面向教学的数学知识：缘起、结构特征、检测及其教育意蕴，本文主要内容关键词为：意蕴论文,缘起论文,数学知识论文,特征论文,结构论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、面向教学的数学知识之缘起：关注课堂教学实践中需要的数学知识
Gess-Newsome[1]提出了学科教学知识的两个模型：整合的和转化的.在整合模型中，用于教学的相关知识基础是独立分开的，教学行为整合了知识，学科教学知识本身不作为一个知识领域存在.Gess-Newsome认为，“教师的任务是选择性地利用学科内容、教学法和背景的知识基础，整合它们以利于有效地学习”.学科教学知识的这个模型存在很多问题，例如，师范生的诸多表现表明，教师教育课程不能有效地整合学生的教学知识基础与数学理解.Gess-Newsome描述的学科教学知识是知识根本转化的结果，是新知识的创造，这种新知识可能与已存在的数学或教学法理解相似，但拥有不同于它们初始形式的显著特征.传统教师教育课程整合模式的缺点“经常仅仅是给未来的和在职的教师提供一系列无背景的、无连接的活动、概念和演示”[2]，学科教学知识的转化模型回应了这些缺点，使有目的地整合经验成为必要，从而使教师有机会去拓展和连接自己的数学和教学法的理解以创造“新”知识.
事实上，自提出学科教学知识概念以来，“转化”已成为一个核心概念.是教学法知识具有“转化”学科知识的功能，还是学科知识本身具有转化功能？实践表明，有的教师虽然教学技法娴熟，但常常讲不到“点子”上.
接下来的问题是：从学科理解的角度而言，有效教学需要什么样的知识？美国密歇根大学教育学院院长、美国数学顾问团“教师与教师教育”负责人Ball等提出的面向教学的数学知识（Mathematical Knowledge for Teaching，简称MKT），是教学中特别有用的数学知识，有益于教师的教学工作.[3]Ball等采取自下而上、源于实践的方法揭示问题的本质，把研究的焦点放在教学实践上，把其需求作为基本出发点，探究多元教学目标下的课堂教学所需要的最基本的教学活动，以及教师如何创造性地使用数学知识才能满足其需求.
二、面向教学的数学知识的结构特征：由学科知识和学科教学知识组成，学科知识也有教学法维度
Ball等发现，即使是日常教学任务，如布置作业、听学生报告、评定学生的成绩，都需要专门的数学知识，都需要“纯”的数学知识.比如，确定一个方法是否正确、能否推广都需要数学知识作支撑，这种知识与教学技能、教学法知识、学生知识无关.虽然教师在数学课程中学习了大量学科知识，扩展了数学视野，提高了数学修养，但是，大学数学课程为教师提供的知识和教师面向教学时所需要的数学知识并不等同.数学教学工作在本质上具有浓烈的数学色彩，要求教师具备特殊的数学知识，良好的思维习惯，以及敏锐的数学洞察力.通过对教学中数学任务的分析，他们认为，教学所需要的数学知识可能存在不同的形式，如果能进一步确认，就可以帮助教师习得教学所需要的数学知识，如果教学所需的数学知识具有多元结构，就可以调整数学教师教育的课程结构.基于对教学实践中所需数学知识的分析，他们提出了面向教学的数学知识的结构模型，[4]如图1.
面向教学的数学知识模型分为两大组块，一是学科知识，一是学科教学知识.
（一）学科知识
学科知识分为以下三部分.
1.一般内容知识（Common Content Knowledge），指受过良好教育的人拥有的数学知识和技能，是一种“纯”数学知识，和教学法知识、学生知识无关，不为教学工作所特有，其他工作也需要，如，怎样用科学计数法表示数？
2.专门内容知识（Special Content Knowledge），指教师为了教学必须具备的一种独特数学知识，如，支撑教师准确地表征数学思想，对通常的规则和步骤给出数学解释，审视和理解非常规问题的解决方法等教学活动时所需要的数学知识.例如，回答“异分母分数相加减时，为什么要通分？”就需要专门内容知识.面向教学的知识远比教给学生的知识丰富、深刻.教师不仅要能分析学生错误之所在，还要能给出解决问题的方法及其适用范围.这些思考和判断都需要数学知识和方法作支撑.教师理解和掌握的知识之表征状态是压缩的、静态的数学对象，处于学生的认知结构之外，对刚接触这些知识的学生而言，还处于“过程性”的状态.为了促进学生的理解，需要把处于过程性的知识逐步压缩成结构化的对象，使之逐渐内化到学生的认知结构中.这要求教师能还原知识的发生、发展过程，以“演义”的方式表达出来，即有意识地解构自身对象化的知识，逆转为过程性的、动态的数学知识.Ball等认为，教师需要具有“解压缩”功能的数学知识.教师使用具有“解压缩”功能的数学知识，使处于“压缩”状态的知识还原到中间过程状态，减小认知过程中的陡度，以小步子的方式逐渐逼近认知对象.这些举措能使复杂的知识变得简单容易，抽象的知识变得具体直观，从而促进学生的理解.教师如何使用数学语言、选择和使用有效的数学表征，回答学生的数学问题，都有赖于他们拥有多少具有“解压缩”功能的数学知识.具有“解压缩”功能的数学知识远远超出了知识理解和掌握的范围，还需要对知识的逻辑性、实证性、思想性、创造性、工具性、功利性、文化性和精神性有一定的认识.
3.数学水准知识（Horizon Content Knowledge），指学术形态的数学知识.虽不能直接用于教学，但对教学实践的取向、文化建构有潜在影响.教师的数学素养对于教学技能具有基础性、奠基性的作用.
（二）学科教学知识
学科教学知识分为以下三个成分.
1.内容与学生的知识（Knowledge of Content and Student），指教师知道如何更好地培养学生的数学思考方式或矫正学生的错误，如何理解学生对特定内容的学习.这不仅包括让学生理解具体的数学内容，还包括了解学生对内容的理解，会遇到哪些认知障碍，会出现哪些错误，等等.
2.内容与教学的知识（Knowledge of Content and Teaching），综合教学内容和教学设计这两方面的知识.在设计教学时，要考虑切入课题的合适样例，内容的选择与深浅程度的把握、呈现次序与方式，概念的不同表征的心理意义，典型范例的认知固着作用，不同数学方法和过程提供的教学意义.要考虑何时提出新的数学问题与任务促进学生的学习，哪些问题、关键点需要学生讨论，如何及时引导学生讨论、澄清错误认识，形成基于学生共识的结论，等等.
3.内容与课程的知识（Knowledge of Content and Curriculum），是对课程发展的理解，不局限于理解在特定学段讲授的课程内容，还包括理解那些没走进课程的学科内容知识.
在MKT模型中，学科知识和学科教学知识不再是从属关系，而是并列关系.学科知识本身也有教学法维度，是数学教学需要的、独特的学科知识.数学教学具有工程性质，需要在数学知识的学术世界和数学教学的现实世界之间架沟通之桥，本身具有强烈的数学色彩.
三、面向教学的数学知识的检测：数学任务测量法、课堂观察法和大样本问卷调查法，多法并举
MKT的框架是从教学开始的，关注教学任务及所需要的数学知识.他们首先采用质的方法分析教学实践，然后在质的研究的基础上形成假设，设计量表，了解教师所拥有的MKT.测量结果表明，“面向教学的数学知识”是多维度的，一般数学能力并不能完全满足数学教学所需的知识和技能，数学教学还需要一种纯学科的、专门化的知识.后续研究承继了他们的做法，主要采取数学任务测量法、课堂观察法、大样本问卷调查法检测MKT.
第一种方法是数学任务测量法.数学任务不同于数学评价，设计的目的不是对被试的知识作推断，而是帮助研究者理解教师知识的性质与程度.数学任务可以设计成纸笔测试题，也可以进行访谈.从测量的角度看，用数学任务测量教师MKT，实施方便，相对于标准化测试题，具有较高的内容效度，能对被试的知识水平做深入细致的分析.但也有局限性，因为少有研究涉及这些测量工具的信度、效度，这需要研究者用自身的学力或专家认证来保证.尽管这些数学任务是基于教学情景设计的，但没有揭示教师在实践中如何使用这些知识.
广为使用的教师数学知识测量法是在现场或通过录像带观察教师的教学.研究者先收集数十小时的观察资料或录像课，然后根据与所观察的数学内容和问题紧密相关的编码系统对资料进行定性分析，再将观察结果与其他资源比对，获得对MKT的理解.早期的观察研究大都是描述性的，观测与MKT相关的一些元素，如呈现、表征、解释数学内容、关键数学概念之间的联系、知识处理的灵活性，以及可观察到的内容知识在教师工作中的其他应用，没有推断性地分析个体MKT水平.数学任务测量法不能直接获得教师在真实课堂中所表现的知识，并且教师知识如何影响课堂教学与学生成绩的研究也很少.以测量MKT为目的的课堂观察有较高的效度，在某种程度上，课堂观察是为了检测数学任务测量法的效度.课堂观察对于精细分析特定教师对特定内容的教学是有效的.但是这种方法也有局限性，研究者必须观察多节不同课型的课才能对教师MKT水平下结论.而观察大样本被试的多节课堂教学的工作量太大.也不可能用此法有效地研究教师的MKT水平与学生成绩之间的统计关系，从而对教师MKT水平下推断性的结论.
有研究关注教师MKT水平与学生成绩之间的关系，还有的关注教师MKT的发展变化.但需要可用于大样本测量、有效且可信的测量工具，从而推断教师个体或群体MKT水平.研究发现，教师MKT水平与学生取得的数学成绩具有显著正相关.这意味着通过提高教师的数学知识可以提高学生的成绩.大样本测试得出的结论有助于为教育部门提供决策依据，但不利于深入认识教学工作的复杂性、教师知识的复杂性.
测量方法各有长短.要深入认识教师知识，要综合使用多种方法，单一的方法对复杂的教师知识研究来说，可能并不奏效.如，Kersting分析了有效教学所需知识的检测工具的优势与局限性，提出测量教师分析教学的能力可能是评价教师MKT水平的一个好方法.[5]
四、教育意蕴：打开了数学教育研究的新视角，为数学教育的其他研究主题提供理论框架，对数学教师教育课程的设置和职前教师培养模式的确立有借鉴意义
MKT打开了数学教育研究的新视角.顾泠沅指出，数学教育的内容仍然是数学、教育学与心理学的“领养儿”，尚无自己独立的品格.为了获得教育学、心理学等研究范式的认可，“去数学化”的数学教育出现了.不从学科本身出发而研究学科教育，仅是简单的移植和借用，在某种程度上导致了我国基础教育教学改革出现教学观念化、教学权威化、教学复杂化和教学幼稚化等异化现象，[6]也引起了一些数学家的不满.杨乐指出：“我们数学界的看法是，现在搞教育的同志，有时候过多地强调了教学法.对数学内容的本身有关注不够的地方.”[7]数学教育要提升学术地位，就要做出数学家、教育学家、心理学家等想做而做不出的成果，具有不可替代性.从教育学、心理学、抑或是社会学的视角做数学教育本无可厚非，但不能认为只有这几种范式.康永久指出，教育学从根本上来说还是需要建立在深层教育学的基础之上，而建立这种深层教育学需要对学科知识本身有一个全新的认识.[8]MKT认为，学科知识本身也有教学法的维度，稔熟学科知识也能产生教育上的见解.不同视角可以“和而不同”，相互竞争、相互参照、相互补充，共同把数学教育做好做实.
MKT为数学教育的其他研究主题提供了理论框架.教育取向的数学史（HPM）对数学教育教学产生了巨大的影响，引起了教育理论工作者及一线教师的极大关注.Jankvist指出，与HPM相关的一些研究，缺乏与数学教育的研究框架、理论概念和方法的明晰联系，这种缺陷必须得到弥补.[9]如果HPM希望变得更有影响力，就必须逐渐建基和关联到正在被数学教育使用的理论框架和结构上.MKT正是这样的理论框架.MKT框架能确定把数学史当作一种工具用于教学和教师教育时，哪些知识确实是教师需要的.这显然超越了“为什么”和“如何”运用数学史这样的关切，这种关切的转变不但对HPM自身的研究有重要意义，对职前教师教育和在职教师发展也有重要意义.MKT框架提供了一种话语体系讨论HPM于教育和教师培训的种种益处，也加强了HPM研究结论的信度，运用这种话语体系还可以和不同领域的研究者交流.
MKT理论框架对数学教师教育课程的设置具有启发意义.数学教师教育课程的设置有两种倾向：一是过分强调学术性数学课程的学习，而忽视数学教育理论的学习和教学实践；一是逐步降低学术性数学课程的要求，而对数学教育课程愈加重视，并且认为，在教学实践中形成的学科教学知识是提高教学水平的重要因素.课程设置不仅要为培养数学家服务，体现学术性，也要为培养教师服务，体现师范性.其实，学术性和师范性并行而不悖，并育而不害.根据MKT的观点，学科知识也有教学法的维度，要下工夫把数学的学术形态转化成教育形态，体现学科知识的教育价值，从根本上消解“高等数学无用论”、“不会教学是缺乏心理学教育学知识的缘故”这样一些似是而非的观点.要多设置一些起“转化”作用的课程，提高师范教育的专业水准，而不是简单地增减课程科目，或在学术性课程和教育性课程之间玩“跷跷板”.
MKT理论框架对教师的培养模式的确立有借鉴意义.范良火指出，教师“自身的教学经验和反思”及“和同事的日常交流”对他们发展教学知识是两个最为重要的来源，但教师“作为学生时的经验”、“职前培训”和“阅读专业书刊”则是最不重要的来源.[10]很多师范生认同这个观念，加之就业困难，不认真学习学科知识，而采用在职教师培养模式来增强求职竞争力.这种培养模式有职业化倾向，从长远看，降低了师范生的质量.马立平指出，教师学科知识的质量直接影响了学生的学习质量.[11]任何时候都要关注实质性的数学，学科知识及其转化是MKT的关键所在，其影响是长远的.在教育实践中，这种“内生”的学科教学知识会在真实的教育教学情境中，根据教学目的、学生和课堂的实际以及教师自身素养的提高，不断修正和提高，表现出学科教学知识既是概念性的、分析性的，也是情境性的、经验性的，是从职前到职后连续发展谱系，只不过在不同阶段应有不同侧重点.职前教师的培养模式不应照搬在职教师的培养模式，其内涵是：关注知识的发生发展，关注知识从学术形态向教育形态的转换.
综上所述，面向教学的数学知识是一个值得继续研究的重要课题.