高考数学中概率问题的探究论文_梁光健

摘要：本文对非等可能与等可能性、有序与无序、互斥与独立、互斥与对立、等可能与独立重复实验、可辨认与不可辨认六种类型对概率问题学生易犯错误进行了分析。

关键词：高考；数学；概率

高中数学概率一章，高考中常以应用题形式来考查，一般概率题都与实际问题紧密联系。学生对其兴趣浓厚，但也易犯一些概念性错误。笔者结合教学中发现的问题就学生易犯错误类型谈些许认识。

类型一：“互斥”与“独立”混同

例1.某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第2声时被接的概率为0.3，响第3声时被接的概率为0.4，响第4声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是多少：

错解：设电话响第1声时，被接的概率为：P(A1)=0.1

电话响第2声时被接的概率为：P(A2)=0.3，

电话响第3声时被接的概率为：P(A3)=0.4，

电话响第4声时被接的概率为：P(A4）=0.1，

所以电话在响前4声内被接的概率是：

分析：本题错解的原因在于把互斥事件当成相互独立同时发生的事件来考虑。根据实际生活的经验电话在响前4声内，每一声是否被接彼此互斥。正解：

点评：以上两例错误的原因都在于把两事件互斥与两事件相互独立混同。两事件A，B互斥与A，B相互独立，这两个概念有何关系？A，B互斥，是B的出现必然导致A的不出现；或A的出现必须导致B的不出现，从而B出现的概率与另一事件A是否出现密切相关。

例2.甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？

错解：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为A+B。

分析：本题错解的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑。将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和。

正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件AB，则：

那种认为“两事件相互独立必定互斥”的认识是错误的。因为在P(A)>0,P(B)>0的条件下，若A，B相互独立，则P(AB)=P(A)·P（B）>0；而若A，B互斥，则P(AB)=0，两个概念出现矛盾，这就说明在P(A)>0,P(B)>0的情况下，相互独立不能互斥。

因此，在一般情况下，互斥与相互独立是两个互不等价，完全不同的概念。

类型二：“互斥”与“对立”混同

例3.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )

A.至少有1个白球，都是白球

B.至少有1个白球，至少有1个红球

C.恰有1个白球，恰有2个白球

D.至少有1个白球，都是红球

错误答案(D)。

分析：本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同

要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：1.两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；2.互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；3.两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。

正解：A，B不互斥，当然也不对立，C互斥而不对立，D不但互斥而且对立。所以正确答案应为C。

类型三：“等可能”与“N次独立重复实验恰有K次发生”混同

例4.冰箱中放甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取一瓶甲或乙种饮料，取用时甲种或乙种饮料的概率相等。