易学军[1]2009年在《几类泛函微分与差分方程的收敛性》文中研究指明本文对几类具有广泛应用背景的非线性泛函微分方程模型的收敛性进行了研究,讨论了这些泛函微分方程或其对应的差分方程所产生动力系统模型有界解的收敛性,反周期解和概周期解的存在性与全局指数稳定性.全文的内容共分为七章.在第一章中,我们首先简单回顾了由Bernfeld与Haddock猜测所引出的几类泛函微分方程与其对应的差分方程模型的发展历史及其研究现状,分析了高阶Hopfield神经网络(HHNNs)模型所对应的泛函微分方程的收敛性研究现状,并分析了一类具偏差变元的三阶非线性微分方程反周期解,概周期解的研究背景与现状,给出了本学位论文的研究内容及其研究方法.在第二章中,从Bernfeld-Haddock猜测(1976)中的一个方程出发,我们提出了类很广泛时滞微分方程所对应的动力系统模型,并指出它的实际意义.在一定附加条件(比局部Lipschitz条件弱)下,我们首先分析系统的保序性质,以及ω-极限集与某常函数的关系,由此利用单调技术推出了该系统的收敛性质.所获得的结果不仅改进推广了已有文献的相应结果,还为Bernfeld-Haddock猜测(1976)提供了一个简明、合理并且有力新颖的证明方法.在第三章中,针对Haddock(1987)所提出的猜测,我们提出了较前人更为广泛的高维中立型方程或系统.首先我们研究了此类系统的保序性质,并分析获得了ω-极限集中全轨与某常数函数的精细保序关系.借助这一结果,我们运用数学分析方法建立了此类方程的收敛性,所得结果改进和推广已有的对Haddock猜测(1987)进行研究的工作,并对Haddoock猜测(1987)给出了一个有力的论证.在第四章中,我们分析了三维Bernfeld-Haddock猜测中泛函微分方程对应的离散化系统的收敛性.一般来讲,我们能得到连续系统较好的保序性质,但由于缺少连续性和ω-极限集连通性,这就给离散系统的研究带来了一定的困难,反过来这也表明有研究它们的必要.实际上我们在较好的保序条件下,通过对第二章所提供的方法的改造与发展来建立了离散化系统的收敛性.这也揭示了三维Bernfeld-Haddock猜测(1976)的离散化推广形式仍然是正确的.此外,这些结果改进和推广了已有文献中的结论.在第五章中,我们利用微分不等式及其相关的数学分析技巧,研究了高阶的Hopfield神经网络(HHNNs)模型和一类时滞递归神经网络(RNNs)模型解的收敛性.在放弃已有文献对这些模型中信号函数所要求的Lipschitz条件,以及连接权值的概周期或周期性的条件的前提下,我们获得了HHNNs和RNNs模型所有解都收敛到平衡点的新结论.在第六章和第七章中,我们研究了一类具偏差变元的三阶非线性微分方程反周期解,概周期解的存在性与指数稳定性,通过利用不动点理论和新的不等式技巧,获得了该方程反周期解,概周期解的存在性与指数稳定性的新结论,所获得的结果在较大程度上改进和推广了已有文献的结论.
卢占会[2]2008年在《电力市场稳定性研究》文中进行了进一步梳理世界范围内的电力工业市场化改革,在电力系统规划、运行、管理、安全稳定分析与控制等领域催生了大量新课题,亟需新的理论和方法指导。电力市场稳定性不仅包括功角稳定、电压稳定以及频率稳定等物理系统的稳定,还需要考虑与电力市场相关的经济系统的稳定性。电力市场的经济稳定性与电力系统的物理稳定性,既相互影响又相互制约,致使电力市场稳定性的研究成为富有挑战性的课题之一。论文旨在结合电力市场的特点,利用稳定性理论、控制理论和经济学中的研究思想和方法,对电力市场稳定性及其相关问题展开深入研究,主要包括以下工作:电力市场是电力的卖方和买方相互作用以决定其电价和需求量的过程,以电价和需求量等时间序列作为研究对象,提出了一般分组分离建模方法和改进的Lyapu -nov指数预测方法,并在理论上证明了时间序列分离融合的合理性,提高了预测精度,并用实例验证了二者的有效性。应用经济学原理对电力市场进行动态均衡分析,建立了若干描述电力市场行为的微分和差分模型。在假设市场需求是价格预测的变系数线性函数(或非线性函数),市场供给是现货价格的变系数线性函数(或非线性函数)的条件下,对电价和需求量等时间序列进行了分析,建立了自治、非自治的连续或离散线性周期的数学模型描述电力市场行为。结合已建立的描述电力市场行为的模型,借助于构造合适的Lyapunov函数、比较方法、微积分不等式、矩阵测度等工具,系统研究了一般的自治、非自治连续或离散线性周期系统的Lyapunov稳定性和实用稳定性,针对变系数周期系统第一次得到了用模型系数来描述其实用稳定性的一系列稳定性判定条件和最终收敛边界的估计公式。给出了离散系统连续化的条件及连续和离散系统系数之间的关系。首次将实用稳定性理论和方法应用于电力市场稳定性的研究中,借助于构造合适的Lyapunov函数、柯西矩阵、矩阵测度、常数变易法等工具,系统研究了所建电力市场模型的实用稳定性,得到了用模型的系数来描述其实用稳定性的一系列判定条件和最终收敛边界的估计公式;同时对电力市场的Lyapunov稳定性进行了研究,得到了电力市场稳定性的若干判据,部分结论改进了Alvarado等人的结果;随后将Lyapunov稳定的结果与实用稳定进行了比较。最后利用MATLAB、MAPLE等数学软件,对这些模型及稳定条件的有效性用加州电力市场等数据进行了仿真分析,分析了其供应量、供应价格、用户需求量和需求价格对形成稳定、合理的电力市场经济机制的影响。
霍海峰[3]2000年在《若干微分与差分系统解的渐近性质》文中研究指明所谓解的渐近性质就是指当t→∞时解的性态，它包括：吸引性，渐近稳定性，振动性，振动趋于零或振动而振幅无限增大，或振幅有界等，这些性质揭示了动力系统的长期行为，因而在众多领域有着广泛的应用．本文研究了两种微分系统所描述的生态动力系统与一种差分系统的渐进性质． 首先在现实的野生动物保护过程中，人们常采用扩散的方法让即将灭绝的种群迁移生存环境来保护野生动物．因此，在种群动力学的研究中，扩散的作用日益受到人们的重视．近年来有大量的文献研究具有扩散的模型．文[7]，[8]和[2]研究了无时滞但具有扩散的模型．但是时滞在自然界中是经常存在的，许多生物模型可用具有时滞的微分方程来描述．对于此类模型，时滞对系统稳定性的影响是很不相同的．如对文[6]中的系统而言，随着时滞的增加，稳定性的开关现象发生并且系统最终变为不稳定．而对另外一些文[9]，[11]中的系统，时滞对该系统的一致持续生存与持续生存毫无影响．因而时滞对系统的影响也成为人们关注的课题． 然而，扩散与时滞在自然界中往往同时发生．基于此文[10]和[5]分别研究了具有时滞与扩散的系统．但是他们所研究的仅仅是单种群模型．为此，在本文第二部分中，我们首次研究了如下更为现实的两种群具有非线性功能性反应函数的捕食-食饵模型x'_1 (t) = x_1(t)[r_1(t) - a_(11)(t)x_1(t) + a_(12)(t)x_1(t - r) - (αy(t))/(1+βx_1(t))]+d_1(t)(x_2(t) - x_1(t)),x'_2 (t) = x_2(t)[r_2(t) - a_(22)(t)x_2(t) + a_(23)(t)x_2(t - r)]+d_2(t)(x_1(t) - x_2(t)),y'(t) = y(t)[r_3(t) + e(t)(αx_1(t)/(1+βx_1(t)) - a_(33)(t)y(t) + a_(34)(t)y(t - r)]. 和 ／’／。、＿J。、rJ工＼＿．J工t＿．JLt＿．J工＼＿JJ＿、口川【I】 I 十dl卜）K2了）一Q！卜I）， （＊2kJ”出2厂）K2pI一o22卜沁2卜I一乙23厂厂2厂一了）IL“） 【十＊2卜）〔81卜）一22厂）J， ！V厂）＝川水）卜引3）十到J工o汀方六一a朋卜川卜I一叱噬厂川1了一川］·由于此模型同时具有扩散，时滞与非线性功能反应函数，通常的方法已无法解决此问题．给研究工作带来了一定的难度．我们利用微分不等式和Lyapullov－R删umiki；l技巧，分别获得了两个系统持续生存的充分条件，以及当系统为周期系统时，系统存在全局渐进稳定的周期解的充分条件．由此我们得出在一定条件下，扩散对以上两系统的持续生存与周期解的存在没有影响 其次，由于在自然界生存的许多生物在其不同生理阶段的生育率与死亡率有着明显的差异．例如，只有成年的生物才能繁殖后代，幼小的生物对环境适应能力较差，死亡率较高等．因此，在生物模型的建立中常常将种群按其生理特征分成幼年与成年阶段，这样建立起来的模型就称为阶段结构模型，它更能真实地反映现实·已有许多文献研究了此类模型．详见文［131，［14］；［15］，［24］，［25］，［291，［33］，t35］，［17］；［22］．自食现象在许多种群中都经常出现，例如一些鱼类中经常发生大鱼吃小鱼的自食现象．它对种群的结构与动力行为有很重要的影响。详见【23卫，＊27工，J28＊，【20I，【ZI］，＊311，P6卫斤本文在第三部分研究了女下具有自食及收获的被开发的两种群阶段结构模型． J 出。什｝＝口＊＿什l—’Y队什I一oy一7”＊，、门一丁）十沏／川儿，。K）干F。 J。’N、＿＿。一7，、。NJL、．／n、，／八＿n、．2 卜I＿p、什； 。小）＝Plit）三0，。m闪＝炖川三0，一，三吐三口，川0）＞0． 当人类将种群视为资源时便有了如何合理开发和科学管理的问题．那种对生物资源未能充分利用和开发过度造成资源枯竭的情况；“在过去和今天都是屡见不鲜的．科学的开发与管理，不仅要考虑到当前的高产，而且应考虑到保持生态平衡以保证长期的高产，不仅考虑到产量的多少，还应考虑到投入产出所获得的经济利润．关于经济与生物方面的资源最优管理文［19］和［30］，［16］，［34］和［32］都作了很好的研究工作．但是对于阶段结构，自食和收获三者同时对种群起作用的模型还未见文献研究，我们利用比较原理与叠代的方法得到了上述模型存在一个全局渐近稳定的正的平衡点的充分条件．也就是说，具有正初值函数的所有种群都趋向于一个常种群规模．从生态意义上来说就是达到了一种 2 生态平衡．同样获得了收获的阈值与使种群资源既能保待平衡又使收获率最大 的值即最优收获率，从而为管理部门决策提供了一定的理论指导． 第三；泛函微分方程的振动理论作为泛函微分方程定性理论的一部分，在 最近三十年中有了迅速的发展；在国际文献中这一领域的论文已有成千篇．广 泛的应用背景是促使这一理论迅速发展的基础．例如，在社会生活中?
赵国英[4]2005年在《非线性随机系统的动力学行为研究》文中进行了进一步梳理由微分方程所描述的确定性系统在物理、工程技术、生物和经济系统等领域中的应用是众所周知的.然而随着科学技术的发展,要求对实际问题的描述愈来愈精确.因此,随机因素的影响就不能轻易地被忽略,于是对某些实际过程的分析也就有必要从通常的确定性观点转到随机的观点,从而对这些实际系统的描述,也就自然地从确定性的微分方程转到随机微分方程,即由确定性系统转变成随机系统.在随机系统的系统分析中,稳定性是一个重要的动态特性,是工程设计的主要目标之一.考虑到实际工程系统所处的环境日益复杂,而要求完成的行为却不尽相同,因此,本文对非线性随机系统的动力学行为(特别是稳定性与吸引性)进行了深入系统的分析与研究.Lasalle 定理是研究系统的稳定性与吸引性的重要工具,因为它取消了Lyapunov 函数正定的要求,因而在实际工程问题中被广泛应用.本文应用Ito 公式、半鞅收敛定理、随机积分的均值不等式、Kolmogorov-?entsov 定理等随机分析工具与不等式技巧,首次建立了一般中立型随机泛函微分系统的随机型Lasalle 定理,其结果能包含现有文献中随机微分系统与随机泛函微分系统的随机型Lasalle 定理. 同时针对现有的随机泛函微分系统的随机型Lasalle 定理的p 阶矩的条件太苛刻及许多随机泛函微分系统并不满足线性增长条件,建立了改进的随机泛函微分系统的随机型Lasalle 定理.针对现有文献中仅用一个Lyapunov 函数讨论随机泛函微分系统的稳定性,本文应用多个Lyapunov 函数讨论了一般随机泛函微分系统的稳定性.同时应用Ito 公式、半鞅收敛定理与H?lder 不等式等方法建立了一般中立型随机泛函微分系统的渐近稳定性、多项式渐近稳定性与指数稳定性等判据.与经典的随机稳定性结果相比,本文的结果充分利用了随机扰动项的有益作用,并且从理论上说明一个不稳定的系统有时加入适当的随机干扰后反而稳定.首次对一类具有Markov 切换的随机混合系统进行了系统研究,由中立型随机微分时滞系统解的存在唯一性定理与Burkholder-Davis-Gundy 不等式,建立了这类随机混合系统解的存在唯一性定理及解的估计. 进一步应用标准截断技术给出这类随机混合系统在不满足线性增长条件下解的存在唯一性定理.最后应用广义的Ito 公式、半鞅收敛定
赵学艳[5]2014年在《非线性与时滞随机系统的稳定性、镇定及其控制研究》文中研究表明在任何实际系统及其外部环境中都存在着随机因素,影响系统的动态行为.实际上,随机模型有时更能准确反映自然与社会工程系统的动态特性.含有非线性、时滞、变系数、Markov跳变、脉冲、分布参数、奇异性、模糊性等复杂因素的随机系统的控制理论是当前的研究热点.本文以非线性、时滞随机系统为研究对象,探讨系统的稳定性、镇定与控制问题.以体现随机系统特色、减小稳定性判据的保守性为追求目标,在非线性与时滞随机系统稳定性分析方法、状态反馈镇定、噪声镇定等方面探索新的方法与途径.主要探索非线性随机系统稳定性的矩方程法、时滞随机系统稳定性分析的Lyapunov函数法加系统方程法,建立具有随机系统特色的Lyapunov稳定性定理、Razumikhin微分不等式比较原理、时滞随机系统的算子型稳定性定理、随机噪声镇定新方法等,并将随机镇定理论用于当前的热门研究领域:忆阻电路的镇定,为非线性与时滞随机系统的稳定性分析、镇定控制这一经典问题带来一些新的视野和理论方法,进一步完善和发展随机系统理论,为工程和社会实践提供理论参考.本论文的主要工作分为以下几个方面:1.介绍了非线性与时滞随机系统的研究背景与意义,以及随机系统稳定性,镇定以及控制等问题的国内外研究现状.并给出了一些常用记号,相关引理,定义以及定理.此外给出了本博士论文数值仿真的基础以及基于泛函微分方程的Lyapunov函数法的方法探索与思考.此部分的引理1.8及其推论、数值仿真算法以及关于Lyapunov函数法的方法探索本身均为本文的相关研究结果.2.分别研究了非线性连续随机时滞系统和离散随机时滞系统的矩稳定性.基于Kronecker代数和一种H-表示技巧,得到了非线性随机时滞系统的二阶矩方程.通过比较原理和已建立的矩方程,得到了非线性随机时滞系统的比较系统.基于比较系统的稳定性性质,建立了原系统的矩稳定定理.最后,用仿真实例说明所得结果的有效性.3.基于Lyapunov函数法研究了It?o随机泛函微分方程的新型稳定性判据.首先,提出了冻结算子以及随机导数的拟负定性概念.基于冻结算子以及广义微分算子,建立基于Lyapunov函数法的It?o随机泛函微分方程的新型稳定性判据,得到的判据在Lyapunov函数的随机导数的负定性方面条件宽松,且结果具有一般性.本章的结论在模型上可以退化到确定型泛函微分方程,在方法上可以推广到多Lyapunov函数法.4.研究了泛函微分不等式.基于我们建立的比较原理,将常用的常微分不等式推广到相应的泛函微分不等式.我们考虑了任意时滞,包括无穷时滞的情况.作为结果,我们将经典的Halanay不等式推广到带有任意时滞的非线性的情形和时变线性的情形.作为应用,我们研究了带有分布时滞的It?o随机变时滞系统的稳定性,基于所得泛函微分不等式,得到了一个稳定性判据.最后用仿真实例说明了我们结果的有效性.5.建立了随机泛函微分方程的一个新型稳定性定理.这个定理的特点是:它不是确定型泛函微分方程基本稳定性定理的直接复制版本.基于这个新型稳定性定理,用最简单的Lyapunov函数以及反复运用方程的方法可以方便地处理时滞项,从而得出方程的稳定性判据.作为应用,根据这个定理,建立了一个基于Lyapunov函数法的实用稳定性定理,同时研究了扩散项带有分布时滞的随机泛函微分系统的渐近稳定性,从而得到了所研究的随机泛函微分系统用代数矩阵方程刻画的稳定性判据.最后用仿真实例说明我们方法和结果的有效性.6.建立了算子型稳定性定理.基于所得到关于广义微分不等式的研究结果,研究了一般形式的时滞随机系统的渐近稳定性.首先提出了构造泛函算子重新改写系统模型的方法.分别针对基于Lyapunov泛函法和Lyapunov函数法的泛函微分算子,建立了两个渐近稳定性定理,它们都具有适用于中立型系统的一般形式,且便于应用.作为应用,研究了带有分布时滞,特别是扩散项带有分布时滞,的时变线性随机系统的镇定问题,研究了控制律的设计方法,同时给出了相应的稳定性判据.最后用仿真实例说明所得结果的有效性.7.明确提出了Razumikhin型泛函微分不等式的概念.基于Razumikhin型泛函微分不等式,建立了Razumikhin型泛函微分不等式的比较原理,从而通过建立的比较原理研究了Razumikhin型泛函微分不等式的定量性质.作为一个直接应用,分别建立了确定系统和随机系统的一些新型Razumikhin型稳定性定理.最后用实例说明了我们方法的用法和有效性.8.研究了随机系统的分时状态反馈控制.首先,提出了系统状态提取矩阵以及分时状态反馈的概念.其次,建立了由线性部分占优的随机系统的稳定性判据.再次,研究了时滞随机系统的分时状态反馈控制,同时设计了分时状态反馈控制定律,建立了闭环系统相应的稳定性判据.最后,面向部分状态信息丢失或者由网络传输带来的传送延迟情形,研究了容错控制.最后用例子说明了该方法的用法和有效性,也表明了分时反馈控制的优点.9.建立了随机系统关于几乎必然稳定性的一类新型稳定性定理,模型包括连续参数系统和不连续参数系统,这类定理实际上属于La Salle型定理.对于连续系统和不连续系统,基于这些稳定性定理我们进一步研究了利用噪声的随机镇定和随机消稳问题.在此部分,过去文献中常用的局部Lipschitz条件被减弱为广义局部Lipschitz条件,其系数可以时变.文献中的线性增长条件或者单边线性增长条件也被减弱为广义单边线性增长条件,其特点是局部、变系数、非线性,在时间维上真正允许系数的时变性,在空间维上真正允许系数的非线性性.作为新型稳定性定理的应用,1.我们提出了一个寻找噪声强度?g(t;x)的简单、直接的设计方法,使设计的噪声?g(t;x)d?B(t)可以镇定一个不稳定的系统或者消除一个稳定系统的稳定性,不管是确定型的还是随机型的系统.这样的设计方法适用于真正的时变和非线性系统;2.针对基于忆阻的电路这一背景,研究不连续系统的随机镇定与消稳.我们阐述了广义It?o公式、具有不连续漂移项的随机系统的Filippov解的非零性与整体存在性;对具有不连续动力学特性的确定性系统,具有不连续漂移项的随机系统,应用与连续型系统同样的方法设计镇定噪声强度,研究了基于忆阻的电路的随机镇定方法,该方法设计的控制器具有全局性,对系统参数与切换没有限制条件.最后,给出几个仿真实例说明了提出的理论与设计方法的有效性.本文的特点是:瞄准了本方向的研究难点:由系统的随机性、非线性、时滞性、时变性带来的困难,以减少判据保守性为目标,力图通过细心的观察、方法的整合与突破,对过去难以拓展的模型、难以放宽的假设与难以深入的问题开展新一轮探索,攻坚克难,力图对一些经典的难点问题取得一些具有意义的进展.作者认为,本文提出的方法、取得的结果都是初步的,但通过文中的探索,我们得到了一个启示,那就是:如果我们不问青红皂白,一味躲避困难,可能错过美好风景.因此,作者将在今后继续推进本文研究,力争新的成果.为此,我们将在文末的“展望”部分提炼进一步的研究课题,作为今后努力的方向.
吴开宁[6]2009年在《具有脉冲和随机扰动的延迟系统的数值方法与稳定性》文中提出本文主要研究脉冲延迟微分方程与随机延迟积分微分方程数值方法的收敛性与稳定性以及脉冲随机延迟微分方程的稳定性。脉冲延迟微分方程在生物学,控制科学以及物理学等领域有广泛的应用。由于脉冲延迟微分方程解的显示表达式难以求得,研究相应的数值方法并讨论数值解的性态就具有较大的理论意义以及实用价值。在考虑环境因素干扰的情况下,研究脉冲随机延迟微分方程也具有较强的理论意义。本文首先介绍脉冲延迟微分方程,随机延迟微分方程,脉冲随机微分方程以及相关差分方程与数值方法的应用背景与研究历史,特别着重叙述关于几类脉冲延迟系统的稳定性研究的发展状况。对于脉冲延迟差分方程,利用Lyapunov函数方法,研究零解的稳定性。使用Razumikhin技巧,研究零解的指数稳定性,给出保证零解指数稳定的充分条件。给出利用脉冲镇定延迟差分系统的稳定性判据。将关于脉冲延迟差分方程的稳定性结论,推广到脉冲随机延迟差分方程,得到脉冲随机延迟差分方程零解的均值稳定性与p?阶矩指数稳定性的判别条件。对一类线性脉冲延迟微分方程,给出定步长的Euler方法,并研究Euler方法的收敛性,证明其收敛阶是1。并将得到的关于脉冲延迟差分方程的稳定性结论应用到Euler方法,得到保证数值解指数稳定的判定条件。对一类随机延迟积分微分方程,研究半隐式Euler方法的收敛性与稳定性,证明半隐式Euler方法的收敛阶是0.5,并给出保证数值解均方渐近稳定的充分条件。对脉冲随机延迟微分方程的研究,本文利用Lyapunov-Razumikhin方法,研究其零解的p?阶矩指数稳定性与几乎确定指数稳定性。给出保证零解p?阶矩指数稳定性的判别条件,并给出零解的p?阶矩指数稳定性与几乎确定指数稳定的关系。研究利用脉冲镇定随机延迟微分方程零解的稳定性问题,得到保证零解p?阶矩指数稳定的充分条件。
张千宏[7]2009年在《几类模糊差分方程解的性态研究》文中研究表明本篇博士学位论文由四章组成.第一章,简述有关模糊微分方程,模糊差分方程的研究发展状况,问题产生的背景和本文的主要工作及一些预备知识。第二章,我们用模糊集的α-截集和一些分析技巧分别讨论了一阶线性模糊差分方程xn+1=Axn+B和一阶非线性模糊差分方程xn+1=(?),得到两类模型正解的存在唯一性、有界性、持久性和正平衡点的稳定性充分条件。所得结果具有一般性并改进了已有的相关结论。第三章,我们用模糊集的α-截集和常差分方程理论讨论如下三类二阶非线性模糊差分方程模型分别得到方程正解的存在性、有界性、持久性及平衡点全局渐近稳定和正解振动的充分条件,所得结果改进了已有文献的相关结论。第四章,我们用模糊集的α-截集和常差分方程理论讨论如下两类高阶非线性模糊差分方程分别得到方程正解的存在性、有界性、持久性和平衡点的稳定性的一些充分条件。
陈安[8]2016年在《二维分数阶超扩散方程和非局部方程的数值算法》文中指出扩散过程在自然界随处可见.许多学者指出在自然界中存在着反常扩散,即在微观尺度下,粒子的随机过程不是布朗运动,它相应的均方方差可能比在高斯过程中的增长得快(超扩散)或慢(亚扩散).本文主要研究二维分数阶超扩散方程的高效稳定的数值算法和一类带周期边界条件的时空非局部方程的渐近相容数值算法.第一章简要介绍了反常扩散的物理背景并回顾了分数阶扩散方程的数值算法.第二章研究了二维带阻尼项的时间分数阶超扩散方程的ADI Galerkin有限元离散.我们首先提出了两种有效的ADI Galerkin有限元格式求解带阻尼项的时间分数阶超扩散方程,其中时间分数阶导数为阶α的Caputo导数,α∈(1,2).这两种离散格式在时间方向上分别基于修正L1方法和L2-1σ方法,在空间方向上基于Galerkin有限元方法.离散格式的无条件稳定和收敛性都得到严格的证明.数值实验表明这两种全离散格式在时间方向分别具有(3-α)阶和2阶精度.第三章研究了二维Riesz空间分数阶扩散波方程的ADI Galerkin有限元离散.这个分数阶模型可理解为经典的二维波方程的推广.我们通过结合在时间方向上的Crank-Nicolson方法和在空间方向上的有限元方法,发展了一种有效的ADI Galerkin有限元格式求解这个分数阶模型.随后我们在新构造的范数下给出了数值格式的稳定性和收敛性分析.数值结果表明这种全离散格式具有2阶时间精度.第四章研究了二维时空分数阶扩散波方程的ADI Galerkin有限元离散.同样,这个分数阶模型也可理解为经典的二维波方程的推广.类似第二章对时间分数阶导数的离散,我们在时间上利用修正的L1方法,在空间上利用有限元方法,并通过添加适当的小量项得到有效的ADI Galerkin有限元格式.结合第三章关于分数阶Sobolev空间的讨论,我们对提出的数值格式给出了严格的稳定性和收敛性分析.数值结果表明这种全离散格式在时间方向具有(3-β)阶精度,其中β表示时间Caputo导数的阶数且β∈(1,2).第五章研究了一类带周期边界条件的时空非局部方程的渐近相容谱格式.我们首先通过构造合适的函数空间得到了时空非局部方程的适定性,并研究了范围参数δ和σ都趋于0时,非局部方程的局部极限.随后我们提出一种Fourier谱方法求解时空非局部方程,并证明提出的数值格式是稳定的和渐近相容的.最后数值结果验证了理论分析.第六章简要给出了对本论文研究内容的总结和展望.
张盛[9]2011年在《非线性微分方程的若干精确求解法与符号计算》文中研究表明本文以数学机械化思想为指导.研究AC=BD模式下非线性微分方程精确解的一些构造性方法及其符号计算.紧紧围绕算法化、机械化和可视化来构造分数阶非线性模型的分离变量解、非线性微分-差分方程的半离散解、变系数非线性系统的多波解和非等谱KdV方程族的反散射解.模拟解的演化行为并解决相关的问题.第一章概述数学机械化与计算机代数的起源、研究现状和未来发展趋势.介绍孤立子的发现、理论论证、物理性质、发展状况和实际应用.简述非线性演化方程孤子解的类型、存在条件和孤子解与方程可积性之间的密切联系.概括非线性演化方程的一些构造性求解方法、研究背景和国内外发展情况.并给出本文选题的内容和主要研究工作.第二章在介绍张鸿庆教授提出并发展起来的求解非线性微分方程的AC=BD模式基础之上.将其推广到分数阶的辅助常微分方程展开法和反散射方法.进而获得了一个时间分数阶生物种群模型的变量分离形式精确解.找到了反散射变换中将非等谱KdV方程族转化为相应线性Schrodinger谱问题散射数据随时间演化常微分方程组时的C-D对.第三章归纳出构造非线性微分-差分方程拟解的一般性原则.并依据该原则改进了非线性微分-差分方程精确求解的扩展Tanh函数方法和Jacobi椭圆函数展开法.将改进后的方法分别应用于(2+1)维Toda晶格方程和离散的非线性Schrodinger方程.得到了半离散形式的双曲函数解、三角函数解、有理解和Jacobi椭圆函数解.并用图示刻画了一些解的演化行为.同时对解的渐近性质进行了分析.结果显示改进算法有其优越性.能用来获得更多形式的精确解.其中包括新解.第四章通过设计多重有理指数函数表达式提出用指数函数方法构造变系数非线性演化方程和微分-差分方程多波解的两个算法并将其分别应用于变系数KdV方程、变系数(2+1)维Broer-Kaup系统和(1+1)维Toda晶格方程.结果获得了新多波解并归纳出N一波解公式.选择适当的参数.N一波解可以转化为Hirota直接方法得到的N-孤子解.算法设计和具体实例说明所提出的两个算法比Hirota方法计算更直接、更易于实现机械化.不涉及用Hirota双线性算子将方程化为双线性形式的过程.而且获得的解更具有一般性.第五章首先从Schrodinger谱问题出发.利用含有任意函数形式的微分算子和本征函数的相容性条件导出了一个系数依赖于时间t的KdV方程族.同时获得了它的Lax对.该变系数KdV方程族以常系数的等谱KdV方程族为特例.包含多个熟知方程、方程族和新方程(族).它的更一般情形为带自相容源的变系数非等谱KdV,方程族.其次用反散射变换获得了此变系数KdV方程族精确解的表达式和无反射势的N-波解公式.并通过模拟部分解的演化行为分析了解的传播特征和渐近性质.同时解决了非等谱KdV方程族相应Schrodinger谱问题部分散射数据未能确定的问题.进一步完善了处理此类问题的散射理论.
李建平[10]1997年在《大气和海洋动力学方程组的定性理论及其应用》文中研究说明本文在前人工作的基础上,利用无穷维动力系统的新理论和新方法对完整的大气(干空气或湿大气)和海洋动力学方程组的全局定性特征及其应用进行了一些研究,主要结果如下:1.在无穷维Hilbert空间中,证明了完整的强迫耗散非线性大气动力学方程组全局吸引子(称为大气吸引子或气候吸引子)的存在性。不论初始状态如何,系统的状态都将随着时间的增长演变到全局吸引子上。从而揭示出强迫耗散的非线性大气系统解的渐近行为表现在吸引子的结构上、系统具有向外源强迫的非线性适应过程和初始场作用衰减的特征。全局吸引子的存在性及其具有有限的维数表明了完整的大气动力学偏微分方程组解的长期行为可以用一个有限维的常微分方程精确描述。由此,可建立起研究大气长期过程及气候问题的吸引子观。2.在无穷维Hilbert空间中,将在定常外源强迫下得到的大气动力学方程组解的渐近行为的结论推广到非定常外源强迫情形。因此,非定常外源强迫下的大气动力学方程组解的长时间性态能由一个具有相应变化外源的有限维常微分方程组所描述。3.研究了完整的湿大气动力学方程组解的长期性态。通过首次引入δ判别函数,给出一种合理的潜热描述。基于此,并引入适当的Hilbert空间之后,证明了湿大气全局吸引子的存在性,从而将在干空气中的结论推广到湿空气中。4.研究了未简化的完整海洋动力学方程组的全局定性特征。通过适当的独立变量系统的选取,克服了完整的海水液态方程没有显式表达给理论分析带来的困难。在此基础上,证明了完整海洋方程组全局吸引子的存在性,揭示出海洋洋流向海面风场的非线性适应特征。于是把完整的大气方程组中的结论推广到完整的海洋方程组中。5.在前人关于时间边界层认识的基础上,提出了强迫耗散的非线性系统中存在三类时间边界层。第一类时间边界层内是向吸引子的快速适应过程,其外是在吸引子上的演变过程,对应的系统是定常外源强迫下的非线性耗散系统。第二类时间边界层外是宏观状态随外参数变化而缓慢的演变过程,对应的则是非定常外源强迫下的耗散系统。此外,系统还存在第三类时间边界层,即内时间边界层,这时可以将系统处理成绝热无摩擦系统。6.提出分解算法必须遵循分解的算子性质不变的原则,由此得到的分解方程能从根本上保持原方程的整体性质,从而可望达到既节省计算时间又能获得良好计算结果的目的。7.在前人关于利用算子的性质设计差分格式思想的基础上,提出了计算准稳定性的概念来研究非线性发展方程的计算稳定性。8.研究了大气多平衡态产生机制问题。对于定常的大气运动方程,证明了非线性、耗散和外源强迫三者缺一,则要么解是唯一的,要么无解,不会有多解。由此得出,非线性、耗散和外源强迫三者的共同作用是产生大气多平衡态的根源。此外,也讨论了强迫耗散的非线性系统与绝热无耗散系统、绝热耗散系统、强迫无耗散系统及强迫耗散的线性系统在解的长期行为上有根本差别。由以上结果指出,强迫、耗散、非线性是长期过程必须考虑的基本要素,一个简化了的描述长期行为的动力学模式必须是一个强迫耗散的非线性方程。
参考文献：
[1]. 几类泛函微分与差分方程的收敛性[D]. 易学军. 湖南大学. 2009
[2]. 电力市场稳定性研究[D]. 卢占会. 华北电力大学（河北）. 2008
[3]. 若干微分与差分系统解的渐近性质[D]. 霍海峰. 陕西师范大学. 2000
[4]. 非线性随机系统的动力学行为研究[D]. 赵国英. 华中科技大学. 2005
[5]. 非线性与时滞随机系统的稳定性、镇定及其控制研究[D]. 赵学艳. 华南理工大学. 2014
[6]. 具有脉冲和随机扰动的延迟系统的数值方法与稳定性[D]. 吴开宁. 哈尔滨工业大学. 2009
[7]. 几类模糊差分方程解的性态研究[D]. 张千宏. 中南大学. 2009
[8]. 二维分数阶超扩散方程和非局部方程的数值算法[D]. 陈安. 上海大学. 2016
[9]. 非线性微分方程的若干精确求解法与符号计算[D]. 张盛. 大连理工大学. 2011
[10]. 大气和海洋动力学方程组的定性理论及其应用[D]. 李建平. 兰州大学. 1997
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