什么是“几何直观”，本文主要内容关键词为：直观论文,几何论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
策划：《中学数学教学参考》编辑部，凤凰数学网
时间：2013年6月24日20:00-21:30
主持：刘茂全（南京师范大学附属中学江宁分校，凤凰数学网版主）
主讲：潘红玉（《中学数学教学参考》杂志副主编）
特邀嘉宾：
卜以楼：江苏省南京市宁海中学
张爱平：江苏省南京市金陵中学汇文学校
万广磊：扬州大学附属中学东部分校
沙国祥：江苏教育出版社《新高考》杂志主编
章飞：江苏教育学院教授，北师大版初中数学教材副主编
郦兴江：浙江省上虞市教体局教研室
主平台：凤凰数学网2号VIP群（QQ群号：21792460）.
南京刘茂全
各位网友，晚上好.
几何直观作为《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）的十个核心概念之一，引起了广泛关注.今晚，《中学数学教学参考》编辑部联合凤凰数学网，以本群为主平台，以凤凰数学网论坛、凤凰数学网各系列群为辅助平台，同步互动，深入研讨几何直观.欢迎大家在其他平台同步互动.下面由潘红玉副主编开讲.
《中数参》潘红玉
各位老师，晚上好！忙碌了一天，仍然坚持参与今天的讨论，我想这是数学的魅力所在，也是在线的每位数学人对数学研究的执着和志趣.
我非常荣幸，能邀请到几位嘉宾和在线的老师一起探讨有关几何直观的问题.相信有教材编者、期刊主编和一线教学实践者的共同参与，我们的互动交流定能碰撞出更为闪亮的思维火花.
作为编辑，我们可能没有太多的机会直接去感知课堂上有关渗透几何直观教学的真实情况，虽然几何直观作为十个核心概念之一备受关注，且有相关文献进行了专门研究，然而从作者的来稿看，这一核心概念，在广大教师的“行动研究”中，还存在一些认识和操作上的偏差.
下面我们讨论“什么是几何直观？”请大家畅所欲言.
无锡姜鸿雁
有一说法叫“看图想事，看图说理”.
南京卜以楼
我个人的理解，几何直观应是一个组合概念吧.就几何直观这个概念应该理解为：“几何”是几何直观本体，“直观”是几何直观本质.
南京张爱平
几何直观应该是凭借图形的直观性将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来.
《新高考》沙国祥
几何直观是直接的、整体的视觉体验和对图形的观照，关系到空间的结构、秩序，几何对象之间的关系（康德：一种组织，一种先验的结构框架）.希尔伯特在《直观几何》中指出，直观，即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的具体意义，也可以说领会它们生动的形象.
扬州万广磊
从数学的定义角度看，《课标（2011年版）》上的表述就是一种解释和说明，不是严格的定义.
上虞郦兴江
初中阶段学习几何，是由实验几何逐步过渡到论证几何，进而逐步培养学生的逻辑思维能力与推理能力.这里的实验几何是否可以理解为直观几何呢？就是对看得见摸得着的实物、几何图形与几何体等的学习与认识.
金湖乔太华
培养和发展学生的几何直观能力和借助几何直观进行推理论证的能力，从而培养运用图形语言进行交流的能力以及空间想象能力，是数学课程的基本要求.
《新高考》沙国祥
几何直观是人的一种认识方式，如爱因斯坦将时空贯通，形象思维特别丰富；有的人更侧重于代数分析思维，它与时间序列有关.
《中数参》潘红玉
大家知道，对数学科学的研究，我们从来都秉承着两种倾向，即抽象倾向和直观倾向.这两种倾向，对数学研究的意义和作用是不言而喻的，抽象更注重逻辑关系，这在代数性质的运算以及代数几何、拓扑等更高理论体系中广泛运用，而说到直观，我们会不由自主地联想到具体形象，通过具体形象研究关系的具体意义，并且在这个过程中，感悟、理解、甚至欣赏由具体形象得出的结果，包括几何结果.比如，线、面、体，我们在生活中随处可以感知它的具体形象（直观感知形象）.比如直线，我们可以定义为两点间最短路程所在的线；比如“圆”，我们这样下定义：“它是（封闭）曲线，曲线上的各点到一定点的距离相等”，我们可以相对轻易地利用一种方法（绳线法或圆规画图）做出它的具体形象：如图1，圆是闭合曲线，到处是凸的（直观感知形象），因此通过圆周上任一点可作一条定直线（切线），使唯有这一点（切点）才是直线与圆共同的，直线上其余各点都在圆外（直观感知关系）……（《直观几何》（德）D.希尔伯特、（德）S.康福森著）.
海安顾和桂
对初中数学老师的定义要浅一点.
直观就是借助经验、观察、测试或类比联想所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知.首先是借助几何图形这一形象的外形，其次，透过这一形象的外形形成对事物的直接感知.
上虞郦兴江
《课标（2011年版）》指出：几何直观主要是指利用几何图形描述和分析问题.据此可理解直观是认识事物的一种方法、途径，同时也是一种思想意识.
南京卜以楼
几何直观不仅是一种数学方法、一种数学思想、一种数学素养，而且还应将上述思想方法提升为方法论，成为人们学习生活的一种思维方式、一种思维能力、一种思维品质！
南京张爱平
结合具体的案例理解更好.
海安顾和桂
是的，比如解直角三角形中，利用几何直观引导学生理解三角函数的概念.
《新高考》沙国祥
几何比代数更少抽象性，贴近实际、实物，是一种半抽象，学生容易接受.半抽象：理想性、模式化的同时，还有实物的影子，但图形作为直观的对象和结果，是对实物特征和本质的抽象、示意.
连云港王磊
几何直观要的是形销骨立，这样说对不？
无锡颜廷亮
同意沙老师，用感官直接接受的直接观察的叫直观，而几何直观，有利于学生的直接接受、直接观察，这是几何直观能力的最低要求，而培养学生具有用几何直观来思考问题的能力，才是最终要求.
《中数参》潘红玉
对于什么是几何直观，《课标（2011年版）》中主要指利用图形描述和分析问题，其本质是一种通过图形所展开的想象能力，我们今天的讨论，没必要再在概念本身上纠结，而是用教学过程中的实例（实证）去界定概念.
南京刘茂全
是的，刚才的几个解释或者定义只是从不同角度的认识而已.
无锡姜鸿雁
比如“完全平方公式”用图形来说明是几何直观吗？
扬州肖世兵
算是数形结合吧.
利用几何图形直观反映数学关系都是几何直观的范畴.
《中数参》潘红玉
我发两个教学实例，大家看看是不是几何直观.
例1 为了参加2011年威海国际铁人三项（游泳，自行车，长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练.某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟.求自行车路段和长跑路段的长度.
初看此题，条件众多，学生分析起来比较困难，大多不知如何下手，教师可引导学生根据已知条件画出下面的表格：
然后再设出未知数，将表格填写完整；
这样，学生在列表的过程中理清了思路，完成了对问题的分析.（摘自《“几何直观”在初中数学教学中的运用》，《中学数学教学参考》2013.6中）
海安顾和桂
这不能算几何直观吧，只能算借助直观解题.
深圳林日福
这难道叫做几何直观吗？我个人认为，几何直观是运用对图形的感知来分析问题.比如说构造几何图形来分析，运用图形的变换来分析问题等.
这个是列表法解决应用题吧.
郑州兑继华
几何直观不仅仅局限于图形，图标、表格、直方图我认为都是几何直观的呈现方式.
连云港王磊
这叫思维重组.
厉害，表格也叫几何直观？！
南京刘茂全
潘老师举例的这个不是几何直观.
深圳林日福
是的，如果这也叫几何直观，那几何直观就是一个筐，什么都可以往里装了.
上虞郦兴江
对，说得对.我也认同林老师的观点.潘老师所举示例中，借助表格来分析实际问题中的有关数量关系，帮助学生理解题目本质，这是解题教学中常用的策略、途径或技巧.如果说因为在分析题意时出现了表格（图形）就往几何直观上贴，这未免牵强了点.
海安刘东升
沿着几何直观往上溯源数学中的核心概念，数学是什么还在争论……
《中数参》潘红玉
大家请看下面一例，它是否属于几何直观范畴.
例2 如统计某校学生上学方式的调查情况时，可引导学生用列表的方法表达，如下表所示；而由步行、乘公交车、骑车上学的百分比，可推算出利用其他工具上学的百分比，也可引导学生画成扇形统计图，如图2所示：
表格与扇形图形象直观地反映出利用不同工具上学的人数占全校总人数的百分比（摘自《“几何直观”在初中数学教学中的运用》）
借助几何的外形较为直观地描述事物的特征，可以看成广义的几何直观.
南京刘茂全
借助几何的外形，这个例子没有几何外形.
南京卜以楼
潘老师所举之例当然是几何直观.
南京刘茂全
我认为不算.
海安刘东升
我也认为不算，这只是图形.
几何外形，也不仅仅是几何图形.
海安刘东升
图形、表格有时本质上是揭示数式规律.
《中数参》潘红玉
扇形图应不应该划归为这里所指的图形？树状图、直方图呢？概率统计始终作为单独一个领域的.
深圳林日福
因为这根本没涉及任何的几何意义.
《新高考》沙国祥
扇形图、直方图、折线图，可以算作粗浅的几何直观.
南京刘茂全
粗浅的几何直观？也是几何直观？
连云港王磊
我认为算，几何直观应该是一种意识.
南京卜以楼
要泛化使用几何图形的概念，从而拓展图形的外延.
树状图教学中，学生自发地构建类似于树状图的图形进行所有可能情况的表征，这就是一个比较好的几何直观的意识.
南京刘茂全
我觉得首先要是“几何”.
连云港王磊
通过圆周角的计算和操作，画出对应图形展现关系脉络，为什么不算？
南京刘茂全
仅有直观，不是几何直观.
《新高考》沙国祥
扇形图利用圆心角的比例关系，直观表示数量关系，也属于几何，只是太简单.
几何直观，直观到什么？空间形式、结构.几何直观与空间观念、结构有关，如黎曼几何与广义相对论.
深圳林日福
我认为不应让几何直观承载太多的基本概念.
从几何到几何，如能给出十分直观的解释，可以算成几何直观，如果本身不是几何，能借助几何进行思考，这是一种较高的几何直观能力.
《新高考》沙国祥
几何直观，不是那样一目了然，就叫做直观.
南京刘茂全
我觉得首先要是几何，不要忘记这一点.
上虞郦兴江
这个扇形统计图直观地反映了学生各种上学方式的权重，符合《课标（2011年版）》中的“几何直观主要是指利用几何图形描述和分析问题”这一点，这个我以为可以算.
《中数参》潘红玉
概率统计图，从某种程度上说，是赋予了几何的意义的.
南京卜以楼
几何直观本身就是一种文化.
南京刘茂全
潘老师的“概率统计图，从某种程度上说，是赋予了几何的意义的.”我不赞同.这只是直观.
连云港王磊
扇形图本身就包含了对数学模型的再建构，这难道不是几何直观吗？
南京刘茂全
没有几何的元素.我们不能把看到的都说成是几何.
《新高考》沙国祥
直观包含深入的直观、肤浅的直观.概率统计图未大众化，是属于粗浅的直观.
图形直观反映数量关系，在初中数学教学中非常普遍，几何直观不是这样的，是几何图形中蕴涵的相似、全等等线与角的数量关系.
深圳林日福
我认为，我们不应把几何直观泛化了.
《课标（2011年版）》已经将几何直观十分泛化，所谓利用图形思考问题都算作几何直观.实际上，《课标（2011年版）》制定组可能也无法对几何直观下一个定义，但倡导借助图形思考问题，我们作为实践者，更需要关注其对教学的启示，如何更好地在教学中引导学生借助直观的外形思考问题，而不要关注概念本身，应将思考的注意点放在概念对教学和学生学习的导向上.
上虞郦兴江
对几何直观可否作如下归纳：几何直观首先是对实物、几何体等和某些数学问题的一种直观感知；其次它是对这种直观感知进行图形化的理解与认识；第三是通过对这种图形的认识和辅助性设计来描述和分析问题，进而理解和解决问题.
扬州万广磊
孔凡哲和史宁中先生合著的文章《关于几何直观的含义与表现形式——对〈义务教育数学课程标准（2011年版）〉的一点认识》中提到：在中小学数学中，几何直观具体表现为如下四种表现形式：一是实物直观，二是简约符号直观，三是图形直观，四是替代物直观.
《中数参》潘红玉
以上两例，是让大家用来比照研究、商榷的，大家的讨论很热烈.章教授以及郦老师和万老师又给出了几点概括性认识，大家能根据以上讨论内容，再展示一些几何直观实例吗？
无锡姜鸿雁
“多边形的外角和”应该是个很好的示例.
郑州兑继华
例如，三角形的概念，不是让学生去记忆“三角形”的定义，而是让学生动手去画一个三角形，只要学生正确地作出了“三角形”，然后用语言去描述自己的作法，其实就是三角形的定义，画三角形这个过程就是几何直观的具体体现.当然还有其他基本的几何图形.什么是圆柱，如果用数学语言描述是比较困难的，而画出圆柱则是有技巧的，对学生来说能举出“圆柱”的例子，本身就是几何直观的一种体现，首先学生要有观察的过程，形成图形的一些基本特征，然后再到观察事物的过程，有比较、分辨的过程，然后正确、恰当举出例子.郑毓信教授在他的著作《数学教育新论——走向专业成长》一书中曾指出“尽管我们的学生在各种考核中往往都能准确和迅速地说出已经学过的各个数学概念的严格定义，但如果要求他们对这些概念给出若干实例，他们往往表现出极大的困难.”可见，在数学学习中举例是体现几何直观的一种很重要的形式.
南京卜以楼
例如，三角形内角和是180°的直观化：若任意画出一个三角形，通过“度量”或“拼角”，得到其内角和为平角（180°），这只是一个直观印象.仔细去思考的话，无论你是用量角器去量出三个角的度数求和，还是用剪刀去剪角拼图（把三角形的三个角剪下来拼在一起成为平角），在这个过程中，它总会有一些误差，可能有的时候181°，有的时候179°……
半直觉化：带着上述问题，在具体的图形中探索怎么能把三角形的三个内角，适当地“搬搬家”（组合）变成一个平角？怎么做辅助线？这样的思维过程也是几何直观的具体体现.推理与证明：你这个直观的想法，最后用三段论的逻辑表达出来，则它就是一个证明推理了.为此，要证明三角形的三个内角和是180°，你就必然要借助几何直观.
上虞郦兴江
例如数轴，这是学生进入初中首次学到的有关数形结合的一个好例子、好工具，利用它就可以将不等式的所有性质简明扼要地进行说理验证，直观而明白，对学生理解不等式的三条基本性质帮助很大.在这里，数轴这个图形直观地帮助学生理解了不等式的三条重要性质，这里，几何直观成了学生学习掌握知识的一种工具、方法和载体.再如平面直角坐标系，都是渗透几何直观的实际例子.
扬州万广磊
下面我就四种表现形式举例表达.实物直观：比如，初中在学习立体图形、圆锥时，给出实物，知道各类几何体的性质；简约符号直观：比如行程问题中的线段图，环形跑道中的环线，也可以画封闭曲线.图形直观：我们和学生一起学习的几个图形，会用几何语言表达其性质和判定等；替代物直观：如小学时的算盘记数.初中数学中，将代数关系（a+b）·c=a·c+b·c很巧妙地融合在三个矩形之间的面积关系之中，如图3，既有代数的抽象，又有几何图形的抽象.
《中数参》潘红玉
好了，对于“什么是‘几何直观'”，大家进行了热烈的讨论，看得出每个人都精心准备了素材，讨论得也非常深入，既有理论层面的指导解读，也有教学案例的展示示例.我们展现了各自的认识，也把新的思考传递给了别人，我想我们的目的已经达到了.由于时间关系，有关本问题的讨论就到这里，谢谢几位特邀嘉宾、谢谢刘版主，谢谢参与讨论的各位老师朋友们.