的，很多研究中的应用实例多局限在2-5维的情形；而且预测的研究往往要不断的调整估计模型时用到的样本以包含最新的历史信息，因此，模型估计的负担尤甚。此外，一些模型由于本身设置的复杂性，缺乏直接的预测形式也是一个困难；当然，类似于一维的情形，多维的波动率也是无法直接观测的，因此需要找一个合适的代理值作为其“真实值”，而且，由于多维高频数据的获取和处理都比一维的情形更为复杂，也很难得到实际的协方差矩阵(realized covariance matrix)来作为代理值。这显然也增加了该方面研究的难度。
下面我们主要就一些模型的向前多步预测的问题以及条件协方差的代理值等两个方面进行讨论。
来作为t+p期协方差矩阵的代理值，即用t+p期临近的2v+1个观测平方的平均值来构造代理值，其中v的作用是将随机的误差进行平均处理，但是v太大时难免又增加了偏差。类似的方法参见[37]、[57]等。在[48]中由于考虑是周收益率向量的协方差矩阵，他们采用类似于实际的协方差矩阵的构造方式通过对日收益率序列的累计构造出一种“实际的(realized)”周收益率协方差矩阵。由于通常一周最多只有5天的交易，这样构造出的实际协方差矩阵也是非常粗糙的一个估计。
此外，从使用数据的规模以及选择比较的模型方面来看，[48]使用的是7个国家市场的股票指数，比较了CCC、对角的BEKK、EWMA、简单的移动平均以及他们提出的FlexM模型，预测效果最好的是FlexM模型，其次是CCC、对角的BEKK、EWMA以及移动平均。
Pelletier[30]则通过一个四维的汇率数据比较了CCC、DCC以及他的带有机制转换的动态相关系数RSDC模型，预测的结果并没有表现出明显的优劣，因为按照不同的损失函数得到的次序很不一样。
Zaffaroni[58]利用S&P500的22个行业指数的数据比较了DCC（文中并没有提到如何得到DCC的多步预测形式）以及EMWA的预测效果，发现DCC明显比EMWA要好。
Fan等[37]采用一个4维的股市数据以及10维的汇率数据，比较OGARCH，DCC，GOGARCH以及CUC-GARCH的预测效果，发现CUC-GARCH的预测效果明显比其他三个模型要好，其次是DCC模型、OGARCH模型，效果最差的是GO-GARCH模型。
王明进[55]采用同样的10维的汇率数据以及深圳市场的20个行业指数数据比较了OGARCH，GO-GARCH，DCC，EWMA以及IC-GARCH模型，发现预测效果最好的是ICGARCH模型，其次是DCC、OGARCH、EWMA，而效果最差的仍然是GO-GARCH模型。考虑到在高维情形下计算的可行性和便捷性，IC-GARCH模型在高维波动率预测方面的优势是显而易见的。
应该承认，与一维波动率预测的丰富的研究成果相比，上述研究结果还仅仅是个开始。随着高频数据的丰富，无论是对多维波动率的预测方法还是对预测的评价方式都会带来更多的研究契机。另外，目前对预测方法的比较基本都局限在对损失函数的简单比较上，显然采用更加严格的统计推断方法来比较协方差矩阵的预测效果应该是未来研究中值得鼓励的方向[59]。
6 结论
对多个资产收益率的协方差矩阵建立动态模型是一个重要而困难的问题，近些年来无论在模型的设置还是预测方面都取得了一些重要的进展。本文对这方面研究的主要成果进行了综述，特别是针对能够处理高维情形的模型和技术进行了分析和比较。高维协方差矩阵的模型和高频数据的处理是金融计量学里目前最主要的两个问题。即便是从静态的观点来看，高维协方差矩阵的估计都是一个非常困难的，比如，估计一千个资产的无条件的协方差矩阵就是一个很具有挑战性的问题，这也给传统的统计推断理论提出了一些新的问题。因此从技术层面来看研究高维协方差矩阵的动态模型显然是更加困难的事情。从目前的研究成果来看，一些模型能够比较快捷地处理几十维的情形，因此这些模型应该可以用于实际的投资决策问题。
建立多元波动率模型的最终目的必须是为了获得更好的投资决策。显然，从目前已有的成果来看，这方面的研究还仅是处在一个启始阶段，比如从资产配置或者资产定价的方面来分析各种多维波动率模型的意义，由于模型估计方面或者模型比较方面的困难，既有的研究都是在很低维的情况下进行的。这会是未来研究中的一个很重要的课题。可以想见，利用新的模型并结合各种投资策略将会给出一些新的统计方法，这些统计方法不仅对于这类模型的诊断和比较是重要的，而且对于传统的统计推断理论也会是很好的扩充。