山东省淄博市张店区第九中学 255000
一、原题呈现
（2016淄博中考数学压轴：24题）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变。
1.求证:= 。
2.求证：AF⊥FM。
3.请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明。
二、解法探究
母题：如上图所示，探究1：已知：正方形ABCD中，以A为顶点做∠EAF=45°，证明：DE+BF=EF。
合情推理需要演绎推理的证明，现证明如下：
法1：两条线段拼整，可采用旋转将两条线段合二为一，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABＥ｀，则△ADE≌△ABE`，∴AE=AE`，∠ABE`=∠D=90°,∠BAE`=∠DAE,∠FAE`=∠BAF+∠BAE`=∠BAF+∠DAE=45°,∵∠FAE`=∠EAF。
又∵∠ABE`=∠ABF=90°,∴∠ABE`+∠ABF=180 °,则E`、B、F三点共线。
在△AEF与△AE`F中，AE=AE`,∠EAF=∠E`AF,AF=AF ,∴△AEF≌△AE`F,即EF=E`F。
又∵E`F=E`B+BF,E`B=DE，∴EF=DE+BF。
法2：也可以延长FB到点E`，连接AE`。借助SAS证明△ADE≌△ABE`。接着证明△AFE≌△AFE`,从而得到证明。
法3：过点A作AM⊥AE，延长FB交AM于点E`。借助SAS证明△ADE≌△ABE`。接着证明△AFE≌△AFE`,也可以得到证明。
探究2：连接BD交AE，AF于点N，M，试证明：MB2+DN2=MN2。
析：若证明MB2+DN2=MN2，显然首先想到的是勾股定理，在分析时，我们应该想办法将三条线段转化成在一个直角三角形里面或是进行相关的等量代换.由正方形的边长相等，为共点等边创造了条件，则容易想到将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△AN`B。
探究3：与△AMN相似的三角形有哪些?
分析:显然△AMN中，∠MAN=45°,由对角线得到45°，则∠MAN=∠ADB=∠ABD=∠DBC=∠CDB=45°。
再有里面的相交线得到对顶角相等，容易得到一系列的相似三角形。易得到△AMN□△DEN□△BAN□△BMF□△DMA。
里面渗透的是相似基本图形A型和X型。
三、几点感悟
1.基本图形的解读要到位。数学家波利亚曾说过，在解决问题时，要将我们所要解决的问题转化为我们已经解决或熟悉的问题。解决问题时产生联想，联想已有的知识结构。在此之前，学生必须有足够的知识储备，得模型者得几何，对基本图形深入的探究，达到灵活多变的效果，培养学生的求异思维和创新思维，达到融会贯通的效果。在本题思考过程中，正方形中由一顶点引出的含45°的问题，在人教版和鲁教版中均有涉列，我们对习题进行二次开发再创造，在模型中嵌入旋转、相似、圆等内容，以及转化、数形结合等思想的涉入，将母题发挥的淋漓尽致。在这样的理解下， 学生对基本图形的理解上升到一定的高度，合适的时机恰当的提取，达到以一敌百的效果。
2.深挖图形链结构。当把一个基本图形的边或角根据教材中的基础知识点的要求不断的特殊化，条件化时，就会形成一个“图形链”，再以这个“图形链”为主线牵引知识点，采取这种方式开发的母题系列不仅是基础的，也必然是系统的，同时也触及到了数学的本质。根据课标的要求，逐步地添加一些新的元素，比如连接线段、垂线、平行线、角平分线、中线等等，这样，基本图形自然就变得“枝繁叶茂”，再让学生认真地观察这些几何图形，自主地发现新的结论，教材内容的呈现要体现数学知识的整体性，体现重要的数学知识和方法的产生、发展和应用的过程；应引导学生进行自主探索与合作交流，并关注对学生人文精神的培养。如果学生能将平时学习积累的一些数学基本结论和基本模型记住，并且活学活用，将会收到事半功倍的效果。
3.多给学生点时间，引导学生思考，培养学生的求异思维。义务教育《数学课程标准》（2011年版）中指出：学生学习应当是一个生动活泼、主动地和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学生学习数学的重要方式。在教学模型过程中，教师要积极引发学生思考，给学生留出独立思考的时间，与学生产生有效的互动，学生产生积极的思维活动，生成有意义的内容。
论文作者:刘敏
论文发表刊物:《教育学文摘》2017年5月总第227期
论文发表时间:2017/5/2
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