数代数领域加强几何直觉主义的策略英国小学数学毕业考试的分析与思考_数学论文

数与代数领域强化几何直观的策略———道英国小学数学毕业试题测试分析与思考，本文主要内容关键词为：英国论文,代数论文,直观论文,几何论文,小学数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      几何直观是数学课程标准提出的“十大核心概念”之一，主要指“利用图形描述和分析问题”，其功能和价值主要体现在“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.”几何直观不但可以帮助学生理解和解决几何问题，而且可以用来描述和分析数与代数的问题，使数与代数中的一些抽象的问题直观化，从而达到化繁为简的目的.

      当前，学生在解决数与代数领域相关问题时表现出来的“几何直观”达到了何种水平？我们以2011年英国小学毕业SATS标准化试卷（A卷）的最后一题为例作了一次现状调查（下题即为测查时使用的改编题）.

      小强有两张长方形的卡纸，每张长36厘米.其中一张被分成了相等的三部分.另一张被分成了相等的四部分.

      

      小强用这两张纸条拼成了一个图形.他拼成的这个图形的总长度是多少？写出解答过程.

      

      这一题与我们平时呈现给学生的问题有很大不同，主要是它具有较强的情境性、综合性和开放性.

      其较强的情境性主要体现在：它将数学操作与数学思考相结合，通过图文并茂的形式展现问题，问题的本身带有很强的情境性.

      其较强的综合性主要体现在：从知识角度看，它既考查了等分的知识，又考查了和、差的知识；从能力的角度看，既能考查学生对所学数学知识综合应用的能力，又能考查学生的观察力和想象力，特别能够考查学生借助几何直观来解决实际问题的能力.

      其较强的开放性主要体现在：只要具备了等分、和差的知识，就具备了解决这个问题的可能，而且解题的方法可能会多样化.

      在分析该题的教学内涵和价值的基础上，我们将这一题安排在了三到六年级下册的期中测试卷中，以此考查三到六年级学生的几何直观能力水平.

      【测查与分析】

      一、典型解法列举

      方法一：根据整数的倍数关系来解决问题.36÷3=12（厘米），36÷4=9（厘米），12-9=3（厘米），36+3=39（厘米）.

      方法二：根据最小公倍数的意义来解决问题.3和4的最小公倍数是12，36÷12=3（厘米），36+3=39（厘米）.

      方法三：根据分数的意义来解决问题.36×（1+

）=39（厘米）.

      在学生解答中，有用文字说明的，也分别计入相应的方法.

      二、测试结果统计

      我们在各年级中随机抽取一个班级本题的正确率和各种典型方法进行量化统计，其结果如下页表.

      三、测试结果分析

      1.学生借助几何直观解决问题的能力有待提高

      从抽样调查的223名学生中，能够正确解答的仅126人，占56.5%.还有近一半的学生不能够借助几何直观来解决问题.其主要原因是看不懂图意，不明白问题的所求.也就是说，当前小学中高年级学生借助几何直观来解决问题的能力有待进一步提高.

      

      2.借助几何直观解决问题的正确率随年级增长而不断提升

      三年级学生因受知识基础和能力水平的限制（仅解决两步计算是实际问题），正确率不足20%.四年级学生尽管没有最小公倍数的知识基础，但其抽象思维能力和分析问题的能力高于三年级学生，所以正确率大大高于三年级.五、六年级随着知识的拓展和思维水平的提升，正确率随之攀升.

      3.几何直观水平影响着解决问题方法的多样性

      五、六年级学生出现了多样的算法，其原因有二：一是知识的拓展使得解决问题的方法出现了多元；二是几何直观水平的提升促使学生对所要解决的问题的理解和分析能力增强，可以从不同角度来看图解决问题.

      【反思与建议】

      本次测试题就是借助几何直观来解决数与代数领域的问题，本次测试尽管内容仅限于数与代数领域，测试范围仅限于一所学校，但从测试的结果也可以看出学生的几何直观水平有待进一步提升.由此，我们认为几何直观的培养不仅仅只关注图形与几何领域的学习，而且要在数与代数领域加以培养与强化.但不管结合怎样的学习内容，在教学时都应把握以下几点.

      一、要重视读图训练

      在数学教学中，由于受学生的知识经验和思维水平的限制，经常会遇到一些很难用语言解释清楚的概念或性质，这时，图形直观往往会成为有效的表达工具.直观的背景材料和几何形象能为学生创造自主思考的机会.如果学生连基本的图形都看不懂，就谈不上用图来解决问题，更不可能实现几何直观的形成.本题测试的结果就能反映出学生在读图能力方面的确有所欠缺.

      在数与代数领域，除了类似测试题的解决问题之外，大多数概念、性质、法则等数学事实也都可以利用几何图形来表示.在教学这些概念时，应注重呈现几何直观图形，帮助学生理解概念、探究性质、明确算理、建构算法.

      1.用图形表征数学概念和性质

      例如，小数、分数、百分数的意义都可以用“正方形图”来表示（如图1）：如果下面的正方形表示“1”，涂色部分可以用小数表示为（

       ）；用分数表示为（

       ）；用百分数表示为（

       ）.

      

      2.用图形表征四则运算的算理和法则

      例如教学分数乘分数（如图2），可以引导学生画斜线表示计算结果，再填空；在此基础上引导学生观察积的分子和分母与两个因数的分子分母各有什么关系，从而发现分数乘分数的算法并借助图形理解其算理.

      

      3.用图形表征运算律

      例如教学乘法分配律时，教师呈现下面问题（如下页图3）.学生解决问题后引导学生发现两个问题各有两种不同的解决办法，你能借助这个图形来说明今天学生的乘法分配律吗？从而帮助学生借助长方形表征乘法分配律，进而加深对乘法分配律的理解.

      

      二、要重视画图训练

      一般来说，纯文字形式的问题相对比较抽象，如果能把抽象的问题以直观图示的方式表达出来，学生就可能主动发现条件和问题之间的联系，找到解决问题的方法.因此，教给学生用直观图示描述问题的方法，是发展学生几何直观的重要前提.教学时，要注意三点.

      1.诱发学生画图描述问题的主观愿望

      当学生在解决问题的过程中遇到困难时，可以引导思考：“问题难在哪里，怎样整理条件和问题？”以诱发学生画图描述问题的心理需要.苏教版小学数学教材“解决问题的策略——画图”的例1，教学时，先让学生读题，说说条件和问题，再让学生尝试解决，在学生感到无从下手时，引导学生画图来试一试.

      2.教给学生一些必要的画示意图的技能

      通过教师示范并逐步放手让学生独立画图，形成必要的技能.还是以画图的策略为例.本节课要注重解决好两个问题：一是想到采用画图的策略，并体会画图策略的价值；二是能够画出示意图，帮助分析问题和解决问题.相对而言，后一个问题难度更大.为突破这一难点，在新知教学前，教师作一铺垫：给出一个长5厘米、宽3厘米的长方形，让学生完成“把长增加2厘米，画出增加的部分”、“把长减少2厘米，画出减少的部分”.通过这样的问题，学生逐步掌握了画示意图的方法.当学生再解决较难问题时就能够将问题分解，从而顺利画出“示意图”.

      3.注意培养画图描述问题的习惯

      完成解题后，要注意引导学生回顾解决问题的过程，并通过比较和交流，帮助学生深刻体会直观图示在分析和解决问题过程中的作用.

      三、要重视用借助几何直观分析问题的训练

      问题解决的主要环节有：描述和表征问题——分析和解决问题.如果说读图和画图是“利用几何图形描述数学问题”，那么“借助几何图形分析问题”是形成解决问题思路的重要环节.

      借助几何图形描述和表征数学问题，能加强学生对问题情境信息及其关系的理解，帮助学生从整体上把握问题，提示问题的突破口，从而获得正确的解题思路.但是，加强几何直观教学并不是只要求学生会读图、画图，还要充分发挥直观推理在发现问题、分析问题过程中的作用，鼓励学生借助几何直观进行比较、分析和想象，进而洞察数学问题的结构和关系.

      再如，画图的策略一课，在学生借助图形完整表征问题（如图4）的基础上，教师引导学生交流解决问题的思路，即根据示意图能够分析其中的数量关系，从而确定先算什么、再算什么.

      

      教学中要充分发挥几何直观在分析问题过程中的作用，注意引导学生经历利用几何直观把复杂问题转化成简单问题的过程，特别是一些可以利用图形直观来描述的问题，不必急于给出解决问题的方法，而要鼓励学生借助图形直观提出猜想或猜测，并尽可能从中找到解决问题的思路或直接利用直观手段求解，以帮助学生不断积累借助图形直观进行思考的经验，发展几何直观能力.

      几何直观在数学学习和研究的重要性是不言而喻的，它可以看做是学生最基本的数学素养.通过这次测查调查可以看出，几何直观的教学任重道远，一方面，关于小学阶段几何直观的理论研究还刚刚起步；另一方面，能够借鉴的关于几何直观的研究案例为数不多.我们将以此为起点，沿着几何直观的实践研究尝试下去，从而帮助学生不断提高几何直观水平.

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