数学思想、数学方法和数学能力及关系的正确认识，本文主要内容关键词为：数学论文,正确认识论文,能力论文,思想论文,关系论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引言
文[1]中难得一见地对高考题和数学竞赛题提出批评意见，其观点切中要害，特别是指出考题要多考通性通法对目前大力提倡的素质教育大有益处.其实争论和批评应该成为纯学术研究的一种氛围和常态.尤其是我国的数学教育研究并不先进，很多研究成果并不成熟，许多研究只能说是起步阶段，就更需要不同的意见.研究应该在争论中前进，在前进中争论.通过不断争论才会使我国的数学教育研究更上一层楼.我国古代春秋战国的“百家争鸣”造就了各种思想学派的形成.在当今数学教育的学术研究中我们不需要“统一思想”，而需要“百家争鸣”.
高考作为我国的一项重要考试制度，其影响是不言而喻的，正因如此，每年的高考题都会引人关注.就数学而言，高考题一般以“能力”立意，即考查学生的“数学能力”.调查表明有部分老师、官员和学者认为“数学能力”就是“解题能力”.如果按照这样的观点，那么考试考什么题都一样，也无所谓“好题”，“差题”和“坏题”，这样的话，张饴慈先生的文章算是白写了.既然考什么题都行，那么偏题、怪题自然也可以考.问题是这样做对我国的中学教育会带来什么样的影响？历史已经给了这个问题答案，那就是搞“题海战术”，把学生训练成做题目的机器，而真正的数学能力没有提高.那么真正的数学能力是什么？哪些能力我们需要培养和训练？
二、数学能力与数学方法
什么是数学能力？文[2]中指出数学能力是一种个性心理特征，它对数学活动的进程方式起着直接的、稳定的调节作用.数学能力是数学素质在数学活动中的外化.数学能力主要包括精确定量思维能力、数学抽象概括能力、逻辑思维能力、几何直观能力、数学语言表达能力、数学应用意识能力及反思和调节能力.较高的数学能力可使学生以科学的方法高质量高效率地完成学习任务.由此可以知道，是否用科学的方法高质量高效率地解决数学问题是学生数学能力的一种外在体现.在数学中，科学的方法是什么？
文[1]中已经指出，中学生应该掌握的是最基本的通性通法.所谓通性通法是指解决具有相同性质数学问题所用的通用方法.数学中解决问题的科学方法就是指正确地使用通性通法.通性通法之所以重要、之所以科学，是因为通性通法是数学思想和数学方法在解决数学问题中的集中体现.直角三角形中的勾股定理就是直角三角形中的通性通法，而它是从边长为3、4、5的直角三角形中的
等一个个具体的直角三角形的边长关系中归纳总结出来.勾股定理的发现过程充分体现了数学中的归纳、猜测和抽象概括思维，而勾股定理的证明又体现了数学演绎推理的光辉，它的应用体现了从一般到特殊的逻辑思维.其实许多数学定理及其证明都是通性通法的代表.它们不仅是构建数学知识和理论的构件，也提供了解决问题的一般思维方法.微积分学的创立与发展几乎是数学通性通法创立与发展的范例.“微元法”、“拉格朗日乘数法”、“罗必达法则”等不仅是微积分学知识的重要组成部分，也为解决具体的数学问题、实际问题提供了强有力的方法，这些方法都是通性通法.从上面这些例子中可以看到总结和发现数学中的通性通法并不是一件容易的事.实际上“做数学”或者“研究数学”不仅是要解决数学问题，而且要通过数学问题的解决找到解决同类问题的通性通法.欧拉在解决“七桥问题”的同时给出了欧拉定理，这个定理为解决同类的图论问题提供了有力的方法，同时还为图论的研究和发展指明了方向.再如泛函分析中的压缩映射定理，其证明方法是迭代法，而这个迭代法现在在数值分析、动力系统等诸多领域有着广泛的应用.压缩映射定理也称为不动点定理，其在求解各种各样的方程（如代数方程、微分方程、积分方程）和数理经济学等诸多领域有着广泛的应用.所谓广泛的应用实际上就是指其通性通法的程度很高，可以涵盖非常广泛的情形.通性通法都和数学的重要定理联系在一起.现代数学发展的历史几乎就是通性通法发展的历史.通性通法是数学发展的基石，是数学教育的核心，是数学学习的主要内容之一.通常所说的数学方法应该就是指通性通法.至少可以说通性通法是现代数学方法的核心.实际上有些国家已经在中学教材和教育中大力推行通性通法的教学.文[3]中介绍的英国《高水平中学数学课本》中对一元二次方程的解法中强调数值逼近的迭代法.
更进一步，如果方程不是多项式方程，因式分解就更用不上，但迭代法仍然可以使用.实际上在上述例子中，我们第一步都是把方程改写成x=f（x）的形式，然后就是求解x=f（x）.在数学上我们把满足x=f（x）的解称为.f的不动点.关于不动点及不动点定理的重要性我们前面已经论述过，实际上迭代法就是求不动点的一种方法.很明显方程x=f（x）要比二次函数广泛得多，那么迭代法要比因式分解法通用得多，也就是迭代法要比因式分解法的通性通法的程度来得高.从数学分析到泛函分析，从线性到非线性，数学发展每一步都是在提高通性通法的程度.
为了解决特殊问题或特殊数学题目而使用的特殊方法只能称之为“特技”.“特技”只是需要极少数人掌握和使用的方法.中学数学教育是大众教育，大众教育和“特技”的掌握无关.高考作为大众的考试应该考通性通法，这样才能对中学数学的数学方法的教育起到正面导向作用.
三、数学思想与数学方法的关系
文[2]中指出，数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中提炼概括的基本观点和根本想法.数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等.通常，在强调数学活动的指导思想时称为数学思想；在强调具体操作过程时则称为数学方法.简单地讲，思想就是数学家们常说的“idea”，方法就是“technique”.在解决数学问题时，首先应该有“idea”，然后再研究具体的“technique”.通俗地讲就是思想高于技巧，也就是说在解决数学问题时，如果没有解决问题的方案，而是漫无目标的从形式上变来变去，玩一些雕虫小技，将无助于问题的解决，当然这也不是数学发展的主流，更不是数学教育的根本.从某种意义上讲，数学能力的最高境界就是形成解决数学问题的数学思想，一个“idea”比十个“technique”强.实际上数学方法通常是附属于数学思想的，或者说是数学思想的副产品.譬如，牛顿为解决力学问题产生了极限思想，而极限思想是整个微积分学的核心思想.导数是某种比值的极限，定积分是更为复杂的某种和的极限，级数和是数列前n项和的极限.实际上微积分学就是研究各种各样的极限.可以说极限思想是创立微积分学的根本.至于微积分学中发展起来的各种数学方法和数学技巧是极限思想应用的产物.目前国家大力提倡的创新意识、创新能力的培养，在数学中最主要体现为要在“idea”上有所创新.在中学数学教育中，片面地追求数学方法，特别是追求“特技”的教学实际上是对学生创新意识、创新能力培养的一种伤害（当然对考试有利，考试考不出创新能力）.为什么我们国际数学奥赛金牌拿了不少，而像陶哲轩（Terence Tao）这样在数学上取得重大贡献的却没有.这只能说明我们在培训“technique”是一流的，而在创新能力上的培养还有所不足.特别是面对重大而困难的数学问题时更是一筹莫展，毫无想法，当然没了想法，技巧再多也无用武之地.
总之我们要在数学教学中时刻牢记“思想高于技巧”理念，这样数学教育才不会走岔道.
四、教学案例
下面是日本东京大学入学考试的一道题：
这里只讨论第一小题的解答，因为第二小题要用到微分中值定理，已超出了我国中学教学大纲.
大学新生是中学教育的成品，从某种意义上来说可以称之为中学教学的合格产品.大学新生的情况可以反映中学教学的情况.因此，我们在高等数学中讲完导数和导数的应用之后，让学生作为习题课的课堂练习作上面的题目.第一小题的第一步当然是求
对绝大多数的同学来说，上面的第一步没多大困难.但是在证明f'（x）≥0时，不少同学发生了困难.许多同学开始对要证的不等式进行变形，平时学习较好的学生把
移到等式的右面，两边乘上（-1）后两边再取对数，总之他们想从变形中把结果变出来.在中学教学中，很多不等式，特别是二次函数不等式往往可以通过配方等变形形式变出来的.大部分同学没有弄清楚变形的目的是什么？老师用配方他就用配方，配方是一种方法，但在配方之上的数学解题思想他们并不清楚.这样题目稍变，他们只会在他们擅长的方法上动脑筋，而忘记了比方法更重要的数学解题思想.因此漫无目的变形并没有对解决问题有所帮助，反而把思路引向了死胡同.
实际上，以往的关于二次函数不等式的配方目的就是为了看清楚二次函数的最值.而本题中要证明当x＞时，f'（x）≥0，实际上就是证明f'（x）在（，+∞）上的最小值大于等于0，这就是解决本题的数学解题思想（idea），在这个思想指导下，下面只要在所有的数学方法中选择求函数最值的数学方法解决问题即可.也就是说下面所用的数学方法（当然是通性通法）是求最值思想的副产品，我者说是附属于求最值这个思想的.下面我们给出本题的解法：
类似的题在今年的高考题中都出现过，譬如全国卷Ⅰ（理）第20题，全国卷Ⅱ（理）第22题这类题考查学生的基本数学思想和数学的通性通法值得赞赏.从另一个侧面也反映这类题目应该在中学里练过，而在大学里学了两个多月，很多学生碰到类似的题又不会了，这反映了中学教学确实存在一些问题.我们主张突出数学思想的教学是必要的.