VAR：一种全新的风险管理工具（续一），本文主要内容关键词为：管理工具论文,风险论文,VAR论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
四、VAR的实际计算方法
从本质上说VAR是一个统计估计值， 我们可以在各种统计假设下应用多种统计方法来得到VAR的估计。 这些方法主要是由于围绕着如何对资产收益的统计分布进行估计的问题，到目前为止在进行VAR 分析和计算时仍然没有一个公认的最佳实施方法。
我们知道VAR 方法由三个基本要素组成：相关风险因素的当前头寸、头寸随风险因素变化的敏感度和对风险因素向不利方向变动的预测。第一个要素是非常明确和容易处理的，只要按市场当前的价格计算就可以了。VAR的不同计算方法主要来源于对第二或第三个要素的不同处理。
敏感度的处理一般有以下两种方法：
1）计算相应给定风险因素微小变化的一阶导数。 如现金流的PVBP或DVO1。
2）用一般市场接受的价值计算模型重新计算金融工具的市值。
对风险因素的预测一般采用以下三种办法：
1）用隐含信息；
2）用实际历史信息；
3）用特定或随机产生的价格路径。
这样，在实际运用中，对以上不同方法进行组合运用就产生了计算VAR的不同方法。
但这许多种计算方法基本上可以划分为三类：解析方法、历史拟合方法和（蒙特卡罗）模拟法。
从对数据的利用的角度来说，VAR 的测定方法也可以分为两类：第一类以局部价值（或者说得尔塔价值、线性价值）为基础，第二类以全部价值为基础。第一类包括得尔塔－正态法（Delta-Normal），也是一种解析法；第二类包括历史－模拟法（Historical-simulation）、 压力测试法（Stress testing）和结构化蒙特（卡罗法（Structured Monte Carlo）。
1、解析方法（Analytic Method）
1）方法的运用
解析方法又称为资产收益的方差－协方差估计，它用资产收益的历史时间序列数据来计算资产或组合的标准差和相关系数，然后在正态分布的假定之下基于这些方差和协方差系数来计算组合的标准差从而确定相应的VAR。 这就意味着投资组合的收益的分布完全由方差－协方差矩阵确定。
为此，组合的风险可以完全表示为组合中所包含的各金融资产收益的波动率和相关系数的函数。J.P.摩根从94年起一直致力向公众推广的RiskMetrics上一种解析方法，并在Internet 上向全球公众提供相关的计算方法和计算所需的波动率和相关系数估计的数据集。
得尔塔－正态法是典型的解析方法。假定投资组合是一组资产的线性组合，而且所有资产的收益率都服从正态分布，那么作为单个资产线性组合的投资组合的收益率也服从正态分布。这样，估计投资组合风险的关键是估计其协方差矩阵。这有两种途径可以实现。第一种以历史数据为基础，第二种则以期权所隐含的信息为基础。一般说来，期权隐含的风险信息要优于历史数据，因为历史数据只是过去的反映，并不一定代表将来；而期权的一个重要功能就是价格发现，其所隐含的价格信息自然包括价格的波动性。但是，不幸的是，并不是每种资产都有对应的期权。在后面的章节我们有较详尽的论述。
在所有计算VAR的方法中，得尔塔－正态法是最容易实现的一种。
首先得到历史数据，然后选定待计算的组合所依赖的风险因子，并将所有单个证券通过一种“映射系统”与这些基本的风险因子相联系起来。通过计算这些风险因子来得出组合的VAR值。
然而，必须注意到：一方面，由于组合的种类非常繁多，不可能得到所有组合的风险和相关性的数据；一方面，有时即使得到所有需要的历史数据，这些数据可能对于实际计算也是没用的。拿债券来说，它的风险特性会随着时间的延长而变化。而期权的风险依赖于标的资产的现价。这样，历史数据就不能很好的预测未来的风险。
因此，我们通常事先选定一些所谓的“基本因子”，例如外汇、零息票债券、股票综合指数和商品等。测算他们的风险，然后通过上面提到的所谓“映射系统”进一步给出其他金融工具的风险。给出的方法是首先将待测算的组合进行分解，给出组合对所有”基本因子“的delta值x，然后用历史数据计算出这些”基本因子“在目标区间内的协方差矩阵∑，再计算出给定置信水平对应的离差，就可以得到：
若选定95%的置信水平，α就是1.65。协方差矩阵也可以由相关系数矩阵R和方差σ给出。即∑＝S′RS，其中S是个对角矩阵， 对角线上元素为方差。如果直接观测到向量，则有
著名的RiskMetrics系统就提供V和R的值。
2）方法的优点
该方法最大的优点就是其简单与易于计算。它假定标的资产服从正态分布，而由于投资组合是标的资产的线性组合，所以方法本身是线性的。对于组合，其潜在损失为ΔV＝β[,0]×△S，其中β[,0]是在头寸V[,0]在时组合对风险变化的敏感度，而△S是风险的潜在波动。这一点我们后面将有详尽的论述。这样，有了正态分布的假定，组合的β值就是标的资产β值的线性组合。
而且可以看到，我们只需计算一次组合的价值V[,0]，它依赖于标的资产的现价。也就是说，本方法非常适合计算大型投资组合的VAR， 尤其是当相应的风险因素很多时。
3）方法的缺陷
首先，它对事件风险无能为力。所谓事件风险是指发生非正常或者极端情况的可能性，如股市或者汇市崩溃。由于事件风险并不经常发生，因而历史数据无法充分地表达有关事件风险的信息。这也是所有使用历史数据的方法都存在的一个缺点。
其次，许多金融资产收益率的分布都存在“粗尾”（Fat tail）现象。由于VAR着重考虑的是投资组合收益率分布的左半部分， 因而“粗尾”现象的影响尤其值得重视。在存在“粗尾”现象的情况下，以正态分布假设为基础的模型就会低估实际的VAR。 尽管某些“粗尾”是由于风险随时间变化而产生的，但在考虑这一因素之后，一般说来，尾部的观测值仍然太多。
最后，该方法不能充分测定非线性工具的风险，如期权与按揭。对于期权，得尔塔－正态法采取的是一阶近似。但是，这种近似是有条件的。当标的资产价格的变化较大时，这种近似就不太恰当了。
尽管如此，得尔塔－正态法仍不失为一种好方法。它需要的只是投资组合的具体组成以及历史数据，而且在大多数情况下都能充分地测定VAR。
2、历史－模拟法（Historical-Simulation Method）
1）方法的运用
与得尔塔－正态法运用一阶微分近似并假定组成证券收益率服从正态分布不同，历史－模拟法给投资组合中各组成证券分配一定的权重，利用各组成证券收益率的历史数据计算现投资组合收益率的可能分布，并进而计算投资组合的VAR。它是一种最为直观的全价值分析法。 历史－模拟方法又可以细分为两类：简单历史方法和一般历史模拟法。
简单历史方法不需要对资产收益的分布作任何假定，它从实际历史数据中直接寻找所要的最低收益来作为VAR的估计。例如， 为计算某一种资产的置信度为95的日VAR， 只要把该资产在过去一段时期的每日实际收益按从小到大的顺序进行排列，然后把这个序列分为一百等分，从最低收益的一方起的第五个分点所对应的数值即为该资产置信度为95%的日VAR值。
而一般历史模拟法的做法是：选择一个时间区间，给历史数据分配一定的权重，有：
n
R[,p，τ]＝∑ω[,τ，t]R[,τ，t] τ＝1，……t[,ω]
i＝1
注意权重是保持当前值的。这种收益反映的不是实际组合收益，而是从历史数据根据当前价值得出的理论的组合收益。那么对于场景理论的未来价格则可以从历史价格变化结合现价得出：
P[*][,i，τ]＝P[,i，0]△P[,i，τ]， I＝1，…，n
这样就可以得到理论的收益预测：
P[*][,p，τ]－P[,p，0]
R[*][,p，τ]＝───────────
P[p，0]
这样我们就可以从整个理论的收益分布中求得VAR值， 当然也可以假定这时的收益服从正态分布。
当投资组合中包含的资产数目较大或含有比较复杂的金融产品时，对涉及到的所有金融资产都保存有其历史数据也许不可能或无法做到；此外，对有些资产可能就没有历史数据存在，特别是那些为客户特殊定制的金融产品。在此情形下，用来计算组合VAR 的历史数据集将不再是由这些资产的历史收益构成，而是直接影响它们价值的其它一些产品或因素，称为“风险因素”构成。在此我们可以用历史模拟方法来改进简单历史方法。
历史模拟方法就是用市场价格和比率的历史变化来构造一个组合未来的可能损益分布，然后再从这个分布出发来估计组合的VAR。 更准确地说就是首先确定标的的风险因素，考查这些风险因素的行为特征，获取它们在过去一段时期内的历史变化百分比；下一步就是用这些已有的价格或比率的百分比来得到未来价格或比率的可能变化值并根据这些可能变化值来对组合进行估价；最后在一个给定的置信度下用这些组合价值的可能来估计其VAR。
2）方法的优点
首先，只要我们每天收集股市的数据，该方法是较容易实现的。
其次，从历史－模拟法的计算过程可以知道，该方法计算的是投资组合的全部价值，而非价格发生微小变化下的局部近似。由于它使用实际数据，就可以引入非线性的因素，比如gamma、vega风险和相关性。 它也同样适用于非正态分布。而且由于它并没有对定价模型和基础资产市场的随机性进行特别的假定，所以它能够解决“粗尾”问题。
正是由于该方法的相对简单而有效，它成为巴塞尔委员会1993年建议的基础。
3）方法的缺陷
首先，它假定过去能够很好地代表将来，这样就仅采用了一种样本路径。而由于风险本身意味着显著的可以预见的时变性，那么本方法就很可能不能考虑临时的波动性。
其次，它对历史数据多少的依赖程度非常高。如果历史数据的样本容量太小，该模型估计误差就会比较显著。
第三，它对所有历史数据给以相同的权重，而且为提高预测准确性常采用较长的样本区间，而这时就会把已不重要的历史数据加以考虑而不能准确的预见未来。
最后，如果投资组合的规模比较大，结构比较复杂，该方法的执行就会很困难。在实践中，使用者可以对该方法进行简化。但是，如果简化太多，该方法的优点就会受到影响。
3、压力测试法（Stress testing）
1）方法的运用
与历史－模拟完全相反，压力测试（Stress testing）（有时称为场景分析（Scenario analysis ））考虑的是关键金融变量的大幅变化对投资组合价值的影响。它先主观地选定一些场景s， 例如收益率曲线在1个月内向上移动100个基本点，或者货币在1天之内急剧贬值30%，然后利用新场景对投资组合中的所有资产重新进行定价：
n
R[,p，s]＝∑ω[,i，t]R[,i，s]
i＝1
这样就可以得出场景s下投资组合的收益率。然后对每种场景s分配一个概率ps，重复上述过程，这样就可以得出投资组合收益率的概率分布，据此就可计算VAR。
2）方法的优点
首先，压力测试法最大的优点就是它考虑了历史数据可能无法涵盖的事件风险。这也就是为什么该方法在G30 组织的报告中被推荐用来做敏感性分析。
其次，该方法在投资组合主要依赖一种风险时常常极为有效。
3）方法的缺陷
首先，在测定VAR时，它不像其他方法那样具有科学性， 完全是一种主观的预测。如果场景设定得不太合理，测定的VAR 就是完全错误的。
其次，场景的设定会受到具体投资组合头寸本身的影响。如果投资组合的主要成份是固定收益证券，场景就应该设定为利率曲线的移动；如果投资组合的主要成份是外汇资产，场景就应该设定为汇率的变化。这样，场景发生变化，风险的测定值就会发生变化。而且，压力测试法不能给出最坏情况发生的概率。而期望的风险不应只是可能的损失的函数，还应该是可能损失发生概率的函数。
第三，压力测试法受到的最严厉的置疑是压力测试法没有考虑相关性。而相关性对投资组合的风险非常关键。因此，该方法适合于主要依赖于一种风险因素的投资组合，不适合于规模较大、结构复杂的投资组合。
最后应注意，压力测试法应该是其他VAR测定方法的补充， 而不能替代其他方法。
4、结构化蒙特（卡罗法（Structured Monte Carlo Method）
1）方法的运用
蒙特卡罗方法的实现思想与压力测试法是相似的，不同的是它并不只考虑关键金融变量大幅的波动，而是覆盖范围更广，而且考虑相关性的因素。另外，不是直接使用历史观测到的市场因素的变化来产生假想的未来损益，而是通过给定被认为能恰当的刻画或近似模拟市场因素可能变化的变量的统计分布来计算潜在收益和相应的VAR。 它要每一个风险因素选定一个其未来值可能的分布，比如正态、对数正态和带跳的扩散分布等等，然后用历史数据来确定这些选定分布的参数。利用这些分布和参数，我们可以随机产生成千上万种风险因素的未来的可能比率或价格的假想情景，或说可能的结果，然后根据每一个场景来对组合进行再估价，确定出组合的相应价值。最后再类似上述的历史模拟法用这些随机产生的组合收益来构造组合的经验分布和确定出设定置信水平的VAR估计。
简单地说，结构化蒙特（卡罗法的计算过程是这样的。首先，使用者选定金融变量服从的随机过程及随机参数（方差和相关性等参数可以从历史数据或期权数据中获得）。然后，利用假定的价格路径对所有变量进行模拟，得出投资组合的不同价值。最后，对每个变量模拟虚拟的路径，然后编制收益率的概率分布，最后测定投资组合得到VAR。
关于本方法，具体可以参看参考文献（1）第十四章相关节的论述。
2）方法的优点
结构化蒙特（卡罗法是迄今为止最有效的计算VAR的方法。 对于其他方法无法处理的风险和问题，如非线性价格风险、波动性风险、事件风险、模型风险、方差随时间变化、粗尾分布、极端场景甚至信用风险，它都能够有效地处理。
3）方法的缺陷
但是， 这一方法的最大缺点是计算量太大。 如果投资组合中包括1000种资产，对每种资产涉及的价格路径是1000种，那么投资组合的价值就会有100万个。如此大的计算量就需要先进的计算设备。
结构化蒙特（卡罗法的另一个缺点是它存在模型风险。这是因为它依赖于基础风险因素的随机模型以及证券的定价模型。如果这两类模型有缺陷的话，据此计算得到的VAR当然就不再准确。
不过只要使用得当，结构化蒙特（卡罗法仍然是最好的方法。
1、不同方法的比较
在对四种VAR测定方法进行了简单介绍之后，我们作一比较。
总的来说，如我们前面提到的，这些方法可以根据是应用delta 还是全部价值来区分。实际上就是只考虑线性因素还是考虑非线性因素的区别。
每一类方法都有各自的优缺点，我们已分别给出了详尽的论述，下面给出一张表或许更清晰些。
得尔塔正态法 历史模拟法 压力测试
结构化蒙特卡罗法
定价 线性 全部全部 全部
非线性资产
无有 有 有
对于含有期权类产品的组合，由于标的的风险因素与组合的价值之间存在非线性关系，使得对其VAR的计算比较困难； 即使在标的资产价值变化的分布是正态的时候，其相应的期权价值变化的分布也不是正态的，已经提出的众多方法都采用泰勒展式来近似这个非线性关系。最简单的一种当然就是得尔塔正态法（δ-Normal）， 当然它只考虑了一阶近似。为克服这一问题，通常采用更为准确的Delta－Gamma（δ—γ）－方法，该方法考虑了风险因素的二阶影响，能比较好地刻划风险因素与组合之间的非线性关系。还有一些方法考虑了θ（Theta），ρ（Rh[,0]）和（Vega）等对期权价值的影响因素； 但它们仍然假定了组合价值的可能变化服从正态分布。近来也有一些方法试图通过组合分布的高阶矩来矫正这个不太现实的假定。
历史 正态分布实际分布主观分布全部
时变 是 否 主观是
隐含 可能否 可能是
非正态分布
否 是 是 是
考虑极端事件 有时有时是 可能
考虑相关性
是 是 否 是
避免模型风险 有时是 否 否
易于计算 是 有时有时否
可交流性 容易容易好 难
主要缺陷 非线性 极端事件时变
极端事件 错误预测相关性 模型风险
上述所提及的解析方法都是用标准差的方式来表达期权的VAR； 另一个可选的途径就是用标的资产的VAR来表达期权的VAR，对普通期权（Vanilla-Option）这类方法可以给出比较简单、明确的表达式；这类方法也可以进一步推广而对奇异期权（Exotic-Option ）和其它含有多种风险因素的期权进行计算。
6、最新的计算方法
我们知道，常用的VAR计算方法通常假定金融数据服从某种分布， 尤其是正态分布。
然而在现实中，这种假设却常常低估潜在的风险，因为金融数据往往存在“粗尾”现象。
针对这种现象，人们开始引入样本数据的高阶的信息，来最终确定给定置信度下的区间。其理论根据是最近十几年统计理论上非常流行的估计函数理论（Estimating Theory）。 下面我们就简单的对这种理论及其在计算VAR上的应用加以介绍。
假设一随机变量X，其期望、方差、斜度和峭度定义如下：
h[,1]＝x－μh[,2]＝（x－μ）[2]－σ[2]
然后我们有如下估计函数：
但它们并不正交，所以利用Doob（1953）的正交化过程，得到：
h[,3]＝（x－μ）[2]－σ[2]－γ[,1]σ（x－μ）
这样，我们需要找到一个最优的线性组合：ι[,μ]＝αh[,1]+βh[,3]。
Godambe和Thompson（1989 ）根据预测函数理论提出最优的系数为：
一般的，
近似服从正态分布，所以对于置信度，有：
是对应于置信度的，若＝0.05，则＝1.96。从上面的不等式中我们实际上可以得到X的分布区间，XL〈X〈X[,u]。经过严格的数学证明，我们有：
对于正态分布的情况，有γ[,1]γ[,2]，就有：
这就得到了我们熟悉的情况。
从上面可以看出，这种考虑了斜度和峭度的新方法与传统VAR 方法还有一点不同是形式上的不同：它给出了给定置信度下的预计分布区间，这实际上与给出VAR值是殊途同归的。另外， 该方法已被用到实际中进行了验证，其效果是非常好的。
另外需要指出的是，我们还知道传统的理论往往忽视极端情况的发生，这虽是小概率事件，但却一般是致命的。近年来，人们采用了一种极值理论（Extreme Value Theory）来处理这种情况，我们在此不再做详细介绍了。
五、投资组合的VAR
1、准备知识
在现实生活中我们经常会涉及到计算投资组合的VAR值。 我们换一种表达方式，在组合中引入时间。
假定投资组合由N种证券组成，第i种证券的权重为（i，（i组成的列向量记为（。用表示第i种证券在t时刻的价格，表示单个证券相应的收益率，表示整个组合的收益率，则有：
P[,it]－P[,it－1]
R[,it]＝────────
P[,it－1]
那么，
P[,it]
r[,it]＝ln（1+R[it]）＝ln[────]
P[,it－1]
＝lnP[,it]－lnP[,it－1]
这样，整个组合的收益率为：
这似乎与我们平常见到的组合收益率不同，但注意到当对i＝1，2，...，n一样时则该收益率简化为：
n
R[,pt]＝∑ω[,i]R[,it]
i＝1
这是我们常见的形式，也说明这个形式实际上只是个近似值。
现在我们假设一个投资组合的初始值为，按ω向量分配到n 种证券上。令，其中为第i种证券收益率，则1期以后，该组合投资价值为，则
则组合的收益率为
若期限很短且r[,i]很小，则上式中的e[r][,i]可以由1+r[,i] 代
n
替，那么由于∑ω[,i]＝，1有
i＝1
这时我们用ln（1+x）≌γ在│x│＜1时的近似公式就得到：
n
γ[,p]＝∑ω[,i]r[,i]
i＝1
这就是我们常用的公式。
2、投资组合的VAR计算
有了以上知识我们知道：R[,p]＝∑μ[,i]R[,I]＝ω′R 期望收益率为
E（R[,p]）＝μ[,p]＝∑ω[,i]μ[,i]
其中ωp为Rp的期望值，ωi为Ri的期望值。
方差为
其中ω为协方差矩阵。
如果投资组合的收益率服从正态分布，则其VAR为ασ[,p] 与组合价值的乘积。
从投资组合方差的表达式可以发现，增加投资组合中证券的种类或者降低证券之间的相关性，都能够有效地降低投资组合的风险，但证券之间的相关性对于投资组合风险的影响更大。假定所有证券的权重、风险和相关性都相同，则上式变为
__
当N趋于无穷时，上式趋近于σ＝√p；当（P等于0时，上式等于 ___σ＝√N。
3、单个证券对投资组合风险的贡献
为考虑证券对于投资组合风险的影响，我们考虑：
这样β是测度单个证券对整个组合风险的贡献， 或可以称做证券i对组合p的系统风险。
β风险是Sharp（1964）提出的资产定价模型（CAPM）的基础。在这里，β风险对分解VAR风险也十分有效。 我们可以把方差表达式改写为：
该式表明，投资组合的方差可以分解为一组组成部分的和，而每一组成部分属于一种证券。与此类似，投资组合的VAR 也可以分解为一组组成部分之和。
VAR＝VAR[∑ω[,i]β[,i]]＝VAR[,1]+VAR[,2]+…
这种分解具有重要意义。这是因为，虽然证券的方差可以用来衡量其风险，但这种衡量只有当该证券独立存在时才有意义。当证券成为投资组合的组成部分时，证券自身的方差不再有重要意义。也许单独来看，有几种证券的风险都很大，但经过良好的组合之后，作为一个整体，这些证券组合的风险并不大。所以，有了上述VAR的分解之后， 我们就可以发现，哪些证券对投资组合的VAR具有较大影响， 然后就可以对投资组合中各证券的权重进行调整，从而有效地降低投资组合的VAR。
4、一种计算组合风险的简化模型
随着组合中证券数量的增多，对其相关系数的估计越发困难。我们可以采用一些简单的模型来简化这个问题。一个常用的模型便是对角线模型。该模型假定所有的证券都受一个因素影响：市场因素。这样，模型可以表示为：
R[,i]＝α[,i]+β[,i]R[,m]+[,εi]，E[ε[,i]]＝0，
E[ε[,i]R[,m]]＝0，E[ε[,i]ε[,j]]＝0
E[ε[2][,i]]＝σ[2][,ε]这样，单个证券的方差就可以被分解为：
σ[2][,i]＝β[2][,i]σ[2][,m]+σ[2][,ε]
两种证券间的协方差就可以表示为：
σ[2][,i，j]＝β[,i]β[,i]σ[2][,ε]
整个协方差矩阵就可以表示为：
用矩阵符号，可表示为
∑＝ββ′σ[2][,m]+D[,ε]
由于矩阵是对角矩阵，则参数的个数从n（n+1）／2减少到2n +1个。对于比较大的n来说，这个改进是很显著的。
更进一步的，大型的投资组合的方差可以简化为：
Var（R[,p]）＝Var（W＇R[,p]）＝ω＇∑[,ω]＝（ω＇ββ＇ω）σ[2][,m]+ω＇D[2][,ε]εω，i上式第二项可以写为， 但是随着组合中证券数量的增多这一项会变的非常小。例如，假设所有的残差项的方差相等，且对应的权重一样，则这一项变成，随着n 的的增大该项趋于0。因此，组合的方差收敛于
Var（R[,p]）→（ω＇ββ＇ω）σ[2][,m]
这样该方差就只依赖于一个变量，在计算大型投资组合的VAR 时便非常简单。巴塞尔委员会已决定采用这种办法来近似计算组合的方差。（待续）
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